Номер 4, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 1. ч. 1 - номер 4, страница 25.

4. Функционально-графические методы решения уравнений.

Функционально-графический метод решения уравнений — это способ нахождения корней уравнения, основанный на построении и анализе графиков функций. Суть метода заключается в том, чтобы представить уравнение в виде равенства двух функций и найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения их графиков. Эти абсциссы и будут являться решениями (корнями) исходного уравнения. Данный метод особенно полезен для определения количества корней и нахождения их приближенных значений, а в некоторых случаях и точных.

Метод представления уравнения в виде f(x) = g(x)

Это основной подход в рамках данного метода. Алгоритм решения следующий:

1. Исходное уравнение вида $H(x) = 0$ или другого преобразуется к виду $f(x) = g(x)$ таким образом, чтобы функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ были достаточно просты для построения их графиков.
2. В одной системе координат строятся графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
3. Находятся точки пересечения этих графиков.
4. Абсциссы точек пересечения являются корнями исходного уравнения.

Пример: Решить уравнение $x^2 - x - 2 = 0$.

Преобразуем уравнение к виду $f(x) = g(x)$:
$x^2 = x + 2$
Теперь у нас есть две функции: $f(x) = x^2$ (стандартная парабола) и $g(x) = x + 2$ (прямая).
Построим графики этих функций в одной системе координат.
Парабола $y = x^2$ проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$.
Прямая $y = x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.
Из графика видно, что он пересекается в двух точках: $A(-1, 1)$ и $B(2, 4)$.
Абсциссы этих точек: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ответ: Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$, в данном примере $x_1 = -1, x_2 = 2$.

Метод нахождения нулей функции F(x)

Этот метод является частным случаем предыдущего, где одна из функций — константа, равная нулю ($g(x) = 0$).

1. Уравнение приводится к виду $F(x) = 0$.
2. Строится график функции $y = F(x)$.
3. Находятся точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox).
4. Абсциссы этих точек (нули функции) являются корнями уравнения.

Пример: Решить то же уравнение $x^2 - x - 2 = 0$.

Уравнение уже представлено в виде $F(x) = 0$, где $F(x) = x^2 - x - 2$.
Построим график этой функции. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины можно найти по формуле $x_v = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$. Тогда $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$.
Корнями уравнения являются точки, в которых график пересекает ось Ox, то есть где $y=0$.
Из графика видно, что парабола пересекает ось абсцисс в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ответ: Корнями уравнения являются нули функции $F(x)$, то есть абсциссы точек пересечения ее графика с осью Ox, в данном примере $x_1 = -1, x_2 = 2$.

Пример решения трансцендентного уравнения

Функционально-графический метод часто является единственным доступным школьным методом для решения уравнений, содержащих функции разных классов (например, показательные и тригонометрические, логарифмические и степенные).

Пример: Решить уравнение $\log_3(x) = 4 - x$.

Аналитически решить это уравнение стандартными методами невозможно. Воспользуемся графическим методом.
Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_3(x)$ и $g(x) = 4 - x$.
Построим их графики:
$y = \log_3(x)$ — логарифмическая кривая, возрастающая на всей области определения ($x > 0$) и проходящая через точку $(1, 0)$ и $(3, 1)$.
$y = 4 - x$ — прямая, убывающая на всей числовой оси и проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.
Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Можно заметить, что при $x=3$ значения обеих функций совпадают:
$f(3) = \log_3(3) = 1$
$g(3) = 4 - 3 = 1$
Поскольку функция $y = \log_3(x)$ монотонно возрастает, а функция $y = 4 - x$ монотонно убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, найденный корень является единственным.

Ответ: $x=3$.

Преимущества и недостатки метода

Преимущества:

• Наглядность: метод позволяет визуализировать решение, "увидеть" корни.
• Определение количества корней: даже эскизное построение графиков часто позволяет точно определить число решений уравнения (или доказать их отсутствие).
• Решение сложных уравнений: незаменим для решения уравнений, которые не поддаются аналитическим преобразованиям.

Недостатки:

• Приближенность: точное значение корней можно найти только в том случае, если они являются целыми или простыми рациональными числами. В общем случае метод дает лишь приблизительное значение, точность которого зависит от масштаба и аккуратности построения графика.
• Трудоемкость: построение точных графиков, особенно для сложных функций, может быть трудоемкой задачей.

Ответ: Функционально-графический метод является мощным инструментом для качественного анализа уравнений (определения числа корней) и нахождения их приближенных значений, но для получения точных иррациональных корней требуются другие, аналитические или численные, методы.