Номер 5, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §2. ч. 1 - номер 5, страница 19.

5. Дайте определение наименьшего (наибольшего) значения функции на некотором промежутке из области определения функции.

Определение наименьшего значения функции

Пусть функция $y = f(x)$ определена на некотором промежутке $X$, который является подмножеством её области определения ($X \subseteq D(f)$).

Число $m$ называется наименьшим значением функции $f(x)$ на промежутке $X$, если выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0$ в промежутке $X$ (то есть $x_0 \in X$), для которой значение функции равно $m$. Математически это записывается как $f(x_0) = m$.
2. Для любой точки $x$ из промежутка $X$ значение функции не меньше, чем $m$. Математически это означает, что для любого $x \in X$ справедливо неравенство $f(x) \ge m$.

Иными словами, наименьшее значение — это такое значение, которое функция реально достигает в одной или нескольких точках заданного промежутка, и ни в какой другой точке этого промежутка функция не принимает меньшего значения. Наименьшее значение функции на промежутке $X$ также называют глобальным минимумом на этом промежутке и обозначают как $\min_{x \in X} f(x)$ или $y_{наим}$.

Ответ: Число $m$ называется наименьшим значением функции $y=f(x)$ на промежутке $X$, если существует точка $x_0 \in X$ такая, что $f(x_0) = m$, и для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Определение наибольшего значения функции

Пусть функция $y = f(x)$ определена на некотором промежутке $X$, который является подмножеством её области определения ($X \subseteq D(f)$).

Число $M$ называется наибольшим значением функции $f(x)$ на промежутке $X$, если выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0$ в промежутке $X$ (то есть $x_0 \in X$), для которой значение функции равно $M$. Математически это записывается как $f(x_0) = M$.
2. Для любой точки $x$ из промежутка $X$ значение функции не больше, чем $M$. Математически это означает, что для любого $x \in X$ справедливо неравенство $f(x) \le M$.

Иными словами, наибольшее значение — это такое значение, которое функция реально достигает в одной или нескольких точках заданного промежутка, и ни в какой другой точке этого промежутка функция не принимает большего значения. Наибольшее значение функции на промежутке $X$ также называют глобальным максимумом на этом промежутке и обозначают как $\max_{x \in X} f(x)$ или $y_{наиб}$.

Ответ: Число $M$ называется наибольшим значением функции $y=f(x)$ на промежутке $X$, если существует точка $x_0 \in X$ такая, что $f(x_0) = M$, и для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.