Номер 7, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §6. ч. 1 - номер 7, страница 60.

7. Запишите уравнение единичной окружности с центром в начале координат в системе координат $xOy$. Как с помощью этого уравнения получить так называемое основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$?

Запишите уравнение единичной окружности с центром в начале координат в системе координат xOy.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ в декартовой системе координат имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Согласно условию, центр окружности находится в начале координат, то есть его координаты $(x_0, y_0) = (0, 0)$. Окружность называется единичной, если ее радиус равен 1, следовательно, $R = 1$.

Подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$

После упрощения получаем искомое уравнение:

$x^2 + y^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$.

Как с помощью этого уравнения получить так называемое основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$?

Рассмотрим единичную окружность в системе координат $xOy$. По определению, для любой точки $P(x, y)$, лежащей на этой окружности, ее координаты выражаются через тригонометрические функции угла $t$, который образует радиус-вектор $OP$ с положительным направлением оси $Ox$:

Абсцисса точки: $x = \cos t$

Ордината точки: $y = \sin t$

Поскольку точка $P$ с координатами $(\cos t, \sin t)$ принадлежит единичной окружности, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой окружности, которое было найдено в первой части: $x^2 + y^2 = 1$.

Выполним подстановку выражений для $x$ и $y$ через тригонометрические функции в уравнение окружности:

$(\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1$

Используя стандартную форму записи степеней тригонометрических функций, мы получаем тождество, которое называется основным тригонометрическим тождеством:

$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$

Таким образом, это тождество является прямым алгебраическим следствием геометрического определения синуса и косинуса на единичной окружности.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество получается путем подстановки в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$ определений косинуса и синуса как координат точки на этой окружности: $x = \cos t$ и $y = \sin t$.