Номер 1, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §6 - номер 1, страница 60.

Условие.

1. Что такое $ \sin t $? Что такое $ \cos t $?

Решение 6.

Что такое sin t?

Синус (обозначается как $\sin t$) – это одна из основных тригонометрических функций. Существует несколько способов его определения, наиболее общим из которых является определение через единичную окружность.

Определение через прямоугольный треугольник (для острых углов)
В прямоугольном треугольнике синусом острого угла $t$ называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы.
Если дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$, и угол $t$ является углом, противолежащим катету $a$, то:
$\sin t = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Определение через единичную окружность (универсальное определение)
Рассмотрим в декартовой системе координат окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом, равным 1. Такую окружность называют единичной.
Начальная точка $P_0$ имеет координаты (1,0). При повороте этой точки на угол $t$ против часовой стрелки вокруг начала координат мы получаем новую точку $P$ на окружности. Угол $t$ может быть любым действительным числом и обычно измеряется в радианах.
Синусом угла $t$ называется ордината (координата $y$) точки $P$.
$y = \sin t$

Таким образом, синус характеризует вертикальное смещение точки на единичной окружности относительно центра. Значения синуса всегда лежат в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin t \le 1$. Это нечетная ($\sin(-t) = -\sin t$) и периодическая функция с основным периодом $2\pi$.

Ответ: Синус угла $t$ — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности, которая получается при повороте начальной точки (1,0) на угол $t$ вокруг центра координат.

Что такое cos t?

Косинус (обозначается как $\cos t$) – это еще одна основная тригонометрическая функция, которая определяется аналогично синусу.

Определение через прямоугольный треугольник (для острых углов)
В прямоугольном треугольнике косинусом острого угла $t$ называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.
Если в том же треугольнике угол $t$ прилежит к катету $b$, то:
$\cos t = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$

Определение через единичную окружность (универсальное определение)
В той же модели с единичной окружностью, где точка $P$ с координатами $(x, y)$ получена поворотом точки $P_0(1,0)$ на угол $t$:
Косинусом угла $t$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P$.
$x = \cos t$

Соответственно, косинус характеризует горизонтальное смещение точки на единичной окружности. Значения косинуса также лежат в пределах от -1 до 1 ($-1 \le \cos t \le 1$). Это четная ($\cos(-t) = \cos t$) и периодическая функция с основным периодом $2\pi$. Синус и косинус связаны фундаментальным соотношением, известным как основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, которое является следствием теоремы Пифагора для треугольника, образованного в единичной окружности.

Ответ: Косинус угла $t$ — это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности, которая получается при повороте начальной точки (1,0) на угол $t$ вокруг центра координат.