Номер 11, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §2 - номер 11, страница 19.

Условие.

11. Как, глядя на график некоторой функции, установить, является ли она чётной или нечётной?

Решение 6.

Чётная функция

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Важным условием является то, что область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.

Геометрическое свойство графика чётной функции — симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если мысленно согнуть плоскость чертежа по оси $Oy$, то части графика, расположенные справа и слева от этой оси, совпадут. Иными словами, для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, точка $(-x_0, y_0)$ также принадлежит этому графику.

Таким образом, чтобы по графику определить, является ли функция чётной, нужно посмотреть, является ли ось $Oy$ осью симметрии для её графика.

Примеры чётных функций: $y = x^2$, $y = |x|$, $y = \cos(x)$.

Ответ: Функция является чётной, если её график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

Нечётная функция

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения нечётной функции также должна быть симметрична относительно нуля.

Геометрическое свойство графика нечётной функции — симметрия относительно начала координат (точки $O(0, 0)$). Эту симметрию можно представить как поворот графика на $180^\circ$ вокруг начала координат. Если после такого поворота график совпадает сам с собой, то функция нечётная. Для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит этому графику.

Таким образом, чтобы по графику определить, является ли функция нечётной, нужно проверить наличие у её графика центральной симметрии относительно начала координат.

Примеры нечётных функций: $y = x^3$, $y = \sin(x)$, $y = 1/x$.

Ответ: Функция является нечётной, если её график симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни чётной, ни нечётной

Если график функции не обладает ни одним из перечисленных видов симметрии (ни относительно оси $Oy$, ни относительно начала координат), то такая функция называется функцией общего вида, то есть она не является ни чётной, ни нечётной. Это самый распространённый случай.

Также стоит помнить, что функция не может быть чётной или нечётной, если её область определения несимметрична относительно нуля, например, $D(f) = [0; +\infty)$ или $D(f) = (-2; 3)$.

Примеры функций общего вида: $y = x+1$, $y = e^x$, $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Если график функции не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат, то функция не является ни чётной, ни нечётной.