Страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.4 Не выполняя построения, ответьте, принадлежит ли графику функции $y = \sin x$ точка:

а) $(-\frac{\pi}{2}; -1)$;

б) $(\frac{\pi}{2}; \frac{1}{2})$;

в) $(\pi; 1)$;

г) $(\frac{3\pi}{2}; -1)$.

Чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0, y_0)$ графику функции $y = \sin x$, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если равенство $y_0 = \sin x_0$ окажется верным, то точка принадлежит графику.

а) Проверим точку $(-\frac{\pi}{2}; -1)$.

Подставим $x = -\frac{\pi}{2}$ и $y = -1$ в уравнение $y = \sin x$:

$-1 = \sin(-\frac{\pi}{2})$

Зная, что синус — нечетная функция $(\sin(-a) = -\sin(a))$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

Равенство $-1 = -1$ является верным. Следовательно, точка принадлежит графику.

Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим точку $(\frac{\pi}{2}; \frac{1}{2})$.

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ и $y = \frac{1}{2}$ в уравнение $y = \sin x$:

$\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{2})$

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Равенство $\frac{1}{2} = 1$ является неверным. Следовательно, точка не принадлежит графику.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) Проверим точку $(\pi; 1)$.

Подставим $x = \pi$ и $y = 1$ в уравнение $y = \sin x$:

$1 = \sin(\pi)$

Мы знаем, что $\sin(\pi) = 0$.

Равенство $1 = 0$ является неверным. Следовательно, точка не принадлежит графику.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) Проверим точку $(\frac{3\pi}{2}; -1)$.

Подставим $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = -1$ в уравнение $y = \sin x$:

$-1 = \sin(\frac{3\pi}{2})$

Мы знаем, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Равенство $-1 = -1$ является верным. Следовательно, точка принадлежит графику.

Ответ: да, принадлежит.

10.5 Не выполняя построения, ответьте, принадлежит ли графику функции $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 2$ точка:

а) $(0; \frac{3}{2})$;

б) $(\frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2)$;

в) $(\frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2})$;

г) $(4\pi; 2.5)$.

а) Чтобы проверить, принадлежит ли точка с координатами $(0; \frac{3}{2})$ графику функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$, необходимо подставить значение абсциссы $x=0$ в уравнение функции и проверить, совпадет ли полученное значение $y$ с ординатой точки, равной $\frac{3}{2}$.
Подставим $x = 0$:
$y = -\sin(0 + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 2$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.
Так как вычисленное значение $y = \frac{3}{2}$ совпадает с ординатой точки, точка принадлежит графику функции.
Ответ: да.

б) Проверим принадлежность точки с координатами $(\frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2)$ графику функции.
Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в уравнение:
$y = -\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{2\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{3}) + 2$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2$.
Вычисленное значение $y$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка принадлежит графику.
Ответ: да.

в) Проверим принадлежность точки с координатами $(\frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2})$ графику функции.
Подставим $x = \frac{2\pi}{3}$ в уравнение:
$y = -\sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + 2$
Для сложения аргументов синуса приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$.
$y = -\sin(\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{5\pi}{6}) + 2$
Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, находим, что $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.
Вычисленное значение $y$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка принадлежит графику.
Ответ: да.

г) Проверим принадлежность точки с координатами $(4\pi; 2,5)$ графику функции.
Подставим $x = 4\pi$ в уравнение:
$y = -\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) + 2$
Так как функция синус периодична с периодом $2\pi$, то $\sin(4\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$.
$y = -\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = 1,5$.
Вычисленное значение $y=1,5$ не совпадает с ординатой точки $2,5$. Следовательно, точка не принадлежит графику.
Ответ: нет.

10.6 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin x$:

a) на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}]$;

б) на луче $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$;

в) на интервале $(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$;

г) на полуинтервале $(-\pi, \frac{\pi}{3}]$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}]$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y = \sin x$ на отрезке, необходимо найти её значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1. Найдём значения функции на концах отрезка:

$y(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Найдём критические точки. Производная функции $y' = (\sin x)' = \cos x$. Приравняем производную к нулю: $\cos x = 0$.

Решения этого уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}]$.

Учитывая, что $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{2\pi}{3}$ (что в градусах соответствует $45^\circ \le x \le 120^\circ$), в данный отрезок попадает только точка $x = \frac{\pi}{2}$ (при $n=0$).

4. Найдём значение функции в этой точке:

$y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

5. Сравним полученные значения: $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ и $1$.

Наименьшее из этих значений равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, а наибольшее равно $1$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение $1$.

б) на луче $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$

Функция $y = \sin x$ является периодической, её область значений — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любых $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, наименьшее значение, которое функция может принимать, равно $-1$, а наибольшее — $1$.

Необходимо проверить, достигаются ли эти значения на заданном луче $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$.

1. Наибольшее значение $1$ достигается в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{4}$, эта точка принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$. Значит, наибольшее значение функции на этом луче равно $1$.

2. Наименьшее значение $-1$ достигается в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, при $n=1$ получаем $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$. Так как $\frac{3\pi}{2} > \frac{\pi}{4}$, эта точка принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}, +\infty)$. Значит, наименьшее значение функции на этом луче равно $-1$.

Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

в) на интервале $(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$

Данный интервал является открытым. Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Найдём точки, в которых функция достигает своих глобальных экстремумов (наибольшего и наименьшего значений), и проверим, принадлежат ли они заданному интервалу $(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$.

1. Наибольшее значение, равное $1$, функция $\sin x$ принимает в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$, получаем $x = \frac{\pi}{2}$. Проверим, принадлежит ли эта точка интервалу: $-\frac{3\pi}{2} < \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Неравенство верно, так как $-1.5\pi < 0.5\pi < 0.75\pi$. Следовательно, наибольшее значение на интервале равно $1$.

2. Наименьшее значение, равное $-1$, функция $\sin x$ принимает в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$, получаем $x = -\frac{\pi}{2}$. Проверим, принадлежит ли эта точка интервалу: $-\frac{3\pi}{2} < -\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Неравенство верно, так как $-1.5\pi < -0.5\pi < 0.75\pi$. Следовательно, наименьшее значение на интервале равно $-1$.

Поскольку глобальные максимум и минимум функции достигаются внутри заданного интервала, они и являются наибольшим и наименьшим значениями функции на этом интервале.

Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

г) на полуинтервале $(-\pi, -\frac{\pi}{3}]$

Рассмотрим поведение функции $y = \sin x$ на заданном полуинтервале. Этот интервал находится в третьей и четвёртой координатных четвертях.

1. Найдём значение функции на правом (включённом) конце полуинтервала:

$y(-\frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Рассмотрим поведение функции вблизи левого (исключённого) конца. При $x \to -\pi^+$, значение $\sin x \to \sin(-\pi) = 0$. Так как точка $x=-\pi$ не включена в интервал, значение $0$ не достигается.

3. Найдём критические точки внутри интервала $(-\pi, -\frac{\pi}{3}]$. Критические точки функции $y=\sin x$ — это точки, где её производная $y' = \cos x$ равна нулю, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие из этих точек попадают в интервал $(-\pi, -\frac{\pi}{3}]$. При $n=-1$, получаем $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит интервалу, так как $-\pi < -\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3}$. Других подходящих значений $n$ нет.

4. Найдём значение функции в этой критической точке:

$y(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

5. Сравним полученные значения. На промежутке $(-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ функция $\sin x$ убывает от $0$ до $-1$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$ функция $\sin x$ возрастает от $-1$ до $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, наименьшее значение, которое функция принимает на заданном полуинтервале, равно $-1$ (в точке $x=-\frac{\pi}{2}$).

Наибольшее значение достигается на правом конце полуинтервала и равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

10.7 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + 0,5$ на промежутке:

а) $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right]$;

б) $\left( \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} \right)$;

в) $[0; \pi)$;

г) $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) + 0.5$ на различных промежутках, удобно сделать замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Тогда функция примет вид $y = \sin(t) + 0.5$.

Область значений функции синус, $\sin(t)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, общая область значений функции $y = \sin(t) + 0.5$ есть отрезок $[-1 + 0.5, 1 + 0.5] = [-0.5, 1.5]$.

Наименьшее значение, равное -0,5, функция принимает при $\sin(t) = -1$, то есть при $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Наибольшее значение, равное 1,5, функция принимает при $\sin(t) = 1$, то есть при $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

а) на промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t = x - \frac{\pi}{4}$, если $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

Если $x = \frac{\pi}{4}$, то $t = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$.

Если $x = \frac{3\pi}{4}$, то $t = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, переменная $t$ изменяется на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ функция $\sin(t)$ монотонно возрастает от $\sin(0) = 0$ до $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Следовательно, наименьшее значение функции $y = \sin(t) + 0.5$ на этом промежутке достигается при $t=0$ (что соответствует $x=\frac{\pi}{4}$):$y_{наим} = \sin(0) + 0.5 = 0 + 0.5 = 0.5$.

Наибольшее значение достигается при $t=\frac{\pi}{2}$ (что соответствует $x=\frac{3\pi}{4}$):$y_{наиб} = \sin(\frac{\pi}{2}) + 0.5 = 1 + 0.5 = 1.5$.

Ответ: наименьшее значение 0,5, наибольшее значение 1,5.

б) на промежутке $(\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t = x - \frac{\pi}{4}$, если $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$.

Если $x \to \frac{3\pi}{4}$, то $t \to \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Если $x \to \frac{9\pi}{4}$, то $t \to \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} = 2\pi$.

Таким образом, переменная $t$ изменяется на интервале $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$.

На интервале $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$ функция $\sin(t)$ принимает значения из промежутка $[-1, 1)$. Наименьшее значение $\sin(t)=-1$ достигается при $t = \frac{3\pi}{2}$. Эта точка принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ на данном промежутке:$y_{наим} = \sin(\frac{3\pi}{2}) + 0.5 = -1 + 0.5 = -0.5$.

Наибольшее значение $\sin(t)=1$ достигается при $t=\frac{\pi}{2}$, но эта точка не принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Значение функции $y$ стремится к $1.5$ при $t \to \frac{\pi}{2}^+$, но никогда его не достигает. Таким образом, наибольшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение -0,5, наибольшего значения не существует.

в) на промежутке $[0; \pi)$

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t = x - \frac{\pi}{4}$, если $x \in [0; \pi)$.

Если $x = 0$, то $t = 0 - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.

Если $x \to \pi$, то $t \to \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, переменная $t$ изменяется на полуинтервале $[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$.

Рассмотрим поведение функции $\sin(t)$ на этом полуинтервале. Минимальное значение $\sin(t)$ на этом промежутке достигается в левой граничной точке $t = -\frac{\pi}{4}$:$y_{наим} = \sin(-\frac{\pi}{4}) + 0.5 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0.5 = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$.

Максимальное значение $\sin(t)$ на этом промежутке равно 1 и достигается в точке $t = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$, так как $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Следовательно, наибольшее значение функции:$y_{наиб} = \sin(\frac{\pi}{2}) + 0.5 = 1 + 0.5 = 1.5$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение 1,5.

г) на промежутке $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t = x - \frac{\pi}{4}$, если $x \in [\frac{\pi}{4}; +\infty)$.

Если $x = \frac{\pi}{4}$, то $t = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$.

Если $x \to +\infty$, то $t \to +\infty$.

Таким образом, переменная $t$ изменяется на луче $[0; +\infty)$.

На луче $[0; +\infty)$ функция $\sin(t)$ принимает все значения из своей области значений, то есть от -1 до 1. Следовательно, функция $y = \sin(t) + 0.5$ также принимает все значения из своей полной области значений.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -1 + 0.5 = -0.5$. Оно достигается, например, при $t=\frac{3\pi}{2}$, что соответствует $x = \frac{7\pi}{4}$, и эта точка принадлежит промежутку $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 1 + 0.5 = 1.5$. Оно достигается, например, при $t=\frac{\pi}{2}$, что соответствует $x = \frac{3\pi}{4}$, и эта точка принадлежит промежутку $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение -0,5, наибольшее значение 1,5.

10.8 a) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

В) $y = \sin \left(x - \pi\right);$

Г) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

а) Для построения графика функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin(x)$. Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (оси Ox). Функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = \sin(x)$ и константа сдвига $c = \frac{\pi}{3}$. Поскольку $c > 0$, сдвиг осуществляется вправо на $c$ единиц. Следовательно, график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть вправо на $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: График функции $y = \sin(x)$ сдвигается вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

б) Для построения графика функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin(x)$. Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (оси Ox). Функцию можно представить в виде $y = f(x + c)$, где $f(x) = \sin(x)$ и константа сдвига $c = \frac{\pi}{4}$. Поскольку перед константой стоит знак плюс, сдвиг осуществляется влево на $c$ единиц. Следовательно, график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть влево на $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: График функции $y = \sin(x)$ сдвигается влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.

в) Для построения графика функции $y = \sin(x - \pi)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin(x)$. Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (оси Ox). Функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = \sin(x)$ и константа сдвига $c = \pi$. Поскольку $c > 0$, сдвиг осуществляется вправо на $c$ единиц. Следовательно, график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть вправо на $\pi$. Также можно заметить, что согласно формулам приведения, $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$. Это означает, что тот же график можно получить, отразив график $y = \sin(x)$ симметрично относительно оси Ox.
Ответ: График функции $y = \sin(x)$ сдвигается вправо вдоль оси Ox на $\pi$.

г) Для построения графика функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin(x)$. Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (оси Ox). Функцию можно представить в виде $y = f(x + c)$, где $f(x) = \sin(x)$ и константа сдвига $c = \frac{\pi}{3}$. Поскольку перед константой стоит знак плюс, сдвиг осуществляется влево на $c$ единиц. Следовательно, график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть влево на $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: График функции $y = \sin(x)$ сдвигается влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.