Номер 6, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §3. ч. 1 - номер 6, страница 23.
№6 (с. 23)
Условие. №6 (с. 23)
скриншот условия

6. Даны две функции: $y = x^3$, $x \in [-2; 2]$, и $y = x^2$, $x \in [-2; 2]$. Для какой из них можно найти обратную функцию, а для какой — нельзя?
Если обратная функция существует, то задайте её аналитически и постройте на одном чертеже графики прямой и обратной функций.
Решение 6. №6 (с. 23)
Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения (т.е. либо строго возрастать, либо строго убывать). Это означает, что каждому значению функции $y$ должно соответствовать только одно значение аргумента $x$. Проверим каждую из данных функций на соответствие этому условию.
Для функции $y = x^3, x \in [-2; 2]$
Найдем производную функции: $y' = (x^3)' = 3x^2$.
На интервале $x \in [-2; 2]$ производная $y' = 3x^2 \ge 0$. Она обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[-2; 2]$.
Поскольку функция строго монотонна, для нее существует обратная функция.
Найдем аналитическое выражение для обратной функции.
- Исходная функция: $y = x^3$ с областью определения $D(y) = [-2; 2]$.
- Найдем область значений исходной функции. Так как функция возрастающая, ее минимальное значение будет при $x=-2$, а максимальное при $x=2$:
$y_{min} = (-2)^3 = -8$
$y_{max} = (2)^3 = 8$
Следовательно, область значений $E(y) = [-8; 8]$. - Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=x^3$:
$x = \sqrt[3]{y}$ - Поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде:
$y = \sqrt[3]{x}$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \in [-8; 8]$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \in [-2; 2]$.
Итак, обратная функция задается формулой $y = \sqrt[3]{x}$ при $x \in [-8; 8]$.
Построим графики прямой функции $y = x^3$ (синий) и обратной ей функции $y = \sqrt[3]{x}$ (красный) на одном чертеже. Графики симметричны относительно прямой $y=x$ (пунктирная линия).
Ответ: Для функции $y = x^3, x \in [-2; 2]$ обратная функция существует и задается формулой $y = \sqrt[3]{x}$ с областью определения $x \in [-8; 8]$.
Для функции $y = x^2, x \in [-2; 2]$
Рассмотрим эту функцию на заданной области определения. Эта функция не является монотонной на интервале $[-2; 2]$. Например, на отрезке $[-2; 0]$ функция убывает (так как ее производная $y'=2x$ отрицательна), а на отрезке $[0; 2]$ функция возрастает (производная положительна).
Из-за отсутствия строгой монотонности разным значениям аргумента $x$ может соответствовать одно и то же значение функции $y$. Например:
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$.
При $x = 1$, $y = (1)^2 = 1$.
Поскольку двум разным значениям аргумента ($x=-1$ и $x=1$) соответствует одно и то же значение функции ($y=1$), функция не является взаимно однозначной, и для нее не существует обратной функции на всей области определения $x \in [-2; 2]$.
Ответ: Для функции $y = x^2, x \in [-2; 2]$ найти обратную функцию нельзя, так как она не является строго монотонной на данной области определения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 23 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 23), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.