Номер 7, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §2 - номер 7, страница 19.

Условие.

7. Известно, что у функции есть наибольшее значение. Является ли она ограниченной снизу? сверху?

Решение 6.

сверху?
Да, функция является ограниченной сверху.
По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.
По условию задачи, у функции есть наибольшее значение. Обозначим его $y_{наиб}$. Это означает, что по определению для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le y_{наиб}$.
Сравнивая определение ограниченности сверху и определение наибольшего значения, мы видим, что в качестве числа $M$ можно взять само наибольшее значение функции, то есть $M = y_{наиб}$. Следовательно, если у функции есть наибольшее значение, она всегда будет ограничена сверху.
Ответ: да, является.

ограниченной снизу?
Нет, не обязательно. Функция, имеющая наибольшее значение, может быть как ограниченной снизу, так и не ограниченной снизу.
По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Наличие у функции наибольшего значения не гарантирует существования такого числа $m$.
Чтобы это показать, достаточно привести контрпример. Рассмотрим функцию $y = -x^2$.
Эта функция имеет наибольшее значение $y_{наиб} = 0$, которое достигается при $x=0$. Таким образом, условие задачи выполнено. Однако эта функция не ограничена снизу. Её область значений $E(y) = (-\infty; 0]$. Это значит, что функция может принимать сколь угодно малые (отрицательные и большие по модулю) значения. Например, $f(-100) = -10000$. Не существует числа $m$, которое было бы меньше или равно всем значениям функции.
В то же время, существуют функции, которые имеют наибольшее значение и при этом ограничены снизу. Например, функция $y=\sin(x)$ имеет наибольшее значение $1$ и ограничена снизу числом $-1$.
Таким образом, из того, что у функции есть наибольшее значение, нельзя сделать однозначный вывод о её ограниченности снизу.
Ответ: не обязательно.