Номер 2, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §3. ч. 1 - номер 2, страница 23.

2. Приведите пример обратимой функции.

Функция называется обратимой, если она каждому своему значению из области значений ставит в соответствие единственное значение из области определения. Говоря иначе, для любых двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, значения функции $f(x_1)$ и $f(x_2)$ также будут различны.

Достаточным условием обратимости является строгая монотонность функции (строгое возрастание или строгое убывание) на всей ее области определения.

Рассмотрим в качестве примера линейную функцию:

$y = f(x) = 2x + 3$

1. Проверка на обратимость.

Эта функция определена на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$). Она является строго возрастающей. Чтобы это показать, возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Тогда:

$x_1 < x_2$ | умножим на 2 (положительное число)

$2x_1 < 2x_2$ | прибавим 3 к обеим частям

$2x_1 + 3 < 2x_2 + 3$

что соответствует $f(x_1) < f(x_2)$.

Поскольку из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$, функция является строго возрастающей, а значит, и обратимой.

2. Нахождение обратной функции.

Для нахождения обратной функции нужно из уравнения $y = 2x + 3$ выразить переменную $x$ через $y$:

$y = 2x + 3$

$y - 3 = 2x$

$x = \frac{y-3}{2}$

Полученное выражение $x = \frac{y-3}{2}$ задает обратную функцию. По традиции, в записи функции аргумент обозначают буквой $x$, а саму функцию — $y$. Выполнив замену переменных, получим вид обратной функции:

$y = \frac{x-3}{2}$

Ответ: Примером обратимой функции является любая линейная функция $y = kx + b$ при $k \neq 0$, например, $y = 2x + 3$. Другие примеры: $y = x^3$, $y = e^x$, $y = \log_a(x)$.