Номер 3, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §3. ч. 1 - номер 3, страница 23.

3. Что такое обратная функция?

Определение

Пусть задана функция $y = f(x)$ с областью определения $D(f)$ и областью значений $E(f)$. Если каждому значению $y \in E(f)$ соответствует единственное значение $x \in D(f)$ такое, что $f(x) = y$, то можно определить обратную функцию.

Обратная функция, обозначаемая как $f^{-1}(x)$ или $g(x)$, — это функция, которая сопоставляет каждому $y$ из области значений исходной функции соответствующее значение $x$ из её области определения. Таким образом, если $y = f(x)$, то $x = f^{-1}(y)$.

По сути, обратная функция "отменяет" действие исходной функции.

Условие существования

Функция $y = f(x)$ имеет обратную на некотором множестве, если на этом множестве она является обратимой. Главное условие обратимости — функция должна быть взаимно однозначной (или биективной). Это означает, что каждому элементу из области определения соответствует уникальный элемент из области значений, и наоборот.

Для числовых функций, определённых на некотором промежутке, достаточное условие обратимости — строгая монотонность. То есть функция на этом промежутке должна быть либо строго возрастающей, либо строго убывающей. Это гарантирует, что разным значениям аргумента $x$ будут соответствовать разные значения функции $y$.

Например, функция $y = x^2$ не является строго монотонной на всей числовой оси (она убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$), поэтому для неё нельзя найти обратную на всей области определения. Однако, если ограничить её область определения, например, промежутком $[0, +\infty)$, то на этом промежутке она будет строго возрастать, и обратная функция будет существовать.

Алгоритм нахождения обратной функции

Чтобы найти функцию, обратную к $y = f(x)$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Убедиться, что функция $f(x)$ обратима на своей области определения (или на заданном промежутке).
2. В уравнении $y = f(x)$ выразить переменную $x$ через $y$. Получится выражение вида $x = g(y)$. Это и есть обратная функция, но записанная в нестандартном виде.
3. Для получения стандартной записи поменять местами переменные $x$ и $y$. Полученная функция $y = g(x)$ и будет обратной к $f(x)$, то есть $y = f^{-1}(x)$.

Основные свойства

• Область определения и область значений: Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, а область значений обратной функции — с областью определения исходной.
  $D(f^{-1}) = E(f)$
  $E(f^{-1}) = D(f)$
• Графики: График обратной функции $y = f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $y = f(x)$ относительно прямой $y = x$. Это происходит потому, что для получения обратной функции мы, по сути, меняем местами координаты $(x, y)$ на $(y, x)$.
• Композиция: Композиция (последовательное применение) функции и её обратной даёт тождественную функцию, то есть возвращает исходный аргумент.
  $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$.
  $f(f^{-1}(y)) = y$ для всех $y$ из области определения $f^{-1}$.

Пример

Найдём функцию, обратную к линейной функции $f(x) = 3x - 5$.

1. Эта функция строго возрастает на всей числовой оси, значит, она обратима.

2. Запишем $y = 3x - 5$ и выразим $x$ через $y$:
$y + 5 = 3x$
$x = \frac{y + 5}{3}$

3. Меняем местами $x$ и $y$, чтобы получить стандартный вид:
$y = \frac{x + 5}{3}$

Таким образом, обратная функция: $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$.

Ответ:

Обратная функция $f^{-1}(x)$ для функции $y=f(x)$ — это функция, которая каждому значению $y$ из области значений $f(x)$ ставит в соответствие такое значение $x$ из области определения $f(x)$, что $f(x)=y$. Иначе говоря, обратная функция "возвращает" аргумент по значению функции. Для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была взаимно однозначной (например, строго монотонной на рассматриваемом промежутке). Чтобы найти обратную функцию, нужно в уравнении $y=f(x)$ выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.