Номер 3, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §2. ч. 1 - номер 3, страница 19.

3. Какую функцию называют ограниченной снизу? ограниченной сверху?

ограниченной снизу

Функцию $y = f(x)$ называют ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Это означает, что все значения функции не опускаются ниже определённого уровня. Геометрически график такой функции целиком лежит выше или на некоторой горизонтальной прямой $y=m$. Число $m$ называют нижней границей (или оценкой снизу) для множества значений функции.

Пример: Функция $f(x) = x^2 + 5$. Наименьшее значение этой функции равно 5 (при $x=0$). Для всех действительных чисел $x$ справедливо неравенство $x^2+5 \ge 5$. Следовательно, эта функция ограничена снизу числом $m=5$.

Ответ: Функцию называют ограниченной снизу, если существует число $m$, такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

ограниченной сверху

Функцию $y = f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Это означает, что все значения функции не поднимаются выше определённого уровня. Геометрически график такой функции целиком лежит ниже или на некоторой горизонтальной прямой $y=M$. Число $M$ называют верхней границей (или оценкой сверху) для множества значений функции.

Пример: Функция $f(x) = -x^2 - 2$. Наибольшее значение этой функции равно -2 (при $x=0$). Для всех действительных чисел $x$ справедливо неравенство $-x^2-2 \le -2$. Следовательно, эта функция ограничена сверху числом $M=-2$.

Ответ: Функцию называют ограниченной сверху, если существует число $M$, такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.