Номер 4, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §2 - номер 4, страница 19.

Условие.

4. Как, глядя на график функции, установить, является ли она:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

Решение 6.

Чтобы по графику функции определить её ограниченность, необходимо проанализировать поведение её значений (координат по оси ординат $y$) на всей области определения.

а) ограниченной снизу;

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что все значения функции больше или равны этому числу. Формально это записывается как: существует $m \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

С геометрической точки зрения это означает, что можно провести горизонтальную прямую с уравнением $y=m$, относительно которой весь график функции будет находиться выше или на ней самой. То есть, не существует ни одной точки графика, которая лежала бы ниже этой прямой.

Пример: График параболы $y=x^2$ ограничен снизу, так как все его точки лежат выше или на прямой $y=0$.

Ответ: Чтобы по графику установить, что функция ограничена снизу, нужно убедиться, что можно провести горизонтальную прямую, ниже которой нет ни одной точки графика функции.

б) ограниченной сверху;

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что все значения функции меньше или равны этому числу. Формально: существует $M \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

С геометрической точки зрения это означает, что можно провести горизонтальную прямую с уравнением $y=M$, относительно которой весь график функции будет находиться ниже или на ней самой. То есть, не существует ни одной точки графика, которая лежала бы выше этой прямой.

Пример: График параболы $y=-x^2$ ограничен сверху, так как все его точки лежат ниже или на прямой $y=0$.

Ответ: Чтобы по графику установить, что функция ограничена сверху, нужно убедиться, что можно провести горизонтальную прямую, выше которой нет ни одной точки графика функции.

в) ограниченной?

Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху одновременно. Это означает, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$.

С геометрической точки зрения это означает, что весь график функции можно заключить в горизонтальную полосу конечной ширины, ограниченную двумя прямыми $y=m$ и $y=M$.

Пример: График функции $y=\sin(x)$ ограничен, так как все его значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. Весь график можно заключить в полосу между прямыми $y=-1$ и $y=1$.

Ответ: Чтобы по графику установить, что функция является ограниченной, нужно убедиться, что её график можно полностью поместить в горизонтальную полосу, то есть найти одну горизонтальную прямую, которая проходит ниже всего графика, и другую, которая проходит выше всего графика.