Номер 8, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §2. ч. 1 - номер 8, страница 19.

8. Какую функцию называют чётной?

Функцию $y = f(x)$ называют чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняются два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля. Это означает, что если число $x$ принадлежит области определения, то и противоположное ему число $-x$ также принадлежит этой области.

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство: $$f(-x) = f(x)$$

Свойство графика чётной функции
График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если точка $(x_0; y_0)$ принадлежит графику, то и симметричная ей относительно оси $Oy$ точка $(-x_0; y_0)$ также принадлежит этому графику.

Примеры чётных функций
- $y = x^2$, $y = x^4$, $y=x^6$ (и в общем виде $y = x^{2n}$, где $n$ - натуральное число). Проверка для $y=x^2$: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
- $y = |x|$ (модуль числа). Проверка: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$.
- $y = \cos(x)$ (косинус). Это следует из свойства косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$.
- $y = C$ (постоянная функция, где $C$ - некоторое число). Проверка: $f(-x) = C$ и $f(x) = C$, следовательно $f(-x) = f(x)$.

Ответ: Чётной называют функцию $y=f(x)$, у которой область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.