Номер 2, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §5 - номер 2, страница 47.

Условие.

2. Можно ли утверждать, что имеют одинаковые декартовы координаты точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$? точки $\pi$ и $-177\pi$?

Решение 6.

точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$

Чтобы определить, имеют ли две точки, заданные углами на единичной окружности, одинаковые декартовы координаты, необходимо проверить, отличаются ли эти углы на величину, кратную $2\pi$ (полный оборот). Иными словами, если разность углов $\alpha$ и $\beta$ равна $2\pi k$, где $k$ — любое целое число, то точки совпадают.

Пусть $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = -\frac{5\pi}{3}$. Найдем их разность:
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.

Разность равна $2\pi$, что соответствует условию $2\pi k$ при $k=1$. Следовательно, точки имеют одинаковые декартовы координаты.

Для проверки найдем декартовы координаты $(x; y)$ для каждого угла по формулам $x = \cos(\theta)$ и $y = \sin(\theta)$.

Для угла $\theta_1 = \frac{\pi}{3}$:
$x_1 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
$y_1 = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для угла $\theta_2 = -\frac{5\pi}{3}$:
$x_2 = \cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
$y_2 = \sin\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = - \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Координаты обеих точек совпадают: $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Ответ: да, можно утверждать, что точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$ имеют одинаковые декартовы координаты.

точки $\pi$ и $-177\pi$

Применим тот же подход для второй пары точек. Пусть $\alpha = \pi$ и $\beta = -177\pi$.

Найдем разность углов:
$\alpha - \beta = \pi - (-177\pi) = \pi + 177\pi = 178\pi$.

Теперь проверим, кратна ли эта разность $2\pi$:
$\frac{178\pi}{2\pi} = 89$.

Так как 89 — целое число, разность углов составляет 89 полных оборотов ($178\pi = 89 \cdot 2\pi$). Следовательно, эти точки также имеют одинаковые декартовы координаты.

Найдем их координаты для проверки.

Для угла $\theta_1 = \pi$:
$x_1 = \cos(\pi) = -1$
$y_1 = \sin(\pi) = 0$

Для угла $\theta_2 = -177\pi$:
Любой угол вида $(2k+1)\pi$, где $k$ — целое, соответствует точке $(-1; 0)$ на единичной окружности. Так как $-177$ является нечетным числом, то:
$x_2 = \cos(-177\pi) = \cos(177\pi) = -1$
$y_2 = \sin(-177\pi) = -\sin(177\pi) = 0$

Координаты обеих точек совпадают: $(-1; 0)$.

Ответ: да, можно утверждать, что точки $\pi$ и $-177\pi$ имеют одинаковые декартовы координаты.