Номер 9, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §6 - номер 9, страница 60.

Условие.

9. Докажите, что $tg(-t) = -tg t$, $ctg(-t) = -ctg t$.

Решение 6.

$tg(-t) = -tg(t)$

Для доказательства этого тождества мы будем использовать определение тангенса через синус и косинус, а также известные свойства четности этих тригонометрических функций.

По определению, тангенс угла $t$ равен отношению синуса этого угла к его косинусу:
$tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$

Также нам известны следующие свойства четности для функций синуса и косинуса:
1. Функция синус является нечетной: $\sin(-t) = -\sin(t)$.
2. Функция косинус является четной: $\cos(-t) = \cos(t)$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства $tg(-t)$ и применим к ней определение тангенса:
$tg(-t) = \frac{\sin(-t)}{\cos(-t)}$

Теперь подставим в полученную дробь свойства четности синуса и косинуса:
$\frac{\sin(-t)}{\cos(-t)} = \frac{-\sin(t)}{\cos(t)}$

Вынесем знак "минус" перед дробью:
$\frac{-\sin(t)}{\cos(t)} = -\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$

Поскольку выражение $\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$ равно $tg(t)$, мы приходим к следующему результату:
$-\frac{\sin(t)}{\cos(t)} = -tg(t)$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна правой: $tg(-t) = -tg(t)$. Это доказывает, что тангенс — нечетная функция.

Ответ: Тождество $tg(-t) = -tg(t)$ доказано.

$ctg(-t) = -ctg(t)$

Доказательство для котангенса проводится аналогичным образом, используя его определение и свойства четности синуса и косинуса.

По определению, котангенс угла $t$ равен отношению косинуса этого угла к его синусу:
$ctg(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}$

Используем те же свойства четности: $\cos(-t) = \cos(t)$ и $\sin(-t) = -\sin(t)$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства $ctg(-t)$ и применим к ней определение котангенса:
$ctg(-t) = \frac{\cos(-t)}{\sin(-t)}$

Подставим свойства четности косинуса и синуса:
$\frac{\cos(-t)}{\sin(-t)} = \frac{\cos(t)}{-\sin(t)}$

Вынесем знак "минус" перед дробью:
$\frac{\cos(t)}{-\sin(t)} = -\frac{\cos(t)}{\sin(t)}$

Так как выражение $\frac{\cos(t)}{\sin(t)}$ равно $ctg(t)$, мы получаем:
$-\frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -ctg(t)$

Таким образом, мы показали, что $ctg(-t) = -ctg(t)$. Это доказывает, что котангенс, как и тангенс, является нечетной функцией.

Ответ: Тождество $ctg(-t) = -ctg(t)$ доказано.