Номер 1, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §5 - номер 1, страница 47.

Условие.

1. Мысленно расположите числовую окружность, представленную на рисунке 32 (§4), в прямоугольной декартовой системе координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а горизонтальный и вертикальный диаметры принадлежали осям координат. Назовите:

а) декартовы координаты точек $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$;

б) декартовы координаты точек, отмеченных чёрточками.

Решение 6.

Задача состоит в том, чтобы определить декартовы координаты некоторых точек на числовой окружности. Числовая окружность — это окружность единичного радиуса ($R=1$), центр которой совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат $(0, 0)$. Каждой точке на этой окружности соответствует число $t$, равное длине дуги от начальной точки $(1, 0)$ до данной точки. Декартовы координаты $(x, y)$ такой точки определяются тригонометрическими функциями: $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

а) декартовы координаты точек $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$;

Эти точки являются "основными" и лежат на пересечении окружности с осями координат.

- Для точки, соответствующей числу 0, мы находимся в начальной точке на оси Ox.
Координаты вычисляются как $(\cos 0, \sin 0)$.
$x = \cos 0 = 1$
$y = \sin 0 = 0$
Координаты точки 0: $(1, 0)$.

- Для точки, соответствующей числу $\frac{\pi}{2}$, мы проходим четверть окружности против часовой стрелки и оказываемся на оси Oy.
Координаты вычисляются как $(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2})$.
$x = \cos \frac{\pi}{2} = 0$
$y = \sin \frac{\pi}{2} = 1$
Координаты точки $\frac{\pi}{2}$: $(0, 1)$.

- Для точки, соответствующей числу $\pi$, мы проходим половину окружности и оказываемся на отрицательной части оси Ox.
Координаты вычисляются как $(\cos \pi, \sin \pi)$.
$x = \cos \pi = -1$
$y = \sin \pi = 0$
Координаты точки $\pi$: $(-1, 0)$.

- Для точки, соответствующей числу $\frac{3\pi}{2}$, мы проходим три четверти окружности и оказываемся на отрицательной части оси Oy.
Координаты вычисляются как $(\cos \frac{3\pi}{2}, \sin \frac{3\pi}{2})$.
$x = \cos \frac{3\pi}{2} = 0$
$y = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$
Координаты точки $\frac{3\pi}{2}$: $(0, -1)$.

Ответ: Координаты точек $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ равны соответственно $(1, 0), (0, 1), (-1, 0)$ и $(0, -1)$.

---

б) декартовы координаты точек, отмеченных чёрточками.

Так как в условии задачи отсутствует рисунок 32, мы предположим, что под "чёрточками" имеются в виду стандартные отметки на числовой окружности, которые соответствуют углам, кратным $\frac{\pi}{6}$ (30°) и $\frac{\pi}{4}$ (45°), не лежащим на осях координат.

I четверть:
- Точка $\frac{\pi}{6}$: $(\cos\frac{\pi}{6}, \sin\frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$
- Точка $\frac{\pi}{4}$: $(\cos\frac{\pi}{4}, \sin\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$
- Точка $\frac{\pi}{3}$: $(\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

II четверть (координата $x$ отрицательна, $y$ положительна):
- Точка $\frac{2\pi}{3}$: $(\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
- Точка $\frac{3\pi}{4}$: $(\cos\frac{3\pi}{4}, \sin\frac{3\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$
- Точка $\frac{5\pi}{6}$: $(\cos\frac{5\pi}{6}, \sin\frac{5\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

III четверть (координаты $x$ и $y$ отрицательны):
- Точка $\frac{7\pi}{6}$: $(\cos\frac{7\pi}{6}, \sin\frac{7\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$
- Точка $\frac{5\pi}{4}$: $(\cos\frac{5\pi}{4}, \sin\frac{5\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$
- Точка $\frac{4\pi}{3}$: $(\cos\frac{4\pi}{3}, \sin\frac{4\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

IV четверть (координата $x$ положительна, $y$ отрицательна):
- Точка $\frac{5\pi}{3}$: $(\cos\frac{5\pi}{3}, \sin\frac{5\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
- Точка $\frac{7\pi}{4}$: $(\cos\frac{7\pi}{4}, \sin\frac{7\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$
- Точка $\frac{11\pi}{6}$: $(\cos\frac{11\pi}{6}, \sin\frac{11\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$

Ответ: Координаты точек, отмеченных чёрточками (предположительно), следующие:
$\frac{\pi}{6}: (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$; $\frac{\pi}{4}: (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; $\frac{\pi}{3}: (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$; $\frac{2\pi}{3}: (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$; $\frac{3\pi}{4}: (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; $\frac{5\pi}{6}: (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$; $\frac{7\pi}{6}: (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$; $\frac{5\pi}{4}: (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$; $\frac{4\pi}{3}: (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$; $\frac{5\pi}{3}: (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$; $\frac{7\pi}{4}: (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$; $\frac{11\pi}{6}: (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.