Номер 3, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 1

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Темы исследовательских работ к главе 1. ч. 1 - номер 3, страница 25.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№3 (с. 25)
Условие. №3 (с. 25)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 25, номер 3, Условие

3. Графики функций, аналитическое задание которых содержит знаки модуля.

Решение 6. №3 (с. 25)

Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, используются стандартные методы преобразования графиков, основанные на определении модуля. Модуль (абсолютная величина) числа $a$, обозначаемый $|a|$, определяется как:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Рассмотрим основные типы таких функций и алгоритмы построения их графиков.

График функции y = |f(x)|

Исходя из определения модуля, $|f(x)| = f(x)$, если $f(x) \ge 0$, и $|f(x)| = -f(x)$, если $f(x) < 0$. Это означает, что значения функции $y = |f(x)|$ всегда неотрицательны, и ее график целиком расположен в верхней полуплоскости (включая ось $Ox$).

Алгоритм построения:

  1. Построить график функции $y = f(x)$.
  2. Часть графика, расположенную выше или на оси абсцисс $Ox$ (где $f(x) \ge 0$), оставить без изменений.
  3. Часть графика, расположенную ниже оси $Ox$ (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси $Ox$.

Пример: Построить график функции $y = |x^2 - 4|$.

1. Строим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(0, -4)$ и пересечениями с осью $Ox$ в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Части параболы на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, \infty)$, где $y \ge 0$, оставляем без изменений.

3. Часть параболы на промежутке $(-2, 2)$, где $y < 0$, отражаем симметрично относительно оси $Ox$. Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Ответ: Для построения графика $y = |f(x)|$ нужно построить график $y=f(x)$ и ту его часть, что лежит ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.

График функции y = f(|x|)

Функция $y = f(|x|)$ является четной, так как $f(|-x|) = f(|x|)$ для любого $x$ из области определения. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = f(x)$. Следовательно, для неотрицательных $x$ график $y = f(|x|)$ совпадает с графиком $y = f(x)$.

Алгоритм построения:

  1. Построить график функции $y = f(x)$ только для $x \ge 0$.
  2. Отбросить (если была построена) часть графика для $x < 0$.
  3. Построенную часть графика для $x \ge 0$ симметрично отразить относительно оси $Oy$.

Пример: Построить график функции $y = \sin(|x|)$.

1. Строим график функции $y = \sin(x)$ для $x \ge 0$. Это синусоида, начинающаяся в точке $(0, 0)$ и идущая вправо.

2. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Полученный график будет симметричен относительно оси ординат.

Ответ: Для построения графика $y = f(|x|)$ нужно построить график $y=f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси ординат.

График функции y = |f(|x|)|

Данный вид преобразования является комбинацией двух предыдущих. Построение можно выполнить последовательно, применив оба правила.

Алгоритм построения:

  1. Построить график функции $y = f(x)$.
  2. Применить преобразование для $y = f(|x|)$: оставить часть графика для $x \ge 0$ и симметрично отразить ее относительно оси $Oy$.
  3. К полученному графику функции $y = f(|x|)$ применить преобразование для модуля всей функции: часть графика, лежащую ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.

Пример: Построить график функции $y = |(x-3)^2 - 2|$. Нет, лучше пример $y = ||x| - 2|$.

Пример: Построить график функции $y = ||x|-2|$.

1. В качестве базовой функции $f(x)$ возьмем $y = x-2$. Это прямая.

2. Строим график $y = f(|x|) = |x|-2$. Для этого строим $y=x-2$ для $x \ge 0$ (луч из точки $(0,-2)$ вправо-вверх) и отражаем его относительно оси $Oy$. Получается "галочка" с вершиной в $(0,-2)$.

3. Строим график $y = ||x|-2|$. К полученному на шаге 2 графику применяем преобразование "модуль от всей функции". Часть графика ниже оси $Ox$ (между $x=-2$ и $x=2$) отражаем относительно оси $Ox$. Вершина $(0,-2)$ переходит в точку $(0,2)$. Итоговый график имеет форму буквы "W".

Ответ: Для построения графика $y = |f(|x|)|$ нужно сначала построить график $y=f(|x|)$, а затем его часть, лежащую ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.

График уравнения |y| = f(x)

Такое соотношение не всегда задает функцию, так как одному значению $x$ может соответствовать несколько значений $y$. Так как $|y| \ge 0$, график может существовать только для тех $x$, для которых $f(x) \ge 0$.

Если $f(x) \ge 0$, уравнение $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = f(x)$ и $y = -f(x)$.

Алгоритм построения:

  1. Построить график функции $y = f(x)$.
  2. Удалить (стереть) часть графика, которая расположена ниже оси $Ox$, так как для этих точек $f(x) < 0$ и уравнение не имеет решений.
  3. Оставшуюся часть графика (где $f(x) \ge 0$) оставить без изменений и добавить к ней ее же симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Пример: Построить график уравнения $|y| = x-1$.

1. Строим график функции $y = x-1$. Это прямая линия.

2. Условие существования графика: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Удаляем часть прямой, где $x < 1$.

3. Оставшаяся часть — это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и идущий вправо-вверх. Добавляем его отражение относительно оси $Ox$ — луч, выходящий из той же точки $(1, 0)$ и идущий вправо-вниз. График симметричен относительно оси $Ox$.

Ответ: Для построения графика уравнения $|y| = f(x)$ нужно построить график $y=f(x)$, удалить его части, лежащие ниже оси абсцисс, а оставшиеся части дополнить их симметричным отражением относительно оси абсцисс.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 25 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 25), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться