Номер 6, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §6 - номер 6, страница 60.

Условие.

6. Объясните, почему во второй четверти числовой окружности и тангенс, и котангенс отрицательны.

Решение 6.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определениями тригонометрических функций через координаты точки на единичной (числовой) окружности. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Любой точке $M(x, y)$ на этой окружности соответствует угол $\alpha$, для которого справедливы следующие равенства:
$x = \cos(\alpha)$
$y = \sin(\alpha)$

Вторая четверть координатной плоскости — это область, где абсцисса ($x$) отрицательна, а ордината ($y$) положительна. Углы, попадающие во вторую четверть, находятся в диапазоне от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ (или от 90° до 180°).

Поскольку во второй четверти $x < 0$ и $y > 0$, то для любого угла $\alpha$ из этой четверти знаки синуса и косинуса будут следующими:
$\sin(\alpha) = y > 0$ (синус положителен).
$\cos(\alpha) = x < 0$ (косинус отрицателен).

Теперь рассмотрим определения тангенса и котангенса.
Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Определим знак тангенса во второй четверти. Мы делим положительное значение синуса на отрицательное значение косинуса:
$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\text{положительное число}}{\text{отрицательное число}}$.
При делении положительного числа на отрицательное результат всегда будет отрицательным. Следовательно, $\tan(\alpha) < 0$.

Аналогично определим знак котангенса во второй четверти. Мы делим отрицательное значение косинуса на положительное значение синуса:
$\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\text{отрицательное число}}{\text{положительное число}}$.
При делении отрицательного числа на положительное результат также всегда будет отрицательным. Следовательно, $\cot(\alpha) < 0$.

Ответ: Во второй четверти числовой окружности синус угла положителен, а косинус — отрицателен. Так как тангенс и котангенс определяются как отношения синуса и косинуса ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$), они представляют собой частное от деления чисел с разными знаками. Результат такого деления всегда отрицателен, поэтому и тангенс, и котангенс во второй четверти отрицательны.