Номер 1, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §4 - номер 1, страница 38.

Условие.

1. Что такое числовая окружность?

Решение 6.

1. Что такое числовая окружность?

Числовая окружность — это окружность единичного радиуса с центром в начале координат, на которой установлено соответствие между действительными числами и точками окружности. Это ключевое понятие в тригонометрии, позволяющее наглядно представить тригонометрические функции.

Построение и принцип работы числовой окружности:

1. В декартовой системе координат $xOy$ рассматривается окружность, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 1$. Её центр находится в точке $(0, 0)$, а радиус равен 1.

2. Выбирается начальная точка отсчета. По соглашению, это самая правая точка окружности — $A(1, 0)$.

3. Устанавливается соответствие между действительными числами и точками окружности. Для этого можно представить, что числовая прямая "наматывается" на окружность. Точка 0 на прямой совмещается с начальной точкой $A(1, 0)$.

4. Положительная часть числовой прямой (числа $t > 0$) наматывается на окружность в направлении против часовой стрелки. Каждому положительному числу $t$ соответствует точка на окружности, в которую мы попадем, пройдя от точки $A$ путь длиной $t$ против часовой стрелки.

5. Отрицательная часть числовой прямой (числа $t < 0$) наматывается на окружность в направлении по часовой стрелке. Каждому отрицательному числу $t$ соответствует точка, в которую мы попадем, пройдя от точки $A$ путь длиной $|t|$ по часовой стрелке.

Основные свойства и применение:

• Периодичность. Длина единичной окружности равна $2\pi R = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$. Это означает, что если мы пройдем по окружности путь, равный $2\pi$, мы вернемся в исходную точку. Поэтому, если точке $M$ на окружности соответствует число $t$, то ей также соответствуют все числа вида $t + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

• Ключевые точки. Наиболее важные точки на окружности соответствуют числам, кратным $\pi/2$ и $\pi/4$:
  - числу 0 соответствует точка $(1, 0)$;
  - числу $\pi/2$ соответствует точка $(0, 1)$;
  - числу $\pi$ соответствует точка $(-1, 0)$;
  - числу $3\pi/2$ соответствует точка $(0, -1)$;
  - числу $2\pi$ снова соответствует точка $(1, 0)$.

• Основа тригонометрии. Числовая окружность позволяет определить тригонометрические функции для любого действительного числа (угла в радианах). Если числу $t$ соответствует точка $M$ с координатами $(x, y)$, то по определению:
  - косинус числа $t$ — это абсцисса точки $M$: $\cos(t) = x$;
  - синус числа $t$ — это ордината точки $M$: $\sin(t) = y$.
  Отсюда следуют и определения других функций: $\tan(t) = y/x$ и $\cot(t) = x/y$.

Ответ: Числовая окружность — это модель, представляющая собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат, которая используется для установления соответствия между множеством действительных чисел и точками на этой окружности. Каждому числу $t$ ставится в соответствие точка, полученная движением из начальной точки $(1, 0)$ на расстояние $|t|$ вдоль окружности (против часовой стрелки для $t>0$ и по часовой для $t<0$). Эта модель служит основой для определения тригонометрических функций.