Номер 7, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §2. ч. 1 - номер 7, страница 19.
№7 (с. 19)
Условие. №7 (с. 19)
скриншот условия

7. Известно, что у функции есть наибольшее значение. Является ли она ограниченной снизу? сверху?
Решение 6. №7 (с. 19)
сверху?
Да, функция является ограниченной сверху.
По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.
По условию задачи, у функции есть наибольшее значение. Обозначим его $y_{наиб}$. Это означает, что по определению для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le y_{наиб}$.
Сравнивая определение ограниченности сверху и определение наибольшего значения, мы видим, что в качестве числа $M$ можно взять само наибольшее значение функции, то есть $M = y_{наиб}$. Следовательно, если у функции есть наибольшее значение, она всегда будет ограничена сверху.
Ответ: да, является.
ограниченной снизу?
Нет, не обязательно. Функция, имеющая наибольшее значение, может быть как ограниченной снизу, так и не ограниченной снизу.
По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Наличие у функции наибольшего значения не гарантирует существования такого числа $m$.
Чтобы это показать, достаточно привести контрпример. Рассмотрим функцию $y = -x^2$.
Эта функция имеет наибольшее значение $y_{наиб} = 0$, которое достигается при $x=0$. Таким образом, условие задачи выполнено. Однако эта функция не ограничена снизу. Её область значений $E(y) = (-\infty; 0]$. Это значит, что функция может принимать сколь угодно малые (отрицательные и большие по модулю) значения. Например, $f(-100) = -10000$. Не существует числа $m$, которое было бы меньше или равно всем значениям функции.
В то же время, существуют функции, которые имеют наибольшее значение и при этом ограничены снизу. Например, функция $y=\sin(x)$ имеет наибольшее значение $1$ и ограничена снизу числом $-1$.
Таким образом, из того, что у функции есть наибольшее значение, нельзя сделать однозначный вывод о её ограниченности снизу.
Ответ: не обязательно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 19 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 19), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.