Номер 1, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §3. ч. 1 - номер 1, страница 23.

1. Что такое обратимая функция?

Обратимая функция — это функция, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие (биекцию) между своей областью определения и областью значений. Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение функции $y$, и, наоборот, каждому значению функции $y$ соответствует строго одно значение аргумента $x$.

Если функция $f$ обратима, то для неё существует обратная функция, которую обычно обозначают как $f^{-1}$. Эта функция выполняет обратное преобразование: если $y = f(x)$, то $x = f^{-1}(y)$.

Ключевые свойства и условия обратимости:

• Взаимная однозначность (инъективность): Функция обратима тогда и только тогда, когда она инъективна. Это значит, что разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции. Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.
• Графический критерий (тест горизонтальной линии): Функция является обратимой, если любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает её график не более чем в одной точке.
• Монотонность: Достаточным условием обратимости для непрерывной функции на некотором промежутке является её строгая монотонность на этом промежутке (то есть она либо строго возрастает, либо строго убывает). Например, функция $y=x^3$ строго возрастает на всей числовой оси, поэтому она обратима. А функция $y=x^2$ не является монотонной на всей оси, но она обратима на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[0, \infty)$ по отдельности.

Как найти обратную функцию:

1. Записать функцию в виде $y = f(x)$.
2. Выразить переменную $x$ через $y$. Получится уравнение вида $x = g(y)$.
3. В полученном уравнении поменять местами $x$ и $y$, чтобы привести к стандартному виду $y = g(x)$. Эта функция $g(x)$ и будет обратной к $f(x)$, то есть $g(x) = f^{-1}(x)$.

Пример: Найти функцию, обратную к $f(x) = 3x - 5$.

1. Запишем уравнение: $y = 3x - 5$.

2. Выразим $x$: $y + 5 = 3x \implies x = \frac{y+5}{3}$.

3. Меняем местами переменные $x$ и $y$: $y = \frac{x+5}{3}$.

Следовательно, обратная функция: $f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3}$.

Свойства графиков:

График обратной функции $y=f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$. Область определения исходной функции становится областью значений для обратной, а область значений исходной — областью определения для обратной: $D(f^{-1}) = E(f)$ и $E(f^{-1}) = D(f)$.

Ответ: Обратимая функция — это такая функция $y=f(x)$, которая каждое своё значение принимает ровно один раз. Иными словами, для каждого значения $y$ из области значений функции существует единственное значение $x$ из области её определения, такое что $f(x) = y$. Это позволяет определить обратную функцию $x=f^{-1}(y)$, которая "возвращает" исходный аргумент по значению функции.