Страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Упростите выражение:

9.8 a) $sin(90^{\circ} - \alpha) + cos(180^{\circ} + \alpha) + tg(270^{\circ} + \alpha) + ctg(360^{\circ} + \alpha);$

б) $sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - cos(\pi - t) + tg(\pi - t) + ctg\left(\frac{5\pi}{2} - t\right).$

а) Для упрощения выражения $ \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) + \text{tg}(270^\circ + \alpha) + \text{ctg}(360^\circ + \alpha) $ воспользуемся формулами приведения, которые позволяют сводить тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.

Рассмотрим каждый член выражения по отдельности:

• $ \sin(90^\circ - \alpha) $: Так как в аргументе присутствует $90^\circ$, синус меняется на косинус. Угол $90^\circ - \alpha$ находится в I четверти (при малом $\alpha > 0$), где синус положителен. Поэтому, $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $.
• $ \cos(180^\circ + \alpha) $: Так как в аргументе присутствует $180^\circ$, функция косинус не меняется. Угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Поэтому, $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
• $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) $: Так как в аргументе присутствует $270^\circ$, тангенс меняется на котангенс. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому, $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
• $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) $: Функция котангенса периодична с периодом $180^\circ$ (и, следовательно, $360^\circ$). Поэтому, $ \text{ctg}(360^\circ + \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \cos(\alpha) + (-\cos(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha)) + \text{ctg}(\alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) - \text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) = 0 $.

Ответ: $0$.

б) Упростим выражение $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) - \cos(\pi - t) + \text{tg}(\pi - t) + \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $, используя формулы приведения в радианах.

Рассмотрим каждый член выражения:

• $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) $: При наличии $ \frac{\pi}{2} $ синус меняется на косинус. Угол $ \frac{\pi}{2} + t $ находится во II четверти, где синус положителен. Следовательно, $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos(t) $.
• $ \cos(\pi - t) $: При наличии $ \pi $ функция косинус не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(\pi - t) = -\cos(t) $.
• $ \text{tg}(\pi - t) $: При наличии $ \pi $ функция тангенс не меняется. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Следовательно, $ \text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t) $.
• $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) $: Сначала преобразуем угол. $ \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $. Так как $2\pi$ - это полный период, его можно отбросить: $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) $. Теперь применим формулу приведения: при наличии $ \frac{\pi}{2} $ котангенс меняется на тангенс. Угол $ \frac{\pi}{2} - t $ находится в I четверти, где котангенс положителен. Таким образом, $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \text{tg}(t) $.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \cos(t) - (-\cos(t)) + (-\text{tg}(t)) + \text{tg}(t) = \cos(t) + \cos(t) - \text{tg}(t) + \text{tg}(t) = 2\cos(t) $.

Ответ: $2\cos(t)$.

9.9 a) $\frac{\cos (180^{\circ} + \alpha) \cos (-\alpha)}{\sin (-\alpha) \sin (90^{\circ} + \alpha)};$

б) $\frac{\sin (\pi - t) \cos (2\pi - t)}{\text{tg} (\pi - t) \cos (\pi - t)};$

в) $\frac{\sin (-\alpha) \text{ctg} (-\alpha)}{\cos (360^{\circ} - \alpha) \text{tg} (180^{\circ} + \alpha)};$

г) $\frac{\sin (\pi + t) \sin (2\pi + t)}{\text{tg} (\pi + t) \cos \left(\frac{3\pi}{2} + t\right)}.$

а) Упростим выражение $\frac{\cos(180^\circ + \alpha) \cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha) \sin(90^\circ + \alpha)}$.
Для этого воспользуемся формулами приведения и свойствами четности тригонометрических функций:
1. $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$, так как угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен.
2. $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, так как косинус — четная функция.
3. $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, так как синус — нечетная функция.
4. $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)$, так как угол $90^\circ + \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен, а при прибавлении $90^\circ$ функция меняется на кофункцию.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)}{(-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)} = \frac{-\cos^2(\alpha)}{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$
Сократим дробь на общий множитель $-\cos(\alpha)$:
$\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot(\alpha)$
Ответ: $\cot(\alpha)$

б) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi - t) \cos(2\pi - t)}{\tg(\pi - t) \cos(\pi - t)}$.
Применим формулы приведения:
1. $\sin(\pi - t) = \sin(t)$, так как угол $\pi - t$ находится во II четверти, где синус положителен.
2. $\cos(2\pi - t) = \cos(t)$, так как угол $2\pi - t$ находится в IV четверти, где косинус положителен.
3. $\tg(\pi - t) = -\tg(t)$, так как угол $\pi - t$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен.
4. $\cos(\pi - t) = -\cos(t)$, так как угол $\pi - t$ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
Подставляем преобразованные выражения:
$\frac{\sin(t) \cdot \cos(t)}{(-\tg(t)) \cdot (-\cos(t))} = \frac{\sin(t)\cos(t)}{\tg(t)\cos(t)}$
Сократим дробь на $\cos(t)$:
$\frac{\sin(t)}{\tg(t)}$
Используя определение тангенса $\tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$, получаем:
$\frac{\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = \sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \cos(t)$
Ответ: $\cos(t)$

в) Упростим выражение $\frac{\sin(-\alpha) \ctg(-\alpha)}{\cos(360^\circ - \alpha) \tg(180^\circ + \alpha)}$.
Применим формулы приведения и свойства четности/нечетности:
1. $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (нечетная функция).
2. $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$ (нечетная функция).
3. $\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, так как угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где косинус положителен.
4. $\tg(180^\circ + \alpha) = \tg(\alpha)$, так как угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где тангенс положителен.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\ctg(\alpha))}{\cos(\alpha) \cdot \tg(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)\ctg(\alpha)}{\cos(\alpha)\tg(\alpha)}$
Используем определения тангенса и котангенса: $\ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ и $\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
$\frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot(\alpha)$
Ответ: $\cot(\alpha)$

г) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + t) \sin(2\pi + t)}{\tg(\pi + t) \cos(\frac{3\pi}{2} + t)}$.
Применим формулы приведения:
1. $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$, так как угол $\pi + t$ находится в III четверти, где синус отрицателен.
2. $\sin(2\pi + t) = \sin(t)$, так как $2\pi$ — период функции синус.
3. $\tg(\pi + t) = \tg(t)$, так как $\pi$ — период функции тангенс.
4. $\cos(\frac{3\pi}{2} + t) = \sin(t)$, так как угол $\frac{3\pi}{2} + t$ находится в IV четверти, где косинус положителен, а при прибавлении $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию.
Подставляем преобразованные выражения:
$\frac{(-\sin(t)) \cdot \sin(t)}{\tg(t) \cdot \sin(t)} = \frac{-\sin^2(t)}{\tg(t)\sin(t)}$
Сократим дробь на $\sin(t)$:
$\frac{-\sin(t)}{\tg(t)}$
Используя определение тангенса $\tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$, получаем:
$\frac{-\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = -\sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -\cos(t)$
Ответ: $-\cos(t)$

9.5 a) $ \sin 240^\circ $;

б) $ \operatorname{tg} 300^\circ $;

в) $ \cos 330^\circ $;

г) $ \operatorname{ctg} 315^\circ $.

а) Для нахождения значения $\sin(240^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Представим $240^\circ$ как $180^\circ + 60^\circ$.

Формула приведения для синуса: $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Применяем эту формулу:

$\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ)$.

Значение синуса для $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Для нахождения значения $\tg(300^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $300^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$), где тангенс отрицателен. Представим $300^\circ$ как $360^\circ - 60^\circ$.

Формула приведения для тангенса: $\tg(360^\circ - \alpha) = -\tg(\alpha)$.

Применяем эту формулу:

$\tg(300^\circ) = \tg(360^\circ - 60^\circ) = -\tg(60^\circ)$.

Значение тангенса для $60^\circ$ является табличным: $\tg(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Следовательно, $\tg(300^\circ) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$

в) Для нахождения значения $\cos(330^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $330^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 330^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен. Представим $330^\circ$ как $360^\circ - 30^\circ$.

Формула приведения для косинуса: $\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$.

Применяем эту формулу:

$\cos(330^\circ) = \cos(360^\circ - 30^\circ) = \cos(30^\circ)$.

Значение косинуса для $30^\circ$ является табличным: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\cos(330^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) Для нахождения значения $\ctg(315^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $315^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$), где котангенс отрицателен. Представим $315^\circ$ как $360^\circ - 45^\circ$.

Формула приведения для котангенса: $\ctg(360^\circ - \alpha) = -\ctg(\alpha)$.

Применяем эту формулу:

$\ctg(315^\circ) = \ctg(360^\circ - 45^\circ) = -\ctg(45^\circ)$.

Значение котангенса для $45^\circ$ является табличным: $\ctg(45^\circ) = 1$.

Следовательно, $\ctg(315^\circ) = -1$.

Ответ: $-1$

9.10 a) $\frac{\cos (\pi - t) + \cos \left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\sin (2\pi - t) - \sin \left(\frac{3\pi}{2} - t\right)};$

б) $\frac{\sin^2 (\pi - t) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\sin (\pi - t)} \cdot \operatorname{tg} (\pi - t).$

a)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют свести тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.

Исходное выражение:

$$ \frac{\cos(\pi - t) + \cos(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(2\pi - t) - \sin(\frac{3\pi}{2} - t)} $$

1. Упростим числитель дроби: $\cos(\pi - t) + \cos(\frac{\pi}{2} - t)$.

• $\cos(\pi - t)$: Угол $(\pi - t)$ принадлежит второй координатной четверти, в которой косинус отрицателен. При приведении от угла $\pi$ название функции не меняется. Таким образом, $\cos(\pi - t) = -\cos(t)$.
• $\cos(\frac{\pi}{2} - t)$: Угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ принадлежит первой координатной четверти, в которой все тригонометрические функции положительны. При приведении от угла $\frac{\pi}{2}$ название функции меняется на кофункцию (косинус на синус). Таким образом, $\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t)$.

Следовательно, числитель равен: $-\cos(t) + \sin(t)$.

2. Упростим знаменатель дроби: $\sin(2\pi - t) - \sin(\frac{3\pi}{2} - t)$.

• $\sin(2\pi - t)$: Угол $(2\pi - t)$ принадлежит четвертой координатной четверти, в которой синус отрицателен. При приведении от угла $2\pi$ название функции не меняется. Таким образом, $\sin(2\pi - t) = -\sin(t)$.
• $\sin(\frac{3\pi}{2} - t)$: Угол $(\frac{3\pi}{2} - t)$ принадлежит третьей координатной четверти, в которой синус отрицателен. При приведении от угла $\frac{3\pi}{2}$ название функции меняется на кофункцию (синус на косинус). Таким образом, $\sin(\frac{3\pi}{2} - t) = -\cos(t)$.

Следовательно, знаменатель равен: $-\sin(t) - (-\cos(t)) = -\sin(t) + \cos(t)$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$$ \frac{-\cos(t) + \sin(t)}{-\sin(t) + \cos(t)} = \frac{\sin(t) - \cos(t)}{\cos(t) - \sin(t)} $$

Вынесем в знаменателе знак минус за скобки:

$$ \frac{\sin(t) - \cos(t)}{-(\sin(t) - \cos(t))} $$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $\sin(t) \neq \cos(t)$):

$$ \frac{1}{-1} = -1 $$

Ответ: $-1$

б)

Для упрощения данного выражения также воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sin^2(\pi - t) + \sin^2(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(\pi - t)} \cdot \tg(\pi - t) $$

1. Упростим первый множитель (дробь).

• $\sin(\pi - t)$: Угол $(\pi - t)$ принадлежит второй четверти, синус в ней положителен. Название функции не меняется. Значит, $\sin(\pi - t) = \sin(t)$. Отсюда $\sin^2(\pi - t) = \sin^2(t)$.
• $\sin(\frac{\pi}{2} - t)$: Угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ принадлежит первой четверти, синус в ней положителен. Название функции меняется на кофункцию. Значит, $\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t)$. Отсюда $\sin^2(\frac{\pi}{2} - t) = \cos^2(t)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$$ \frac{\sin^2(t) + \cos^2(t)}{\sin(t)} $$

Используя основное тригонометрическое тождество в числителе, получаем:

$$ \frac{1}{\sin(t)} $$

2. Упростим второй множитель $\tg(\pi - t)$.

• $\tg(\pi - t)$: Угол $(\pi - t)$ принадлежит второй четверти, тангенс в ней отрицателен. Название функции не меняется. Значит, $\tg(\pi - t) = -\tg(t)$.

3. Перемножим упрощенные части выражения:

$$ \frac{1}{\sin(t)} \cdot (-\tg(t)) $$

Используем определение тангенса $\tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$:

$$ \frac{1}{\sin(t)} \cdot \left(-\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\right) = -\frac{\sin(t)}{\sin(t) \cdot \cos(t)} $$

Сокращаем дробь на $\sin(t)$ (при условии, что $\sin(t) \neq 0$):

$$ -\frac{1}{\cos(t)} $$

Ответ: $-\frac{1}{\cos(t)}$

9.6 a) $ \cos\frac{5\pi}{3}; $

б) $ \sin\left(-\frac{11\pi}{6}\right); $

в) $ \sin\frac{7\pi}{6}; $

г) $ \cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right). $

а) Чтобы найти значение $\cos{\frac{5\pi}{3}}$, можно представить угол в виде, удобном для использования формул приведения.
Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как разность с полным оборотом $2\pi$:
$\frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$.
Теперь воспользуемся формулой приведения для косинуса, которая гласит, что $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$. Это также следует из того, что угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, где косинус положителен, и его опорный угол равен $\frac{\pi}{3}$.
$\cos{\frac{5\pi}{3}} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos{\frac{\pi}{3}}$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным: $\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для вычисления $\sin(-\frac{11\pi}{6})$ можно использовать свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-\frac{11\pi}{6}) = -\sin(\frac{11\pi}{6})$.
Теперь упростим $\sin(\frac{11\pi}{6})$. Представим угол $\frac{11\pi}{6}$ как $2\pi - \frac{\pi}{6}$:
$\sin(\frac{11\pi}{6}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6})$.
Используя формулу приведения $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$\sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Подставим это значение в исходное выражение: $\sin(-\frac{11\pi}{6}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Альтернативный способ: можно использовать периодичность синуса. Прибавим к отрицательному углу полный оборот $2\pi$:
$\sin(-\frac{11\pi}{6}) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + 2\pi) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Чтобы найти значение $\sin{\frac{7\pi}{6}}$, представим угол $\frac{7\pi}{6}$ в виде суммы с $\pi$:
$\frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$.
Применим формулу приведения для синуса: $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти, где синус отрицателен.
$\sin{\frac{7\pi}{6}} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin{\frac{\pi}{6}}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\sin{\frac{7\pi}{6}} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

г) Для нахождения значения $\cos(-\frac{7\pi}{3})$ сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
$\cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(\frac{7\pi}{3})$.
Теперь преобразуем угол $\frac{7\pi}{3}$, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$), так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$.
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
Используем свойство периодичности $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$:
$\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

9.11 Докажите тождество:

a) $\frac{\text{tg}(\pi - t)}{\cos(\pi + t)} \cdot \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)}{\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)} = \text{tg}^2 t;$

б) $\frac{\sin(\pi - t)}{\text{tg}(\pi + t)} \cdot \frac{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + t\right)} \cdot \frac{\cos(2\pi - t)}{\sin(-t)} = \sin t.$

а) Докажем тождество: $ \frac{\tg(\pi - t)}{\cos(\pi + t)} \cdot \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + t)}{\tg(\frac{3\pi}{2} + t)} = \tg^2 t $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения. Вспомним, как меняются знаки тригонометрических функций по четвертям и как меняется сама функция при переходе через углы $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} $.

1. $ \tg(\pi - t) = -\tg t $, так как угол $ (\pi - t) $ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, а прибавление/вычитание $ \pi $ не меняет функцию.

2. $ \cos(\pi + t) = -\cos t $, так как угол $ (\pi + t) $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, а прибавление/вычитание $ \pi $ не меняет функцию.

3. $ \sin(\frac{3\pi}{2} + t) = -\cos t $, так как угол $ (\frac{3\pi}{2} + t) $ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а прибавление/вычитание $ \frac{3\pi}{2} $ меняет функцию на кофункцию (синус на косинус).

4. $ \tg(\frac{3\pi}{2} + t) = -\text{ctg} t $, так как угол $ (\frac{3\pi}{2} + t) $ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен, а прибавление/вычитание $ \frac{3\pi}{2} $ меняет функцию на кофункцию (тангенс на котангенс).

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$ \frac{-\tg t}{-\cos t} \cdot \frac{-\cos t}{-\text{ctg} t} $

Упростим полученное выражение. Минусы в каждой дроби сокращаются:

$ \frac{\tg t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\text{ctg} t} $

Сократим $ \cos t $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\tg t}{\text{ctg} t} $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \text{ctg} t = \frac{1}{\tg t} $:

$ \frac{\tg t}{\frac{1}{\tg t}} = \tg t \cdot \tg t = \tg^2 t $

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна правой части: $ \tg^2 t = \tg^2 t $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество: $ \frac{\sin(\pi - t)}{\tg(\pi + t)} \cdot \frac{\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - t)}{\tg(\frac{\pi}{2} + t)} \cdot \frac{\cos(2\pi - t)}{\sin(-t)} = \sin t $.

Преобразуем левую часть равенства, последовательно упрощая каждый множитель с помощью формул приведения и свойств четности/нечетности функций.

1. $ \sin(\pi - t) = \sin t $ (угол во второй четверти, синус положителен, функция не меняется).

2. $ \tg(\pi + t) = \tg t $ (угол в третьей четверти, тангенс положителен, функция не меняется, так как период тангенса равен $ \pi $).

3. $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - t) = \tg t $ (угол в первой четверти, все функции положительны, $ \frac{\pi}{2} $ меняет функцию на кофункцию).

4. $ \tg(\frac{\pi}{2} + t) = -\text{ctg} t $ (угол во второй четверти, тангенс отрицателен, $ \frac{\pi}{2} $ меняет функцию на кофункцию).

5. $ \cos(2\pi - t) = \cos t $ (угол в четвертой четверти, косинус положителен, функция не меняется, так как период косинуса равен $ 2\pi $).

6. $ \sin(-t) = -\sin t $ (синус является нечетной функцией).

Подставим все упрощенные выражения в левую часть тождества:

$ \frac{\sin t}{\tg t} \cdot \frac{\tg t}{-\text{ctg} t} \cdot \frac{\cos t}{-\sin t} $

Проведем сокращения. Можно сократить $ \tg t $. Произведение двух отрицательных знаменателей дает положительный результат:

$ \frac{\sin t}{1} \cdot \frac{1}{\text{ctg} t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} $

Теперь сократим $ \sin t $:

$ \frac{1}{\text{ctg} t} \cdot \cos t $

Используем определение котангенса $ \text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Тогда $ \frac{1}{\text{ctg} t} = \frac{\sin t}{\cos t} $:

$ \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \cos t $

Сократив $ \cos t $, получаем:

$ \sin t $

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна правой части: $ \sin t = \sin t $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

9.7 a) $ \cos 630^\circ - \sin 1470^\circ - \text{ctg } 1125^\circ; $

б) $ \sin (-7\pi) + 2 \cos \frac{31\pi}{3} - \text{tg } \frac{7\pi}{4}; $

в) $ \text{tg } 1800^\circ - \sin 495^\circ + \cos 945^\circ; $

г) $ \cos (-9\pi) + 2 \sin \left(-\frac{49\pi}{6}\right) - \text{ctg } \left(-\frac{21\pi}{4}\right). $

а) $cos(630°) - sin(1470°) - ctg(1125°)$

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства периодичности тригонометрических функций. Период для функций синуса и косинуса равен $360°$ ($2\pi$ радиан), а для котангенса — $180°$ ($\pi$ радиан).

1. Упростим $cos(630°)$.
Представим $630°$ в виде $360° + 270°$.
$cos(630°) = cos(360° + 270°) = cos(270°) = 0$.

2. Упростим $sin(1470°)$.
Выделим целое число полных оборотов по $360°$: $1470° = 4 \cdot 360° + 30° = 1440° + 30°$.
$sin(1470°) = sin(4 \cdot 360° + 30°) = sin(30°) = \frac{1}{2}$.

3. Упростим $ctg(1125°)$.
Выделим целое число полуоборотов по $180°$: $1125° = 6 \cdot 180° + 45° = 1080° + 45°$.
$ctg(1125°) = ctg(6 \cdot 180° + 45°) = ctg(45°) = 1$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$0 - \frac{1}{2} - 1 = -1.5$.

Ответ: $-1.5$

б) $sin(-7\pi) + 2cos(\frac{31\pi}{3}) - tg(\frac{7\pi}{4})$

Для решения используем свойства четности/нечетности и периодичности тригонометрических функций.

1. Упростим $sin(-7\pi)$.
Функция синуса является нечетной, то есть $sin(-x) = -sin(x)$.
$sin(-7\pi) = -sin(7\pi)$. Поскольку $7\pi = 6\pi + \pi$, а период синуса $2\pi$, то $sin(7\pi) = sin(\pi) = 0$.
Следовательно, $sin(-7\pi) = 0$.

2. Упростим $2cos(\frac{31\pi}{3})$.
Представим дробь в виде смешанного числа: $\frac{31\pi}{3} = \frac{30\pi + \pi}{3} = 10\pi + \frac{\pi}{3}$.
Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $cos(10\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Тогда $2cos(\frac{31\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

3. Упростим $tg(\frac{7\pi}{4})$.
Представим $\frac{7\pi}{4}$ как $2\pi - \frac{\pi}{4}$. Период тангенса равен $\pi$.
$tg(\frac{7\pi}{4}) = tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = tg(-\frac{\pi}{4})$.
Функция тангенса нечетная, $tg(-x) = -tg(x)$.
$tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.

4. Подставим все значения в выражение:
$0 + 1 - (-1) = 2$.

Ответ: $2$

в) $tg(1800°) - sin(495°) + cos(945°)$

1. Упростим $tg(1800°)$.
Период тангенса равен $180°$. $1800° = 10 \cdot 180°$.
$tg(1800°) = tg(10 \cdot 180° + 0°) = tg(0°) = 0$.

2. Упростим $sin(495°)$.
Период синуса равен $360°$. $495° = 360° + 135°$.
$sin(495°) = sin(360° + 135°) = sin(135°)$.
Используем формулу приведения: $sin(135°) = sin(180° - 45°) = sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Упростим $cos(945°)$.
Период косинуса равен $360°$. $945° = 2 \cdot 360° + 225° = 720° + 225°$.
$cos(945°) = cos(225°)$.
Используем формулу приведения: $cos(225°) = cos(180° + 45°) = -cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Подставим значения в выражение:
$0 - \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$

г) $cos(-9\pi) + 2sin(-\frac{49\pi}{6}) - ctg(-\frac{21\pi}{4})$

Используем свойства четности и нечетности функций: $cos(-x) = cos(x)$, $sin(-x) = -sin(x)$, $ctg(-x) = -ctg(x)$.

$cos(9\pi) - 2sin(\frac{49\pi}{6}) + ctg(\frac{21\pi}{4})$

1. Упростим $cos(9\pi)$.
$9\pi = 8\pi + \pi$. Период косинуса $2\pi$.
$cos(9\pi) = cos(8\pi + \pi) = cos(\pi) = -1$.

2. Упростим $-2sin(\frac{49\pi}{6})$.
$\frac{49\pi}{6} = \frac{48\pi + \pi}{6} = 8\pi + \frac{\pi}{6}$. Период синуса $2\pi$.
$sin(\frac{49\pi}{6}) = sin(8\pi + \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Тогда $-2sin(\frac{49\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

3. Упростим $ctg(\frac{21\pi}{4})$.
$\frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi + \pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4}$. Период котангенса $\pi$.
$ctg(\frac{21\pi}{4}) = ctg(5\pi + \frac{\pi}{4}) = ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

4. Подставим значения в преобразованное выражение:
$-1 - 1 + 1 = -1$.

Ответ: $-1$