Номер 9, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §6. ч. 1 - номер 9, страница 60.
№9 (с. 60)
Условие. №9 (с. 60)
скриншот условия

9. Докажите, что $tg(-t) = -tg t$, $ctg(-t) = -ctg t$.
Решение 6. №9 (с. 60)
$tg(-t) = -tg(t)$
Для доказательства этого тождества мы будем использовать определение тангенса через синус и косинус, а также известные свойства четности этих тригонометрических функций.
По определению, тангенс угла $t$ равен отношению синуса этого угла к его косинусу:
$tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$
Также нам известны следующие свойства четности для функций синуса и косинуса:
1. Функция синус является нечетной: $\sin(-t) = -\sin(t)$.
2. Функция косинус является четной: $\cos(-t) = \cos(t)$.
Рассмотрим левую часть доказываемого равенства $tg(-t)$ и применим к ней определение тангенса:
$tg(-t) = \frac{\sin(-t)}{\cos(-t)}$
Теперь подставим в полученную дробь свойства четности синуса и косинуса:
$\frac{\sin(-t)}{\cos(-t)} = \frac{-\sin(t)}{\cos(t)}$
Вынесем знак "минус" перед дробью:
$\frac{-\sin(t)}{\cos(t)} = -\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$
Поскольку выражение $\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$ равно $tg(t)$, мы приходим к следующему результату:
$-\frac{\sin(t)}{\cos(t)} = -tg(t)$
Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна правой: $tg(-t) = -tg(t)$. Это доказывает, что тангенс — нечетная функция.
Ответ: Тождество $tg(-t) = -tg(t)$ доказано.
$ctg(-t) = -ctg(t)$
Доказательство для котангенса проводится аналогичным образом, используя его определение и свойства четности синуса и косинуса.
По определению, котангенс угла $t$ равен отношению косинуса этого угла к его синусу:
$ctg(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}$
Используем те же свойства четности: $\cos(-t) = \cos(t)$ и $\sin(-t) = -\sin(t)$.
Рассмотрим левую часть доказываемого равенства $ctg(-t)$ и применим к ней определение котангенса:
$ctg(-t) = \frac{\cos(-t)}{\sin(-t)}$
Подставим свойства четности косинуса и синуса:
$\frac{\cos(-t)}{\sin(-t)} = \frac{\cos(t)}{-\sin(t)}$
Вынесем знак "минус" перед дробью:
$\frac{\cos(t)}{-\sin(t)} = -\frac{\cos(t)}{\sin(t)}$
Так как выражение $\frac{\cos(t)}{\sin(t)}$ равно $ctg(t)$, мы получаем:
$-\frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -ctg(t)$
Таким образом, мы показали, что $ctg(-t) = -ctg(t)$. Это доказывает, что котангенс, как и тангенс, является нечетной функцией.
Ответ: Тождество $ctg(-t) = -ctg(t)$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 60 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 60), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.