Номер 6, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §3 - номер 6, страница 23.

Условие.

6. Даны две функции: $y = x^3$, $x \in [-2; 2]$, и $y = x^2$, $x \in [-2; 2]$. Для какой из них можно найти обратную функцию, а для какой — нельзя?

Если обратная функция существует, то задайте её аналитически и постройте на одном чертеже графики прямой и обратной функций.

Решение 6.

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения (т.е. либо строго возрастать, либо строго убывать). Это означает, что каждому значению функции $y$ должно соответствовать только одно значение аргумента $x$. Проверим каждую из данных функций на соответствие этому условию.

Для функции $y = x^3, x \in [-2; 2]$

Найдем производную функции: $y' = (x^3)' = 3x^2$.
На интервале $x \in [-2; 2]$ производная $y' = 3x^2 \ge 0$. Она обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[-2; 2]$.
Поскольку функция строго монотонна, для нее существует обратная функция.

Найдем аналитическое выражение для обратной функции.

1. Исходная функция: $y = x^3$ с областью определения $D(y) = [-2; 2]$.
2. Найдем область значений исходной функции. Так как функция возрастающая, ее минимальное значение будет при $x=-2$, а максимальное при $x=2$:
   $y_{min} = (-2)^3 = -8$
   $y_{max} = (2)^3 = 8$
   Следовательно, область значений $E(y) = [-8; 8]$.
3. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=x^3$:
   $x = \sqrt[3]{y}$
4. Поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде:
   $y = \sqrt[3]{x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \in [-8; 8]$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \in [-2; 2]$.

Итак, обратная функция задается формулой $y = \sqrt[3]{x}$ при $x \in [-8; 8]$.

Построим графики прямой функции $y = x^3$ (синий) и обратной ей функции $y = \sqrt[3]{x}$ (красный) на одном чертеже. Графики симметричны относительно прямой $y=x$ (пунктирная линия).

Ответ: Для функции $y = x^3, x \in [-2; 2]$ обратная функция существует и задается формулой $y = \sqrt[3]{x}$ с областью определения $x \in [-8; 8]$.

---

Для функции $y = x^2, x \in [-2; 2]$

Рассмотрим эту функцию на заданной области определения. Эта функция не является монотонной на интервале $[-2; 2]$. Например, на отрезке $[-2; 0]$ функция убывает (так как ее производная $y'=2x$ отрицательна), а на отрезке $[0; 2]$ функция возрастает (производная положительна).
Из-за отсутствия строгой монотонности разным значениям аргумента $x$ может соответствовать одно и то же значение функции $y$. Например:
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$.
При $x = 1$, $y = (1)^2 = 1$.
Поскольку двум разным значениям аргумента ($x=-1$ и $x=1$) соответствует одно и то же значение функции ($y=1$), функция не является взаимно однозначной, и для нее не существует обратной функции на всей области определения $x \in [-2; 2]$.

Ответ: Для функции $y = x^2, x \in [-2; 2]$ найти обратную функцию нельзя, так как она не является строго монотонной на данной области определения.