Номер 4, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §4 - номер 4, страница 39.

Условие.

4. На числовой окружности отмечена точка $M(8)$. Как с её помощью найти точку $P(-8)$?

Решение 6.

На числовой окружности каждому действительному числу соответствует точка. Начальной точкой отсчета является точка $A(0)$, которая обычно располагается в крайней правой точке окружности (в декартовых координатах это точка $(1, 0)$).

Для того чтобы найти точку, соответствующую положительному числу, мы движемся от начальной точки $A(0)$ по окружности против часовой стрелки. Чтобы найти точку, соответствующую отрицательному числу, мы движемся по часовой стрелке.

Точка $M(8)$ получается путем движения из точки $A(0)$ против часовой стрелки на дугу длиной 8.

Точка $P(-8)$ получается путем движения из той же точки $A(0)$ по часовой стрелке на дугу длиной 8.

Поскольку мы откладываем дуги одинаковой длины (равной 8), но в противоположных направлениях от одной и той же начальной точки, то итоговые точки $M(8)$ и $P(-8)$ будут расположены симметрично друг другу относительно горизонтальной оси (оси абсцисс), проходящей через начальную точку $A(0)$.

Это также можно показать через координаты. Если точка $M(8)$ имеет координаты $(\cos(8), \sin(8))$, то точка $P(-8)$ будет иметь координаты $(\cos(-8), \sin(-8))$. Используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

• $ \cos(-t) = \cos(t) $ (косинус — четная функция)
• $ \sin(-t) = -\sin(t) $ (синус — нечетная функция)

Применительно к нашему случаю, $ \cos(-8) = \cos(8) $ и $ \sin(-8) = -\sin(8) $. Таким образом, координаты точки $P(-8)$ равны $(\cos(8), -\sin(8))$. Это означает, что у точек $M(8)$ и $P(-8)$ одинаковые абсциссы и противоположные по знаку ординаты, что и является определением симметрии относительно оси абсцисс.

Ответ: Чтобы с помощью точки $M(8)$ найти точку $P(-8)$, необходимо найти точку, симметричную $M(8)$ относительно горизонтальной оси числовой окружности.