Номер 2, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 1 - номер 2, страница 25.

Условие.

2. Словесный способ задания функций. Функции $y=[x]$, $y=\{x\}$.

Решение 6.

1. Функции, с которыми мы встречались в основной школе.

В основной школе (5-9 классы) происходит знакомство с основными видами элементарных функций, которые являются фундаментом для дальнейшего изучения математики. Рассмотрим их подробнее.

Линейная функция

Задается уравнением вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$, если $k \neq 0$. Если $k=0$, то область значений состоит из одного числа $b$.
• График: прямая линия.
• Свойства коэффициентов:
  • Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Если $k > 0$, функция возрастает; если $k < 0$, функция убывает; если $k=0$, прямая параллельна оси Ox.
  • Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения графика с осью Oy, его значение равно $y(0)$.

Частными случаями линейной функции являются:

• Прямая пропорциональность: $y = kx$ (при $b=0$). График — прямая, проходящая через начало координат $(0;0)$.
• Постоянная функция (константа): $y = b$ (при $k=0$). График — прямая, параллельная оси Ox.

Квадратичная функция

Задается уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: парабола.
• Свойства:
  • Направление ветвей параболы зависит от знака старшего коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$ — вниз.
  • Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Координаты вершины $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0) = ax_0^2 + bx_0 + c$.

Степенная функция

Имеет вид $y = x^n$, где $n$ — показатель степени. В школе рассматриваются частные случаи.

• Обратная пропорциональность: $y = \frac{k}{x}$ (соответствует $y=kx^{-1}$ при $n=-1$). Область определения и область значений — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей.
• Функция квадратного корня: $y = \sqrt{x}$ (соответствует $y=x^{1/2}$). Область определения и область значений — все неотрицательные числа: $D(y) = [0; +\infty)$, $E(y) = [0; +\infty)$. График — ветвь параболы, лежащая в первой координатной четверти.

Функция модуля

Задается уравнением $y = |x|$. Ее можно определить кусочно: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.
• График: имеет V-образную форму, состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

Ответ: В основной школе изучают линейную функцию ($y=kx+b$), квадратичную ($y=ax^2+bx+c$), степенные функции (в частности, обратную пропорциональность $y=k/x$ и функцию квадратного корня $y=\sqrt{x}$), а также функцию модуля $y=|x|$. Каждая из этих функций имеет характерный график (прямая, парабола, гипербола и др.) и набор свойств, таких как область определения и область значений.

2. Словесный способ задания функций. Функции y = [x], y = {x}.

Словесный способ задания функций

Помимо привычных способов задания функции (формулой, графиком, таблицей), существует и словесный способ. Он заключается в том, что правило, по которому для каждого значения аргумента $x$ из области определения находится соответствующее значение функции $y$, описывается словами на естественном языке.

Этот способ особенно полезен, когда аналитическое выражение (формула) является сложным, громоздким или не существует в рамках элементарных функций.Примеры:

• "Каждому неотрицательному числу $x$ ставится в соответствие само это число, а каждому отрицательному числу $x$ — противоположное ему число $-x$". Это словесное описание функции модуля $y=|x|$.
• "Функция $y=f(x)$ принимает значение 1, если $x$ — рациональное число, и 0, если $x$ — иррациональное число". Это знаменитая функция Дирихле, которую невозможно изобразить наглядным графиком.

Функции "целая часть" и "дробная часть" также чаще всего вводятся именно словесно.

Функция $y = [x]$ (целая часть числа, антье)

Эта функция задается правилом: "Для любого действительного числа $x$ значение функции $y$ равно наибольшему целому числу, не превосходящему $x$". Обозначение: $y = [x]$.

Примеры вычисления:

• $[4.7] = 4$ (самое большое целое, которое меньше или равно 4.7)
• $[5] = 5$ (самое большое целое, которое не больше 5)
• $[-3.2] = -4$ (целые числа, не превосходящие -3.2, это ..., -6, -5, -4; наибольшее из них -4)
• $[-1] = -1$

Свойства функции $y=[x]$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех целых чисел, $E(y) = \mathbb{Z}$.
• График: ступенчатый ("лесенка"). Он состоит из бесконечного множества горизонтальных отрезков длиной 1. На каждом полуинтервале вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, функция постоянна и равна $n$. Левая точка отрезка $(n, n)$ включается в график, а правая $(n+1, n)$ — выкалывается.

Функция $y = \{x\}$ (дробная часть числа)

Эта функция задается правилом: "Для любого действительного числа $x$ значение функции $y$ равно разности между самим числом $x$ и его целой частью $[x]$".

Формульное определение: $\{x\} = x - [x]$.

Примеры вычисления:

• $\{4.7\} = 4.7 - [4.7] = 4.7 - 4 = 0.7$
• $\{5\} = 5 - [5] = 5 - 5 = 0$
• $\{-3.2\} = -3.2 - [-3.2] = -3.2 - (-4) = 0.8$

Свойства функции $y=\{x\}$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: полуинтервал $[0; 1)$. То есть, $0 \le \{x\} < 1$.
• Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T=1$.
• График: имеет "пилообразный" вид. На каждом полуинтервале $[n, n+1)$ ($n \in \mathbb{Z}$) график представляет собой наклонный отрезок, соединяющий точку $(n, 0)$ (включена) с точкой $(n+1, 1)$ (выколота).

Ответ: Словесный способ задания функции — это описание правила соответствия между аргументом и значением функции с помощью слов. Функция $y=[x]$ (целая часть) сопоставляет числу $x$ наибольшее целое число, которое его не превосходит. Функция $y=\{x\}$ (дробная часть) определяется как разность $x - [x]$ и всегда принимает значения в диапазоне $[0; 1)$. Обе эти функции являются классическими примерами функций, задаваемых словесно.