Номер 3, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 1 - номер 3, страница 25.

Условие.

3. Графики функций, аналитическое задание которых содержит знаки модуля.

Решение 6.

Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, используются стандартные методы преобразования графиков, основанные на определении модуля. Модуль (абсолютная величина) числа $a$, обозначаемый $|a|$, определяется как:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Рассмотрим основные типы таких функций и алгоритмы построения их графиков.

График функции y = |f(x)|

Исходя из определения модуля, $|f(x)| = f(x)$, если $f(x) \ge 0$, и $|f(x)| = -f(x)$, если $f(x) < 0$. Это означает, что значения функции $y = |f(x)|$ всегда неотрицательны, и ее график целиком расположен в верхней полуплоскости (включая ось $Ox$).

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Часть графика, расположенную выше или на оси абсцисс $Ox$ (где $f(x) \ge 0$), оставить без изменений.
3. Часть графика, расположенную ниже оси $Ox$ (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси $Ox$.

Пример: Построить график функции $y = |x^2 - 4|$.

1. Строим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(0, -4)$ и пересечениями с осью $Ox$ в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Части параболы на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, \infty)$, где $y \ge 0$, оставляем без изменений.

3. Часть параболы на промежутке $(-2, 2)$, где $y < 0$, отражаем симметрично относительно оси $Ox$. Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Ответ: Для построения графика $y = |f(x)|$ нужно построить график $y=f(x)$ и ту его часть, что лежит ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.

График функции y = f(|x|)

Функция $y = f(|x|)$ является четной, так как $f(|-x|) = f(|x|)$ для любого $x$ из области определения. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = f(x)$. Следовательно, для неотрицательных $x$ график $y = f(|x|)$ совпадает с графиком $y = f(x)$.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$ только для $x \ge 0$.
2. Отбросить (если была построена) часть графика для $x < 0$.
3. Построенную часть графика для $x \ge 0$ симметрично отразить относительно оси $Oy$.

Пример: Построить график функции $y = \sin(|x|)$.

1. Строим график функции $y = \sin(x)$ для $x \ge 0$. Это синусоида, начинающаяся в точке $(0, 0)$ и идущая вправо.

2. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Полученный график будет симметричен относительно оси ординат.

Ответ: Для построения графика $y = f(|x|)$ нужно построить график $y=f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси ординат.

График функции y = |f(|x|)|

Данный вид преобразования является комбинацией двух предыдущих. Построение можно выполнить последовательно, применив оба правила.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Применить преобразование для $y = f(|x|)$: оставить часть графика для $x \ge 0$ и симметрично отразить ее относительно оси $Oy$.
3. К полученному графику функции $y = f(|x|)$ применить преобразование для модуля всей функции: часть графика, лежащую ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.

Пример: Построить график функции $y = |(x-3)^2 - 2|$. Нет, лучше пример $y = ||x| - 2|$.

Пример: Построить график функции $y = ||x|-2|$.

1. В качестве базовой функции $f(x)$ возьмем $y = x-2$. Это прямая.

2. Строим график $y = f(|x|) = |x|-2$. Для этого строим $y=x-2$ для $x \ge 0$ (луч из точки $(0,-2)$ вправо-вверх) и отражаем его относительно оси $Oy$. Получается "галочка" с вершиной в $(0,-2)$.

3. Строим график $y = ||x|-2|$. К полученному на шаге 2 графику применяем преобразование "модуль от всей функции". Часть графика ниже оси $Ox$ (между $x=-2$ и $x=2$) отражаем относительно оси $Ox$. Вершина $(0,-2)$ переходит в точку $(0,2)$. Итоговый график имеет форму буквы "W".

Ответ: Для построения графика $y = |f(|x|)|$ нужно сначала построить график $y=f(|x|)$, а затем его часть, лежащую ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.

График уравнения |y| = f(x)

Такое соотношение не всегда задает функцию, так как одному значению $x$ может соответствовать несколько значений $y$. Так как $|y| \ge 0$, график может существовать только для тех $x$, для которых $f(x) \ge 0$.

Если $f(x) \ge 0$, уравнение $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = f(x)$ и $y = -f(x)$.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Удалить (стереть) часть графика, которая расположена ниже оси $Ox$, так как для этих точек $f(x) < 0$ и уравнение не имеет решений.
3. Оставшуюся часть графика (где $f(x) \ge 0$) оставить без изменений и добавить к ней ее же симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Пример: Построить график уравнения $|y| = x-1$.

1. Строим график функции $y = x-1$. Это прямая линия.

2. Условие существования графика: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Удаляем часть прямой, где $x < 1$.

3. Оставшаяся часть — это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и идущий вправо-вверх. Добавляем его отражение относительно оси $Ox$ — луч, выходящий из той же точки $(1, 0)$ и идущий вправо-вниз. График симметричен относительно оси $Ox$.

Ответ: Для построения графика уравнения $|y| = f(x)$ нужно построить график $y=f(x)$, удалить его части, лежащие ниже оси абсцисс, а оставшиеся части дополнить их симметричным отражением относительно оси абсцисс.