Номер 5, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §5 - номер 5, страница 47.

Условие.

окружности соответствует a) 0, 0, 1, 0)

5. Можно ли на числовой окружности найти точки с абсциссой $\sqrt{2}$; с ординатой $\frac{\sqrt{5}}{3}$? Если можно, то сколько имеется таких точек?

Решение 6.

Уравнение числовой (единичной) окружности, с центром в начале координат, в декартовой системе координат имеет вид $x^2 + y^2 = 1$. Здесь $x$ — это абсцисса, а $y$ — ордината точки, лежащей на окружности. Важным свойством точек на единичной окружности является то, что их координаты (абсцисса и ордината) должны находиться в пределах отрезка $[-1, 1]$. То есть, для любой точки $(x, y)$ на окружности должны выполняться условия: $-1 \le x \le 1$ и $-1 \le y \le 1$.

с абсциссой $\sqrt{2}$

Рассмотрим возможность существования точки на числовой окружности с абсциссой $x = \sqrt{2}$.
Приблизительное значение $\sqrt{2}$ составляет $1.414...$.
Поскольку $\sqrt{2} > 1$, это значение не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, которому должны принадлежать абсциссы всех точек числовой окружности. Следовательно, точки с такой абсциссой на ней не существует.
Это можно также проверить алгебраически. Подставим $x = \sqrt{2}$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$:
$(\sqrt{2})^2 + y^2 = 1$
$2 + y^2 = 1$
$y^2 = -1$
Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: нет, нельзя найти точку с абсциссой $\sqrt{2}$.

с ординатой $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Рассмотрим возможность существования точки с ординатой $y = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Сначала проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[-1, 1]$. Для этого сравним $\frac{\sqrt{5}}{3}$ с $1$.
Сравним их квадраты (так как оба числа положительны):
$\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$
$1^2 = 1$
Так как $\frac{5}{9} < 1$, то и $\frac{\sqrt{5}}{3} < 1$. Значение ординаты находится в допустимом диапазоне $[-1, 1]$, следовательно, такие точки существуют.
Теперь найдем количество таких точек, подставив $y = \frac{\sqrt{5}}{3}$ в уравнение окружности:
$x^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1$
$x^2 + \frac{5}{9} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{5}{9}$
$x^2 = \frac{4}{9}$
Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы:
$x_1 = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
$x_2 = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$
Таким образом, существуют две точки с ординатой $\frac{\sqrt{5}}{3}$: это точки с координатами $\left(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)$ и $\left(-\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)$.
Ответ: да, можно; имеются две такие точки.