Страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.11 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $s = f(t)$,

если:

а) $f(t) = 1 - (\cos^2 t - \sin^2 t)$;

б) $f(t) = 1 - \sin t \cdot \cos t \cdot \tan t$;

в) $f(t) = \sin t + 3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$;

г) $f(t) = \cos^2 t \cdot \tan^2 t + 5 \cos^2 t - 1$.

а) Исходная функция: $f(t) = 1 - (\cos^2 t - \sin^2 t)$.
Для упрощения выражения в скобках воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$.
Подставив эту формулу в исходное выражение, получим функцию: $f(t) = 1 - \cos(2t)$.
Область значений функции косинуса, в том числе и для $\cos(2t)$, является отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos(2t) \le 1$.
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(t)$, рассмотрим крайние значения $\cos(2t)$.
Наименьшее значение $s_{min}$ функция $f(t)$ принимает, когда вычитаемое $\cos(2t)$ максимально, то есть $\cos(2t) = 1$:
$s_{min} = 1 - 1 = 0$.
Наибольшее значение $s_{max}$ функция $f(t)$ принимает, когда вычитаемое $\cos(2t)$ минимально, то есть $\cos(2t) = -1$:
$s_{max} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Таким образом, область значений функции — отрезок $[0, 2]$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

б) Исходная функция: $f(t) = 1 - \sin t \cdot \cos t \cdot \text{tg}\, t$.
Область определения функции задается условием существования тангенса, то есть $\cos t \neq 0$.
Используя определение тангенса $\text{tg}\, t = \frac{\sin t}{\cos t}$, преобразуем функцию (при условии $\cos t \neq 0$):
$f(t) = 1 - \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = 1 - \sin^2 t$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, мы можем заменить $1 - \sin^2 t$ на $\cos^2 t$.
$f(t) = \cos^2 t$.
Область значений функции $y = \cos t$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений для $y = \cos^2 t$ — это отрезок $[0, 1]$.
Однако, из-за ограничения $\cos t \neq 0$, значение $\cos^2 t = 0$ не достигается.
Таким образом, множество значений функции $f(t)$ — это полуинтервал $(0, 1]$.
Наибольшее значение равно 1 и достигается, когда $\cos^2 t = 1$ (например, при $t=0$).
Наименьшее значение не достигается. Функция может принимать значения, сколь угодно близкие к 0, но никогда не равные ему.
Ответ: наибольшее значение 1, наименьшее значение не достигается (значения функции стремятся к 0).

в) Исходная функция: $f(t) = \sin t + 3\sin^2 t + 3\cos^2 t$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки: $f(t) = \sin t + 3(\sin^2 t + \cos^2 t)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:
$f(t) = \sin t + 3(1) = \sin t + 3$.
Область значений функции $y = \sin t$ — это отрезок $[-1, 1]$.
$-1 \le \sin t \le 1$.
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(t)$, прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-1 + 3 \le \sin t + 3 \le 1 + 3$,
$2 \le f(t) \le 4$.
Следовательно, наименьшее значение функции равно 2, а наибольшее — 4.
Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение 4.

г) Исходная функция: $f(t) = \cos^2 t \cdot \text{tg}^2 t + 5\cos^2 t - 1$.
Область определения функции задается условием $\cos t \neq 0$.
Используя определение тангенса $\text{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$, преобразуем функцию (при условии $\cos t \neq 0$):
$f(t) = \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 5\cos^2 t - 1 = \sin^2 t + 5\cos^2 t - 1$.
Чтобы упростить выражение, представим $5\cos^2 t$ как $\cos^2 t + 4\cos^2 t$:
$f(t) = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 4\cos^2 t - 1$.
Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:
$f(t) = 1 + 4\cos^2 t - 1 = 4\cos^2 t$.
Область значений $y = \cos^2 t$ — это отрезок $[0, 1]$, следовательно, область значений для $y = 4\cos^2 t$ — это отрезок $[0, 4]$.
Но, учитывая ограничение $\cos t \neq 0$, получаем, что $\cos^2 t \neq 0$, и, соответственно, $4\cos^2 t \neq 0$.
Таким образом, множество значений функции $f(t)$ — это полуинтервал $(0, 4]$.
Наибольшее значение равно 4 и достигается при $\cos^2 t = 1$.
Наименьшее значение не достигается, так как функция может принимать значения, сколь угодно близкие к 0.
Ответ: наибольшее значение 4, наименьшее значение не достигается (значения функции стремятся к 0).

7.16 a) $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\text{ctg } t - \sin t \cos t} = 2 \text{tg}^2 t;$

б) $\sin^3 t (1 + \text{ctg } t) + \cos^3 t (1 + \text{tg } t) = \sin t + \cos t.$

a) Докажем тождество $ \frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\ctg t - \sin t \cos t} = 2 \tg^2 t $.
Преобразуем левую часть равенства.
1. Упростим числитель, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $ и основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $:
$ (\sin t + \cos t)^2 - 1 = (\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t) - 1 = (1 + 2 \sin t \cos t) - 1 = 2 \sin t \cos t $.
2. Упростим знаменатель, выразив котангенс через синус и косинус $ \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} $:
$ \ctg t - \sin t \cos t = \frac{\cos t}{\sin t} - \sin t \cos t = \frac{\cos t - \sin^2 t \cos t}{\sin t} = \frac{\cos t(1 - \sin^2 t)}{\sin t} $.
Используя тождество $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t $, получаем:
$ \frac{\cos t \cdot \cos^2 t}{\sin t} = \frac{\cos^3 t}{\sin t} $.
3. Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в левую часть исходного равенства:
$ \frac{2 \sin t \cos t}{\frac{\cos^3 t}{\sin t}} = 2 \sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t \cos t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t} $.
4. Используя определение тангенса $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} $, получим:
$ 2 \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = 2 \tg^2 t $.
Мы преобразовали левую часть к виду правой части: $ 2 \tg^2 t = 2 \tg^2 t $. Тождество доказано. Область допустимых значений: $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $, то есть $ t \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: тождество доказано.

б) Докажем тождество $ \sin^3 t (1 + \ctg t) + \cos^3 t (1 + \tg t) = \sin t + \cos t $.
Преобразуем левую часть равенства. Для этого сначала упростим выражения в скобках, используя определения котангенса $ \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} $ и тангенса $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} $.
$ 1 + \ctg t = 1 + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin t + \cos t}{\sin t} $.
$ 1 + \tg t = 1 + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\cos t + \sin t}{\cos t} $.
Теперь подставим эти выражения в левую часть тождества:
$ \sin^3 t \left(\frac{\sin t + \cos t}{\sin t}\right) + \cos^3 t \left(\frac{\cos t + \sin t}{\cos t}\right) $.
Сократим дроби:
$ \sin^2 t (\sin t + \cos t) + \cos^2 t (\sin t + \cos t) $.
Вынесем общий множитель $ (\sin t + \cos t) $ за скобки:
$ (\sin t + \cos t)(\sin^2 t + \cos^2 t) $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, получаем:
$ (\sin t + \cos t) \cdot 1 = \sin t + \cos t $.
Мы преобразовали левую часть к виду правой части: $ \sin t + \cos t = \sin t + \cos t $. Тождество доказано. Область допустимых значений для данного тождества определяется условиями существования $ \ctg t $ и $ \tg t $, то есть $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $. Это означает, что $ t \neq \frac{\pi k}{2} $ для любого целого $ k $.
Ответ: тождество доказано.

Упростите выражение:

7.12 a) $\operatorname{ctg} t - \frac{\cos t - 1}{\sin t};$

б) $\operatorname{ctg}^2 t - (\sin^{-2} t - 1);$

в) $\cos^2 t - (\operatorname{ctg}^2 t + 1) \cdot \sin^2 t;$

г) $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t.$

а) $ \text{ctg } t - \frac{\cos t - 1}{\sin t} $

Для упрощения данного выражения приведем его к общему знаменателю. Для этого представим котангенс через синус и косинус.

1. Используем определение котангенса: $ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{\cos t}{\sin t} - \frac{\cos t - 1}{\sin t} $

2. Так как у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание числителей:
$ \frac{\cos t - (\cos t - 1)}{\sin t} $

3. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{\cos t - \cos t + 1}{\sin t} = \frac{1}{\sin t} $

Ответ: $ \frac{1}{\sin t} $

б) $ \text{ctg}^2 t - (\sin^{-2} t - 1) $

Упростим выражение, используя тригонометрические тождества.

1. Вспомним, что отрицательная степень означает обратную величину: $ \sin^{-2} t = \frac{1}{\sin^2 t} $.
Выражение принимает вид:
$ \text{ctg}^2 t - \left(\frac{1}{\sin^2 t} - 1\right) $

2. Используем одно из основных тригонометрических тождеств, связывающее котангенс и синус: $ 1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $.

3. Из этого тождества выразим $ \text{ctg}^2 t $: $ \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} - 1 $.

4. Заметим, что выражение в скобках в нашей задаче как раз равно $ \text{ctg}^2 t $. Подставим это:
$ \text{ctg}^2 t - \text{ctg}^2 t = 0 $

Ответ: $ 0 $

в) $ \cos^2 t - (\text{ctg}^2 t + 1) \cdot \sin^2 t $

Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Рассмотрим выражение в скобках: $ \text{ctg}^2 t + 1 $. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ 1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \cos^2 t - \left(\frac{1}{\sin^2 t}\right) \cdot \sin^2 t $

2. Упростим второе слагаемое. Произведение дроби на ее знаменатель равно единице:
$ \frac{1}{\sin^2 t} \cdot \sin^2 t = 1 $

3. Теперь выражение выглядит так:
$ \cos^2 t - 1 $

4. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ следует, что $ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $.

Ответ: $ -\sin^2 t $

г) $ \frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} + \text{tg } t \cdot \text{ctg } t $

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. Рассмотрим дробь $ \frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ имеем:
$ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t $
$ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{-\cos^2 t}{-\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} $

2. Вспомним, что $ \frac{\cos t}{\sin t} = \text{ctg } t $, следовательно, $ \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \text{ctg}^2 t $.

3. Теперь рассмотрим второе слагаемое: $ \text{tg } t \cdot \text{ctg } t $. По определению, тангенс и котангенс - взаимно обратные функции: $ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} $.
Их произведение равно 1:
$ \text{tg } t \cdot \frac{1}{\text{tg } t} = 1 $.

4. Сложим упрощенные части выражения:
$ \text{ctg}^2 t + 1 $

5. Используем тождество $ 1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $ для получения окончательного ответа.

Ответ: $ \frac{1}{\sin^2 t} $

7.17 a) Дано: $ \sin (4\pi + t) = \frac{3}{5} $, $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Вычислите $ \operatorname{tg}(\pi - t) $.

б) Дано: $ \cos (2\pi + t) = \frac{12}{13} $, $ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $. Вычислите $ \operatorname{ctg}(\pi - t) $.

а) Дано: $ \sin(4\pi + t) = \frac{3}{5} $ и $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Нужно вычислить $ \text{tg}(\pi - t) $.
1. Используем свойство периодичности синуса, согласно которому $ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) $ для любого целого $ k $. В нашем случае $ k=2 $.
$ \sin(4\pi + t) = \sin(t) $.
Следовательно, $ \sin(t) = \frac{3}{5} $.
2. По условию, угол $ t $ находится в интервале $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $, что соответствует I четверти. В этой четверти косинус положителен.
3. Найдем $ \cos(t) $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $.
$ \cos^2(t) = 1 - \sin^2(t) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.
Так как $ \cos(t) > 0 $, то $ \cos(t) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.
4. Теперь найдем $ \text{tg}(t) $.
$ \text{tg}(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} $.
5. Используем формулу приведения для тангенса: $ \text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t) $.
$ \text{tg}(\pi - t) = -\frac{3}{4} $.
Ответ: $ -\frac{3}{4} $.

б) Дано: $ \cos(2\pi + t) = \frac{12}{13} $ и $ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $. Нужно вычислить $ \text{ctg}(\pi - t) $.
1. Используем свойство периодичности косинуса, согласно которому $ \cos(x + 2k\pi) = \cos(x) $ для любого целого $ k $. В нашем случае $ k=1 $.
$ \cos(2\pi + t) = \cos(t) $.
Следовательно, $ \cos(t) = \frac{12}{13} $.
2. По условию, угол $ t $ находится в интервале $ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $, что соответствует IV четверти. В этой четверти синус отрицателен.
3. Найдем $ \sin(t) $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $.
$ \sin^2(t) = 1 - \cos^2(t) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} $.
Так как $ \sin(t) < 0 $, то $ \sin(t) = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $.
4. Теперь найдем $ \text{ctg}(t) $.
$ \text{ctg}(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5} $.
5. Используем формулу приведения для котангенса: $ \text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg}(t) $.
$ \text{ctg}(\pi - t) = - \left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{12}{5} $.
Ответ: $ \frac{12}{5} $.

7.13 a) $\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}$;

Б) $\text{ctg}^2 t \cdot (\cos^2 t - 1) + 1$;

В) $\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 - \sin t}$;

Г) $\frac{\text{tg} t + 1}{1 + \text{ctg} t}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение $(1 + \cos t)(1 - \cos t)$.
Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем: $(1 + \cos t)(1 - \cos t) = 1^2 - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, имеем $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{\sin t (1 - \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)} + \frac{\sin t (1 + \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)} = \frac{\sin t (1 - \cos t) + \sin t (1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t} = \frac{\sin t - \sin t \cos t + \sin t + \sin t \cos t}{\sin^2 t}$.
В числителе слагаемые $-\sin t \cos t$ и $\sin t \cos t$ взаимно уничтожаются:
$\frac{2 \sin t}{\sin^2 t} = \frac{2}{\sin t}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin t}$.

б) Чтобы упростить выражение $\text{ctg}^2 t \cdot (\cos^2 t - 1) + 1$, воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
Из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Определение котангенса: $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, следовательно, $\text{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$.
Подставим эти выражения в исходное:
$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot (-\sin^2 t) + 1$.
Сократим $\sin^2 t$:
$-\cos^2 t + 1 = 1 - \cos^2 t$.
Снова используя основное тригонометрическое тождество, получаем $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Ответ: $\sin^2 t$.

в) Упростим выражение $\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 - \sin t}$. Решение аналогично пункту а).
Общий знаменатель: $(1 + \sin t)(1 - \sin t) = 1 - \sin^2 t$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Сложим дроби:
$\frac{\cos t (1 - \sin t) + \cos t (1 + \sin t)}{(1 + \sin t)(1 - \sin t)} = \frac{\cos t - \cos t \sin t + \cos t + \cos t \sin t}{1 - \sin^2 t} = \frac{2 \cos t}{\cos^2 t} = \frac{2}{\cos t}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos t}$.

г) Упростим выражение $\frac{\text{tg} t + 1}{1 + \text{ctg} t}$.
Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.
Подставим в исходное выражение:
$\frac{\frac{\sin t}{\cos t} + 1}{1 + \frac{\cos t}{\sin t}}$.
Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби:
$\frac{\frac{\sin t + \cos t}{\cos t}}{\frac{\sin t + \cos t}{\sin t}}$.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$\frac{\sin t + \cos t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t}{\sin t + \cos t}$.
Сократим одинаковые множители $(\sin t + \cos t)$: $\frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg} t$.
Ответ: $\text{tg} t$.

7.18 a) Дано: $\cos t = -\frac{5}{13}$, $8.5\pi < t < 9\pi$. Вычислите $\sin(-t)$.

б) Дано: $\sin t = \frac{4}{5}$, $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$. Вычислите $\cos(-t) + \sin(-t)$.

а)

Нам нужно вычислить $\sin(-t)$. Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-t) = -\sin t$.
Теперь найдем $\sin t$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
Дано, что $\cos t = -\frac{5}{13}$. Подставим это значение в тождество:
$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Отсюда $\sin t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Чтобы определить знак синуса, рассмотрим заданный интервал для $t$: $8,5\pi < t < 9\pi$.
Этот интервал соответствует второй координатной четверти, так как $8,5\pi = 8\pi + 0,5\pi$ и $9\pi = 8\pi + \pi$. Во второй четверти синус положителен ($\sin t > 0$).
Следовательно, $\sin t = \frac{12}{13}$.
Теперь мы можем вычислить искомое значение:
$\sin(-t) = -\sin t = -\frac{12}{13}$.
Ответ: $-\frac{12}{13}$.

б)

Нам нужно вычислить $\cos(-t) + \sin(-t)$. Используем свойства четности косинуса и нечетности синуса:
$\cos(-t) = \cos t$ (косинус — четная функция).
$\sin(-t) = -\sin t$ (синус — нечетная функция).
Таким образом, выражение преобразуется к виду: $\cos(-t) + \sin(-t) = \cos t - \sin t$.
Нам дано значение $\sin t = \frac{4}{5}$. Найдем $\cos t$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.
Отсюда $\cos t = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
Определим знак косинуса из заданного интервала для $t$: $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$.
Преобразуем границы интервала: $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$ и $5\pi = 4\pi + \pi$. Отбросив полные обороты ($4\pi$), получаем интервал $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, что соответствует второй координатной четверти.
Во второй четверти косинус отрицателен ($\cos t < 0$).
Значит, $\cos t = -\frac{3}{5}$.
Теперь вычислим значение искомого выражения:
$\cos t - \sin t = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3+4}{5} = -\frac{7}{5}$.
Ответ: $-\frac{7}{5}$.

7.14 a) $ \frac{1 - \sin^2 t}{1 - \cos^2 t} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t; $

б) $ \frac{\cos^2 t - \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t - \operatorname{tg}^2 t}. $

a) Упростим выражение $\frac{1 - \sin^2 t}{1 - \cos^2 t} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$.

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Из него следуют два равенства:

$1 - \sin^2 t = \cos^2 t$

$1 - \cos^2 t = \sin^2 t$

Подставим их в первую дробь выражения:

$\frac{1 - \sin^2 t}{1 - \cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$

По определению котангенса, $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, следовательно, $\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \operatorname{ctg}^2 t$.

2. Упростим второе слагаемое. По определению, тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами:

$\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$ (при условии, что $\sin t \neq 0$ и $\cos t \neq 0$).

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$\frac{1 - \sin^2 t}{1 - \cos^2 t} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \operatorname{ctg}^2 t + 1$.

4. Используем еще одно тригонометрическое тождество, являющееся следствием основного: $1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$.

Таким образом, выражение равно $\frac{1}{\sin^2 t}$.

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 t}$.

б) Упростим выражение $\frac{\cos^2 t - \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t - \operatorname{tg}^2 t}$.

1. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\operatorname{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$

$\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$

2. Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби:

$\frac{\cos^2 t - \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}$

3. Упростим числитель, вынеся $\cos^2 t$ за скобки:

$\cos^2 t - \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \cos^2 t \left(1 - \frac{1}{\sin^2 t}\right) = \cos^2 t \left(\frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t}\right)$

4. Упростим знаменатель, вынеся $\sin^2 t$ за скобки:

$\sin^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \sin^2 t \left(1 - \frac{1}{\cos^2 t}\right) = \sin^2 t \left(\frac{\cos^2 t - 1}{\cos^2 t}\right)$

5. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует:

$\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$

$\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$

Подставим эти соотношения в выражения для числителя и знаменателя:

Числитель: $\cos^2 t \left(\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}\right) = -\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t}$

Знаменатель: $\sin^2 t \left(\frac{-\sin^2 t}{\cos^2 t}\right) = -\frac{\sin^4 t}{\cos^2 t}$

6. Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{-\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t}}{-\frac{\sin^4 t}{\cos^2 t}} = \frac{\cos^4 t}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^4 t} = \frac{\cos^6 t}{\sin^6 t}$

7. Полученное выражение является шестой степенью котангенса:

$\frac{\cos^6 t}{\sin^6 t} = \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^6 = \operatorname{ctg}^6 t$

Ответ: $\operatorname{ctg}^6 t$.

Докажите тождество:

7.15 a) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t};$

б) $\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t};$

В) $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t;$

Г) $\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}.$

а) Чтобы доказать тождество $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$, преобразуем его правую часть.

Разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} + \frac{\operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} + 1$.

Воспользуемся определением котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$ и подставим его в полученное выражение:
$\frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}} + 1 = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} + 1$.

После сокращения на $\cos t$ получаем:
$\sin t + 1$.

В результате преобразований мы получили левую часть исходного равенства. Таким образом, тождество $1 + \sin t = 1 + \sin t$ является верным.
Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$, преобразуем его левую часть.

Умножим числитель и знаменатель левой дроби на выражение $(1 + \sin t)$:
$\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}{\cos t (1 + \sin t)}$.

В числителе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$\frac{1 - \sin^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$. Заменим числитель:
$\frac{\cos^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}$.

Сократим дробь на $\cos t$:
$\frac{\cos t}{1 + \sin t}$.

В результате мы получили правую часть исходного равенства. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$, преобразуем его левую часть.

Разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} + \frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} + 1$.

Воспользуемся определением тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и подставим его в выражение:
$\frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} + 1 = \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} + 1$.

После сокращения на $\sin t$ получаем:
$\cos t + 1$.

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства: $1 + \cos t$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$, преобразуем его левую часть.

Умножим числитель и знаменатель левой дроби на выражение $(1 + \cos t)$:
$\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin t (1 + \cos t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}$.

В знаменателе применим формулу разности квадратов:
$\frac{\sin t (1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t}$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$. Заменим знаменатель:
$\frac{\sin t (1 + \cos t)}{\sin^2 t}$.

Сократим дробь на $\sin t$:
$\frac{1 + \cos t}{\sin t}$.

В результате мы получили правую часть исходного равенства. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

1. Что такое обратимая функция?

Обратимая функция — это функция, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие (биекцию) между своей областью определения и областью значений. Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение функции $y$, и, наоборот, каждому значению функции $y$ соответствует строго одно значение аргумента $x$.

Если функция $f$ обратима, то для неё существует обратная функция, которую обычно обозначают как $f^{-1}$. Эта функция выполняет обратное преобразование: если $y = f(x)$, то $x = f^{-1}(y)$.

Ключевые свойства и условия обратимости:

• Взаимная однозначность (инъективность): Функция обратима тогда и только тогда, когда она инъективна. Это значит, что разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции. Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.
• Графический критерий (тест горизонтальной линии): Функция является обратимой, если любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает её график не более чем в одной точке.
• Монотонность: Достаточным условием обратимости для непрерывной функции на некотором промежутке является её строгая монотонность на этом промежутке (то есть она либо строго возрастает, либо строго убывает). Например, функция $y=x^3$ строго возрастает на всей числовой оси, поэтому она обратима. А функция $y=x^2$ не является монотонной на всей оси, но она обратима на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[0, \infty)$ по отдельности.

Как найти обратную функцию:

1. Записать функцию в виде $y = f(x)$.
2. Выразить переменную $x$ через $y$. Получится уравнение вида $x = g(y)$.
3. В полученном уравнении поменять местами $x$ и $y$, чтобы привести к стандартному виду $y = g(x)$. Эта функция $g(x)$ и будет обратной к $f(x)$, то есть $g(x) = f^{-1}(x)$.

Пример: Найти функцию, обратную к $f(x) = 3x - 5$.

1. Запишем уравнение: $y = 3x - 5$.

2. Выразим $x$: $y + 5 = 3x \implies x = \frac{y+5}{3}$.

3. Меняем местами переменные $x$ и $y$: $y = \frac{x+5}{3}$.

Следовательно, обратная функция: $f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3}$.

Свойства графиков:

График обратной функции $y=f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$. Область определения исходной функции становится областью значений для обратной, а область значений исходной — областью определения для обратной: $D(f^{-1}) = E(f)$ и $E(f^{-1}) = D(f)$.

Ответ: Обратимая функция — это такая функция $y=f(x)$, которая каждое своё значение принимает ровно один раз. Иными словами, для каждого значения $y$ из области значений функции существует единственное значение $x$ из области её определения, такое что $f(x) = y$. Это позволяет определить обратную функцию $x=f^{-1}(y)$, которая "возвращает" исходный аргумент по значению функции.

2. Приведите пример обратимой функции.

Функция называется обратимой, если она каждому своему значению из области значений ставит в соответствие единственное значение из области определения. Говоря иначе, для любых двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, значения функции $f(x_1)$ и $f(x_2)$ также будут различны.

Достаточным условием обратимости является строгая монотонность функции (строгое возрастание или строгое убывание) на всей ее области определения.

Рассмотрим в качестве примера линейную функцию:

$y = f(x) = 2x + 3$

1. Проверка на обратимость.

Эта функция определена на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$). Она является строго возрастающей. Чтобы это показать, возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Тогда:

$x_1 < x_2$ | умножим на 2 (положительное число)

$2x_1 < 2x_2$ | прибавим 3 к обеим частям

$2x_1 + 3 < 2x_2 + 3$

что соответствует $f(x_1) < f(x_2)$.

Поскольку из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$, функция является строго возрастающей, а значит, и обратимой.

2. Нахождение обратной функции.

Для нахождения обратной функции нужно из уравнения $y = 2x + 3$ выразить переменную $x$ через $y$:

$y = 2x + 3$

$y - 3 = 2x$

$x = \frac{y-3}{2}$

Полученное выражение $x = \frac{y-3}{2}$ задает обратную функцию. По традиции, в записи функции аргумент обозначают буквой $x$, а саму функцию — $y$. Выполнив замену переменных, получим вид обратной функции:

$y = \frac{x-3}{2}$

Ответ: Примером обратимой функции является любая линейная функция $y = kx + b$ при $k \neq 0$, например, $y = 2x + 3$. Другие примеры: $y = x^3$, $y = e^x$, $y = \log_a(x)$.

3. Что такое обратная функция?

Определение

Пусть задана функция $y = f(x)$ с областью определения $D(f)$ и областью значений $E(f)$. Если каждому значению $y \in E(f)$ соответствует единственное значение $x \in D(f)$ такое, что $f(x) = y$, то можно определить обратную функцию.

Обратная функция, обозначаемая как $f^{-1}(x)$ или $g(x)$, — это функция, которая сопоставляет каждому $y$ из области значений исходной функции соответствующее значение $x$ из её области определения. Таким образом, если $y = f(x)$, то $x = f^{-1}(y)$.

По сути, обратная функция "отменяет" действие исходной функции.

Условие существования

Функция $y = f(x)$ имеет обратную на некотором множестве, если на этом множестве она является обратимой. Главное условие обратимости — функция должна быть взаимно однозначной (или биективной). Это означает, что каждому элементу из области определения соответствует уникальный элемент из области значений, и наоборот.

Для числовых функций, определённых на некотором промежутке, достаточное условие обратимости — строгая монотонность. То есть функция на этом промежутке должна быть либо строго возрастающей, либо строго убывающей. Это гарантирует, что разным значениям аргумента $x$ будут соответствовать разные значения функции $y$.

Например, функция $y = x^2$ не является строго монотонной на всей числовой оси (она убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$), поэтому для неё нельзя найти обратную на всей области определения. Однако, если ограничить её область определения, например, промежутком $[0, +\infty)$, то на этом промежутке она будет строго возрастать, и обратная функция будет существовать.

Алгоритм нахождения обратной функции

Чтобы найти функцию, обратную к $y = f(x)$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Убедиться, что функция $f(x)$ обратима на своей области определения (или на заданном промежутке).
2. В уравнении $y = f(x)$ выразить переменную $x$ через $y$. Получится выражение вида $x = g(y)$. Это и есть обратная функция, но записанная в нестандартном виде.
3. Для получения стандартной записи поменять местами переменные $x$ и $y$. Полученная функция $y = g(x)$ и будет обратной к $f(x)$, то есть $y = f^{-1}(x)$.

Основные свойства

• Область определения и область значений: Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, а область значений обратной функции — с областью определения исходной.
  $D(f^{-1}) = E(f)$
  $E(f^{-1}) = D(f)$
• Графики: График обратной функции $y = f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $y = f(x)$ относительно прямой $y = x$. Это происходит потому, что для получения обратной функции мы, по сути, меняем местами координаты $(x, y)$ на $(y, x)$.
• Композиция: Композиция (последовательное применение) функции и её обратной даёт тождественную функцию, то есть возвращает исходный аргумент.
  $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$.
  $f(f^{-1}(y)) = y$ для всех $y$ из области определения $f^{-1}$.

Пример

Найдём функцию, обратную к линейной функции $f(x) = 3x - 5$.

1. Эта функция строго возрастает на всей числовой оси, значит, она обратима.

2. Запишем $y = 3x - 5$ и выразим $x$ через $y$:
$y + 5 = 3x$
$x = \frac{y + 5}{3}$

3. Меняем местами $x$ и $y$, чтобы получить стандартный вид:
$y = \frac{x + 5}{3}$

Таким образом, обратная функция: $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$.

Ответ:

Обратная функция $f^{-1}(x)$ для функции $y=f(x)$ — это функция, которая каждому значению $y$ из области значений $f(x)$ ставит в соответствие такое значение $x$ из области определения $f(x)$, что $f(x)=y$. Иначе говоря, обратная функция "возвращает" аргумент по значению функции. Для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была взаимно однозначной (например, строго монотонной на рассматриваемом промежутке). Чтобы найти обратную функцию, нужно в уравнении $y=f(x)$ выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

4. Для всякой ли функции можно найти обратную?

Нет, не для каждой функции можно найти обратную. Чтобы у функции $y = f(x)$ существовала обратная функция $x = g(y)$, исходная функция $f$ должна быть обратимой. Основное условие обратимости — инъективность (или взаимная однозначность). Это означает, что разным значениям аргумента $x$ должны соответствовать разные значения функции $y$.

Почему инъективность так важна?

Рассмотрим функцию, которая не является инъективной. Например, параболу $y = x^2$, определённую для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. В этом случае $f(2) = 4$ и $f(-2) = 4$. Если бы для этой функции существовала обратная функция $g(y)$, то чему было бы равно значение $g(4)$? Оно должно было бы равняться одновременно и $2$, и $-2$. Но по определению, функция (включая обратную) не может одному значению своего аргумента ставить в соответствие два разных значения. Возникает противоречие, следовательно, для функции $y=x^2$ на всей области её определения обратной функции не существует.

Какие функции не имеют обратной?

• Функции, у которых для разных значений $x$ получается один и тот же $y$. Классические примеры: $y = x^2$, $y = |x|$, $y = \cos(x)$. Эти функции не являются инъективными на всей своей области определения.

• Постоянные (константные) функции, например $y = 5$. Здесь всем возможным значениям $x$ соответствует одно и то же значение $y$.

Как сделать функцию обратимой?

Часто, чтобы найти обратную функцию, намеренно сужают область определения исходной функции до такого промежутка, на котором она становится инъективной. Достаточным условием инъективности является строгая монотонность функции (т.е. когда она только возрастает или только убывает).

• Для функции $y = x^2$, если рассмотреть её только на промежутке $x \in [0, +\infty)$, то на этом промежутке она строго возрастает и, следовательно, инъективна. Для неё можно найти обратную функцию: $x = \sqrt{y}$.

• Для тригонометрических функций поступают аналогично. Например, для $y=\sin x$ область определения сужают до отрезка $[-\pi/2, \pi/2]$, на котором синус монотонен. Обратной функцией будет $y = \arcsin x$.

Ответ: Нет, обратную функцию можно найти не для всякой функции. Обратная функция существует только для так называемых обратимых (или инъективных) функций, у которых каждому значению из области значений соответствует ровно одно значение из области определения. Примером функции, не имеющей обратной на всей числовой оси, является $y = x^2$, так как, например, значению $y=4$ соответствуют два различных значения $x$: $2$ и $-2$.

5. Как, зная график обратимой функции, построить график обратной функции?

5.

Пусть дана обратимая функция $y = f(x)$. График этой функции — это множество всех точек с координатами $(x, y)$ в декартовой системе координат, для которых выполняется равенство $y = f(x)$.

Функция $y = g(x)$, обратная к функции $y = f(x)$, определяется таким образом, что если $y = f(x)$, то $x = g(y)$. Для стандартной записи аргумент обратной функции также обозначают через $x$, то есть $y = g(x) = f^{-1}(x)$.

Рассмотрим произвольную точку $M(a, b)$, которая лежит на графике исходной функции $y = f(x)$. Это значит, что координаты точки удовлетворяют уравнению функции: $b = f(a)$.

Согласно определению обратной функции, из равенства $b = f(a)$ следует, что $a = f^{-1}(b)$. Это означает, что точка $N$ с координатами $(b, a)$ принадлежит графику обратной функции $y = f^{-1}(x)$.

Таким образом, каждой точке $M(a, b)$ на графике функции $f(x)$ соответствует точка $N(b, a)$ на графике обратной функции $f^{-1}(x)$. Геометрически преобразование, которое меняет местами координаты точки $(a, b) \rightarrow (b, a)$, является симметрией (отражением) относительно прямой $y = x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Следовательно, для построения графика обратной функции необходимо весь график исходной функции отобразить симметрично относительно прямой $y = x$.

Ответ: Чтобы построить график обратной функции, зная график исходной обратимой функции, необходимо симметрично отразить график исходной функции относительно прямой $y = x$.

6. Даны две функции: $y = x^3$, $x \in [-2; 2]$, и $y = x^2$, $x \in [-2; 2]$. Для какой из них можно найти обратную функцию, а для какой — нельзя?

Если обратная функция существует, то задайте её аналитически и постройте на одном чертеже графики прямой и обратной функций.

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения (т.е. либо строго возрастать, либо строго убывать). Это означает, что каждому значению функции $y$ должно соответствовать только одно значение аргумента $x$. Проверим каждую из данных функций на соответствие этому условию.

Для функции $y = x^3, x \in [-2; 2]$

Найдем производную функции: $y' = (x^3)' = 3x^2$.
На интервале $x \in [-2; 2]$ производная $y' = 3x^2 \ge 0$. Она обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[-2; 2]$.
Поскольку функция строго монотонна, для нее существует обратная функция.

Найдем аналитическое выражение для обратной функции.

1. Исходная функция: $y = x^3$ с областью определения $D(y) = [-2; 2]$.
2. Найдем область значений исходной функции. Так как функция возрастающая, ее минимальное значение будет при $x=-2$, а максимальное при $x=2$:
   $y_{min} = (-2)^3 = -8$
   $y_{max} = (2)^3 = 8$
   Следовательно, область значений $E(y) = [-8; 8]$.
3. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y=x^3$:
   $x = \sqrt[3]{y}$
4. Поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде:
   $y = \sqrt[3]{x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \in [-8; 8]$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \in [-2; 2]$.

Итак, обратная функция задается формулой $y = \sqrt[3]{x}$ при $x \in [-8; 8]$.

Построим графики прямой функции $y = x^3$ (синий) и обратной ей функции $y = \sqrt[3]{x}$ (красный) на одном чертеже. Графики симметричны относительно прямой $y=x$ (пунктирная линия).

Ответ: Для функции $y = x^3, x \in [-2; 2]$ обратная функция существует и задается формулой $y = \sqrt[3]{x}$ с областью определения $x \in [-8; 8]$.

Для функции $y = x^2, x \in [-2; 2]$

Рассмотрим эту функцию на заданной области определения. Эта функция не является монотонной на интервале $[-2; 2]$. Например, на отрезке $[-2; 0]$ функция убывает (так как ее производная $y'=2x$ отрицательна), а на отрезке $[0; 2]$ функция возрастает (производная положительна).
Из-за отсутствия строгой монотонности разным значениям аргумента $x$ может соответствовать одно и то же значение функции $y$. Например:
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$.
При $x = 1$, $y = (1)^2 = 1$.
Поскольку двум разным значениям аргумента ($x=-1$ и $x=1$) соответствует одно и то же значение функции ($y=1$), функция не является взаимно однозначной, и для нее не существует обратной функции на всей области определения $x \in [-2; 2]$.

Ответ: Для функции $y = x^2, x \in [-2; 2]$ найти обратную функцию нельзя, так как она не является строго монотонной на данной области определения.