Номер 5, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §3. ч. 1 - номер 5, страница 23.

5. Как, зная график обратимой функции, построить график обратной функции?

5.

Пусть дана обратимая функция $y = f(x)$. График этой функции — это множество всех точек с координатами $(x, y)$ в декартовой системе координат, для которых выполняется равенство $y = f(x)$.

Функция $y = g(x)$, обратная к функции $y = f(x)$, определяется таким образом, что если $y = f(x)$, то $x = g(y)$. Для стандартной записи аргумент обратной функции также обозначают через $x$, то есть $y = g(x) = f^{-1}(x)$.

Рассмотрим произвольную точку $M(a, b)$, которая лежит на графике исходной функции $y = f(x)$. Это значит, что координаты точки удовлетворяют уравнению функции: $b = f(a)$.

Согласно определению обратной функции, из равенства $b = f(a)$ следует, что $a = f^{-1}(b)$. Это означает, что точка $N$ с координатами $(b, a)$ принадлежит графику обратной функции $y = f^{-1}(x)$.

Таким образом, каждой точке $M(a, b)$ на графике функции $f(x)$ соответствует точка $N(b, a)$ на графике обратной функции $f^{-1}(x)$. Геометрически преобразование, которое меняет местами координаты точки $(a, b) \rightarrow (b, a)$, является симметрией (отражением) относительно прямой $y = x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Следовательно, для построения графика обратной функции необходимо весь график исходной функции отобразить симметрично относительно прямой $y = x$.

Ответ: Чтобы построить график обратной функции, зная график исходной обратимой функции, необходимо симметрично отразить график исходной функции относительно прямой $y = x$.