Номер 10, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §2 - номер 10, страница 19.

Условие.

10. В каком случае числовое множество называют симметричным?

Решение 6.

Числовое множество $D$ называют симметричным (или симметричным относительно начала координат), если оно вместе с каждым своим элементом $x$ содержит и противоположный ему элемент $-x$.

Формально это записывается так: множество $D$ симметрично, если для любого $x \in D$ выполняется условие $-x \in D$.

Геометрически это означает, что точки множества на числовой прямой расположены симметрично относительно точки 0.

Рассмотрим несколько примеров.

Примеры симметричных множеств:

• Отрезок $[-a, a]$ или интервал $(-a, a)$, где $a > 0$. Например, множество $[-3, 3]$. Какое бы число из этого отрезка мы ни взяли (например, $2.5$), противоположное ему число ($-2.5$) также будет лежать на этом отрезке.
• Вся числовая прямая $R$ (или $(-\infty, +\infty)$). Для любого действительного числа $x$ существует и противоположное ему число $-x$.
• Объединение симметричных промежутков, например, $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Если число $x$ принадлежит этому множеству (например, $x=5$), то и $-x$ (то есть $-5$) также принадлежит ему.
• Конечное множество, содержащее для каждого элемента противоположный, например, $\{-5, -2, 0, 2, 5\}$.

Примеры несимметричных множеств:

• Отрезок $[1, 5]$. Он содержит, например, число $3$, но не содержит число $-3$.
• Полуинтервал $[-2, 4)$. Он содержит число $3$, но не содержит $-3$. Кроме того, он содержит $-2$, но не содержит $2$.
• Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$. В нем нет отрицательных чисел.

Понятие симметричного множества является фундаментальным при изучении свойств функций, в частности, при определении чётности и нечётности. Функция может быть чётной ($f(-x) = f(x)$) или нечётной ($f(-x) = -f(x)$) только в том случае, если её область определения является симметричным множеством.

Ответ: Числовое множество называют симметричным, если для любого числа, принадлежащего этому множеству, противоположное ему число также принадлежит этому множеству.