Номер 4, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §5 - номер 4, страница 47.

Условие.

4. Составьте общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой:

а) 0;

б) 1;

в) -1.

Решение 6.

На числовой (тригонометрической) окружности, каждой точке с координатами $(x, y)$ соответствует число $t$ (угол в радианах), такое что $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. Ордината точки — это ее координата $y$. Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти все числа $t$, для которых $\sin(t)$ принимает заданные значения.

а) Найдем общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой 0. Это эквивалентно решению уравнения $\sin(t) = 0$. На единичной окружности ординату, равную нулю, имеют две точки: правая точка $(1, 0)$ и левая точка $(-1, 0)$. Правой точке соответствуют числа (углы) $0, 2\pi, 4\pi, \dots$, то есть $t = 2\pi n$, где $n \in Z$. Левой точке соответствуют числа (углы) $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$, то есть $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$. Эти две серии решений можно объединить в одну общую формулу, так как точки повторяются через каждый полуоборот (через $\pi$). Общая формула для всех таких чисел: $t = \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $t = \pi n, n \in Z$.

б) Найдем общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой 1. Это эквивалентно решению уравнения $\sin(t) = 1$. На единичной окружности ординату, равную единице, имеет только одна точка — самая верхняя точка с координатами $(0, 1)$. Этой точке соответствует число $\frac{\pi}{2}$. Поскольку полный оборот по окружности составляет $2\pi$, все остальные числа, соответствующие этой точке, получаются добавлением целого числа полных оборотов. Общая формула для всех таких чисел: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

в) Найдем общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой -1. Это эквивалентно решению уравнения $\sin(t) = -1$. На единичной окружности ординату, равную минус единице, имеет только одна точка — самая нижняя точка с координатами $(0, -1)$. Этой точке соответствует число $-\frac{\pi}{2}$ (или, что то же самое, $\frac{3\pi}{2}$). Все остальные числа, соответствующие этой точке, получаются добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi$). Общая формула для всех таких чисел: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.