Страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.15 Докажите, что функция $y = f(x)$ является чётной, если:

a) $f(x) = x^2 \cdot \cos x$;

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2}$;

в) $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$;

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)$.

Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Также область определения чётной функции должна быть симметрична относительно начала координат.

а) $f(x) = x^2 \cdot \cos x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $y=x^2$ и $y=\cos x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$:

$f(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(-x)$

Поскольку $(-x)^2 = x^2$ (свойство степени с чётным показателем) и $\cos(-x) = \cos x$ (так как функция косинус является чётной), получаем:

$f(-x) = x^2 \cdot \cos x = f(x)$

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, то функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения функции задается условием, что знаменатель не равен нулю: $4 - x^2 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 4$, откуда $x \neq \pm 2$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{4 - (-x)^2}$

Упростим выражение:

В числителе: $\cos((-x)^3) = \cos(-x^3)$. Так как косинус — чётная функция, $\cos(-a) = \cos a$, следовательно $\cos(-x^3) = \cos(x^3)$.

В знаменателе: $4 - (-x)^2 = 4 - x^2$.

В результате получаем: $f(-x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

в) $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$

1. Область определения функции задается условием $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos(5(-x)) + 1}{|-x|}$

Упростим выражение, используя свойства функций:

В числителе: $\cos(5(-x)) = \cos(-5x) = \cos(5x)$ (свойство чётности косинуса).

В знаменателе: $|-x| = |x|$ (свойство модуля).

Таким образом, $f(-x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $y=\cos x$ и $y=\sin x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (4 + \cos(-x))(\sin^6(-x) - 1)$

Используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций:

$\cos(-x) = \cos x$ (косинус — чётная функция).

$\sin(-x) = -\sin x$ (синус — нечётная функция).

Тогда $\sin^6(-x) = (\sin(-x))^6 = (-\sin x)^6 = \sin^6 x$.

Подставим упрощенные выражения в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1) = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

11.16 Докажите, что функция $y = f(x)$ является нечётной, если:

a) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$;

б) $f(x) = x^5 \cdot \cos 3x$;

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)}$;

г) $f(x) = x^{11} \cdot \cos x + \sin x$.

Для того чтобы доказать, что функция $y=f(x)$ является нечётной, необходимо убедиться, что её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа) симметрична относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$, используя свойства нечётности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и чётности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$):

$f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x) = (-\sin x) \cdot \cos x = -(\sin x \cdot \cos x) = -f(x)$.

Поскольку условие $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечётной.

Ответ: Функция является нечётной, что и требовалось доказать.

б) $f(x) = x^5 \cdot \cos 3x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля. Найдём $f(-x)$, используя свойства степенной функции с нечётным показателем ($(-x)^5 = -x^5$) и чётности функции косинус ($\cos(-3x) = \cos 3x$):

$f(-x) = (-x)^5 \cdot \cos(3(-x)) = (-x^5) \cdot \cos(3x) = -(x^5 \cdot \cos 3x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция является нечётной, что и требовалось доказать.

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)}$

Найдём область определения функции из условия, что знаменатель не равен нулю: $x(25 - x^2) \neq 0$, что означает $x \neq 0$ и $x \neq \pm 5$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$ является симметричной относительно нуля. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{(-x)(25 - (-x)^2)} = \frac{\cos(-x^3)}{-x(25 - x^2)}$.

Так как косинус — чётная функция, $\cos(-x^3) = \cos(x^3)$. Следовательно:

$f(-x) = \frac{\cos x^3}{-x(25 - x^2)} = -\frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)} = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция является нечётной, что и требовалось доказать.

г) $f(x) = x^{11} \cdot \cos x + \sin x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля. Данная функция представляет собой сумму двух функций: $g(x) = x^{11} \cos x$ и $h(x) = \sin x$. Проверим на чётность каждую из них.

Функция $g(x) = x^{11} \cos x$ является произведением нечётной функции ($x^{11}$) и чётной ($\cos x$), поэтому она нечётная: $g(-x) = (-x)^{11} \cos(-x) = (-x^{11}) \cos x = -x^{11} \cos x = -g(x)$.

Функция $h(x) = \sin x$ является нечётной: $h(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -h(x)$.

Сумма двух нечётных функций является нечётной функцией. Проверим это для $f(x)$:

$f(-x) = g(-x) + h(-x) = -g(x) - h(x) = -(g(x) + h(x)) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция является нечётной, что и требовалось доказать.

11.12 a) $\cos x = \sqrt{x + 1};$

б) $\cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}};$

В) $\cos x = -(x - \pi)^2 - 1;$

Г) $\cos x = |x| + 1.$

а) Решим уравнение $ \cos x = \sqrt{x} + 1 $.

Для решения этого уравнения применим метод оценки. Проанализируем множества значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

Функция в левой части уравнения — это $ y = \cos x $. Ее множество значений известно: $ E(\cos x) = [-1, 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ выполняется неравенство $ \cos x \le 1 $.

Функция в правой части уравнения — это $ y = \sqrt{x} + 1 $. Эта функция определена при $ x \ge 0 $. Поскольку арифметический квадратный корень $ \sqrt{x} $ всегда неотрицателен ($ \sqrt{x} \ge 0 $), то $ \sqrt{x} + 1 \ge 1 $. Таким образом, множество значений этой функции $ E(\sqrt{x}+1) = [1, \infty) $.

Для того чтобы равенство $ \cos x = \sqrt{x} + 1 $ было возможным, необходимо, чтобы значения левой и правой частей совпадали. Сравнивая множества значений $ [-1, 1] $ и $ [1, \infty) $, мы видим, что их единственная общая точка — это число 1.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \cos x = 1 \\ \sqrt{x} + 1 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$ \sqrt{x} + 1 = 1 \implies \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 $.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $ x = 0 $ первому уравнению системы.

Подставляем $ x = 0 $ в уравнение $ \cos x = 1 $:

$ \cos(0) = 1 $.

Равенство верное. Таким образом, $ x = 0 $ является единственным решением системы, а значит, и исходного уравнения.

Ответ: $ x=0 $.

б) Решим уравнение $ \cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $.

Рассмотрим области определения и множества значений функций в обеих частях уравнения.

1. Левая часть: $ y = \cos x $. Множество значений $ E(\cos x) = [-1, 1] $.

2. Правая часть: $ y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $. Область определения задается условием $ x - \frac{\pi}{2} \ge 0 $, то есть $ x \ge \frac{\pi}{2} $. Множество значений этой функции $ E(\sqrt{x - \frac{\pi}{2}}) = [0, \infty) $.

Для существования решения необходимо, чтобы $ \cos x $ принадлежал множеству значений правой части, то есть $ \cos x \ge 0 $. С учетом множества значений косинуса, получаем $ 0 \le \cos x \le 1 $.

Проверим значение $ x $ на границе области определения, то есть $ x = \frac{\pi}{2} $.

Левая часть: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.

Правая часть: $ \sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{0} = 0 $.

Поскольку $ 0=0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} $ является решением уравнения.

Рассмотрим другие возможные решения при $ x > \frac{\pi}{2} $.

На интервале $ (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] $ значение $ \cos x \le 0 $. В то же время, правая часть $ \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $ строго положительна. Равенство возможно только при $ \cos x = 0 $, что происходит при $ x = \frac{3\pi}{2} $. Но при $ x = \frac{3\pi}{2} $ правая часть равна $ \sqrt{\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{\pi} > 0 $. Значит, на этом интервале других решений нет.

Рассмотрим $ x > \frac{3\pi}{2} $. В этом случае $ x > \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71 $.

Значение правой части будет $ \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} > \sqrt{\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{\pi} \approx 1.77 $.

Поскольку максимальное значение функции $ \cos x $ равно 1, а правая часть уравнения при $ x > \frac{3\pi}{2} $ всегда больше 1, то равенство между частями уравнения невозможно. Следовательно, других решений нет.

Ответ: $ x=\frac{\pi}{2} $.

в) Решим уравнение $ \cos x = -(x - \pi)^2 - 1 $.

Снова воспользуемся методом оценки множеств значений функций.

1. Левая часть: $ y = \cos x $, множество значений $ E(y) = [-1, 1] $. Отсюда следует, что $ \cos x \ge -1 $.

2. Правая часть: $ y = -(x - \pi)^2 - 1 $. Выражение $ (x-\pi)^2 $ всегда неотрицательно: $ (x-\pi)^2 \ge 0 $. Тогда $ -(x-\pi)^2 \le 0 $, и, следовательно, $ -(x-\pi)^2 - 1 \le -1 $. Таким образом, множество значений правой части $ E(y) = (-\infty, -1] $. Это парабола с вершиной в точке $ (\pi, -1) $, ветви которой направлены вниз.

Равенство $ \cos x = -(x - \pi)^2 - 1 $ возможно только если обе части равны числу, принадлежащему пересечению их множеств значений. Пересечением множеств $ [-1, 1] $ и $ (-\infty, -1] $ является единственное число -1.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \cos x = -1 \\ -(x - \pi)^2 - 1 = -1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$ -(x - \pi)^2 - 1 = -1 \implies -(x - \pi)^2 = 0 \implies (x - \pi)^2 = 0 \implies x = \pi $.

Проверим, является ли $ x = \pi $ решением первого уравнения:

$ \cos(\pi) = -1 $.

Равенство верное. Значит, $ x = \pi $ — единственное решение системы и исходного уравнения.

Ответ: $ x=\pi $.

г) Решим уравнение $ \cos x = |x| + 1 $.

Применим метод оценки, как и в предыдущих случаях.

1. Левая часть: $ y = \cos x $. Множество значений $ E(y) = [-1, 1] $, поэтому $ \cos x \le 1 $.

2. Правая часть: $ y = |x| + 1 $. Модуль числа $ |x| $ всегда неотрицателен: $ |x| \ge 0 $. Отсюда следует, что $ |x| + 1 \ge 1 $. Множество значений правой части $ E(y) = [1, \infty) $.

Для выполнения равенства $ \cos x = |x| + 1 $ необходимо, чтобы значения обеих частей принадлежали пересечению их множеств значений. Пересечение множеств $ [-1, 1] $ и $ [1, \infty) $ состоит из одного числа — 1.

Значит, уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} \cos x = 1 \\ |x| + 1 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$ |x| + 1 = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0 $.

Подставим $ x = 0 $ в первое уравнение для проверки:

$ \cos(0) = 1 $.

Равенство верное. Следовательно, $ x = 0 $ — единственное решение.

Ответ: $ x=0 $.

11.17 а) Дано: $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$. Докажите, что $-f(\cos x) = 2\sin^2 x + 3\cos x$.

б) Дано: $f(x) = 5x^2 + x + 4$. Докажите, что $f(\cos x) = 9 + \cos x - 5\sin^2 x$.

а)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, $-f(\cos x)$, используя заданную функцию $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$.

1. Сначала найдём выражение для $f(\cos x)$, подставив $\cos x$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:

$f(\cos x) = 2(\cos x)^2 - 3(\cos x) - 2 = 2\cos^2 x - 3\cos x - 2$.

2. Далее найдём выражение для $-f(\cos x)$, умножив полученное выражение на $-1$:

$-f(\cos x) = -(2\cos^2 x - 3\cos x - 2) = -2\cos^2 x + 3\cos x + 2$.

3. Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в наше выражение:

$-f(\cos x) = -2(1 - \sin^2 x) + 3\cos x + 2$.

4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$-f(\cos x) = -2 + 2\sin^2 x + 3\cos x + 2 = 2\sin^2 x + 3\cos x$.

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части доказываемого тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, $f(\cos x)$, используя заданную функцию $f(x) = 5x^2 + x + 4$.

1. Найдём выражение для $f(\cos x)$, подставив $\cos x$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:

$f(\cos x) = 5(\cos x)^2 + \cos x + 4 = 5\cos^2 x + \cos x + 4$.

2. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и подставим его в полученное выражение:

$f(\cos x) = 5(1 - \sin^2 x) + \cos x + 4$.

3. Раскроем скобки и упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$f(\cos x) = 5 - 5\sin^2 x + \cos x + 4 = (5+4) + \cos x - 5\sin^2 x = 9 + \cos x - 5\sin^2 x$.

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части доказываемого тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

11.13 Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} y = \cos x, \\ y = -x^2 + 2x - 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \cos x, \\ y = \frac{2}{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \cos x, \\ y = x^2 - 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \cos x, \\ |x| - y = 0? \end{cases}$

а) Чтобы найти количество решений системы, необходимо найти количество точек пересечения графиков функций $y = \cos x$ и $y = -x^2 + 2x - 3$. Для этого сравним области значений данных функций.

1. Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Функция $y = -x^2 + 2x - 3$ — это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Найдем вершину этой параболы, чтобы определить ее максимальное значение.Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.Максимальное значение функции (координата вершины по оси ординат): $y_v = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.Таким образом, область значений функции $y = -x^2 + 2x - 3$ — это промежуток $(-\infty, -2]$.

Для существования решения системы необходимо, чтобы области значений функций пересекались. Однако, пересечение множеств $[-1, 1]$ и $(-\infty, -2]$ является пустым множеством. Это означает, что не существует такого значения $y$, которое могло бы удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0 решений.

б) Требуется найти количество решений системы уравнений $y = \cos x$ и $y = \frac{2}{x}$. Количество решений равно количеству точек пересечения графиков этих функций, что эквивалентно количеству корней уравнения $\cos x = \frac{2}{x}$.

Рассмотрим поведение графиков функций $y = \cos x$ и $y = \frac{2}{x}$.

1. График $y = \cos x$ — это периодическая функция (косинусоида), значения которой колеблются в пределах от -1 до 1.

2. График $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола. При $x \to +\infty$ значения $y$ стремятся к 0, оставаясь положительными. При $x \to -\infty$ значения $y$ стремятся к 0, оставаясь отрицательными.

Рассмотрим случай $x > 0$. График $y = \frac{2}{x}$ — это плавно убывающая кривая в первой четверти. График $y = \cos x$ бесконечно колеблется. Для достаточно больших $x$ (например, $x > 2$), значения $\frac{2}{x}$ будут находиться в интервале $(0, 1)$. В то же время, функция $\cos x$ будет бесконечное число раз принимать все значения из этого интервала. Каждый раз, когда график косинуса поднимается к своему пику ($y=1$) или опускается к своему минимуму ($y=-1$), он пересекает медленно убывающий график гиперболы. Это приводит к бесконечному числу точек пересечения при $x > 0$.

Рассмотрим случай $x < 0$. Уравнение остается тем же: $\cos x = \frac{2}{x}$. Поскольку $x < 0$, правая часть уравнения отрицательна. Значит, пересечения возможны только тогда, когда $\cos x < 0$. При $x \to -\infty$, значения $\frac{2}{x}$ стремятся к 0 с отрицательной стороны. Функция $\cos x$ по-прежнему бесконечно колеблется и бесконечное число раз принимает отрицательные значения. По аналогии со случаем $x>0$, здесь также будет бесконечное число пересечений.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечно много решений.

в) Необходимо найти количество решений системы $y = \cos x$ и $y = x^2 - 3$. Это равносильно нахождению количества корней уравнения $\cos x = x^2 - 3$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - x^2 + 3$. Нам нужно найти количество нулей этой функции.Функция $f(x)$ является четной, так как $f(-x) = \cos(-x) - (-x)^2 + 3 = \cos x - x^2 + 3 = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому достаточно найти количество положительных корней, и тогда количество отрицательных корней будет таким же. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как $f(0) = \cos 0 - 0 + 3 = 4 \neq 0$.

Рассмотрим $x > 0$. Пересечение возможно, только если значения обеих функций лежат в отрезке $[-1, 1]$ (поскольку это область значений косинуса). Для параболы $y = x^2 - 3$ это условие дает: $-1 \le x^2 - 3 \le 1$, что равносильно $2 \le x^2 \le 4$. Для $x>0$ это означает $\sqrt{2} \le x \le 2$. Таким образом, все положительные решения должны находиться в этом отрезке.

Проверим значения функции $f(x)$ на концах отрезка $[\sqrt{2}, 2]$:$f(\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}) - (\sqrt{2})^2 + 3 = \cos(\sqrt{2}) + 1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 < \frac{\pi}{2}$, $\cos(\sqrt{2}) > 0$, следовательно $f(\sqrt{2}) > 1$.$f(2) = \cos(2) - 2^2 + 3 = \cos(2) - 1$. Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, $\cos(2) < 0$, следовательно $f(2) < -1$.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[\sqrt{2}, 2]$ принимает значения разных знаков, внутри этого отрезка существует по крайней мере один корень.

Найдем производную: $f'(x) = -\sin x - 2x$. Для $x > 0$ (в частности на интервале $(\sqrt{2}, 2)$), $\sin x > 0$, поэтому $-\sin x < 0$, и $-2x < 0$. Значит, $f'(x) < 0$ для всех $x > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей при $x > 0$.Строго убывающая функция может пересечь ось абсцисс не более одного раза. Следовательно, существует ровно один положительный корень.

Так как функция четная, существует также ровно один отрицательный корень, симметричный положительному. В итоге получаем два решения.

Ответ: 2 решения.

г) Дана система уравнений $y = \cos x$ и $|x| - y = 0$. Второе уравнение можно переписать в виде $y = |x|$. Таким образом, нам нужно найти количество решений уравнения $\cos x = |x|$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - |x|$. Нам нужно найти количество ее нулей.Эта функция является четной, так как $f(-x) = \cos(-x) - |-x| = \cos x - |x| = f(x)$. График функции симметричен относительно оси OY. Найдем количество решений для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ уравнение принимает вид $\cos x = x$.Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = \cos x - x$ для $x \ge 0$.$g(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$.$g(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} < 0$.Так как $g(x)$ непрерывна и принимает значения разных знаков на концах отрезка $[0, \frac{\pi}{2}]$, на этом интервале есть по крайней мере один корень.

Найдем производную: $g'(x) = -\sin x - 1$.Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то $-1 \le -\sin x \le 1$. Следовательно, $g'(x) = -\sin x - 1 \le 1 - 1 = 0$.Производная $g'(x)$ равна нулю только в точках, где $\sin x = -1$ (например, $x = \frac{3\pi}{2}$), а в остальных точках $g'(x) < 0$. Это означает, что функция $g(x)$ строго убывает на всей области определения $x \ge 0$.Строго убывающая функция может пересекать ось абсцисс только один раз. Следовательно, уравнение $\cos x = x$ имеет ровно одно решение при $x > 0$.

Поскольку исходная функция $f(x)$ четная, то кроме найденного положительного корня $x_0$ существует также и симметричный ему отрицательный корень $-x_0$. Корень $x=0$ не является решением, так как $\cos 0 \neq 0$.Итого, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

11.14 Решите неравенство:

а) $\cos x \ge 1 + |x|$;

б) $2 \cos x \le 2 + x^4.$

а) Рассмотрим неравенство $ \cos x \ge 1 + |x| $.
Для решения этого неравенства воспользуемся методом оценки левой и правой частей.
1. Оценим левую часть. Область значений функции косинуса $ y = \cos x $ — это отрезок $ [-1; 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ выполняется неравенство $ \cos x \le 1 $.
2. Оценим правую часть. По определению, модуль любого числа является неотрицательным, то есть $ |x| \ge 0 $. Следовательно, правая часть неравенства $ 1 + |x| \ge 1 + 0 = 1 $.
Таким образом, мы имеем следующую ситуацию:
Левая часть неравенства ($ \cos x $) всегда меньше или равна 1.
Правая часть неравенства ($ 1 + |x| $) всегда больше или равна 1.
Неравенство $ \cos x \ge 1 + |x| $ может быть истинным только в том случае, когда обе его части равны 1. Это приводит к системе уравнений:
$ \begin{cases} \cos x = 1 \\ 1 + |x| = 1 \end{cases} $
Решим второе уравнение системы:
$ 1 + |x| = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0 $.
Теперь подставим найденное значение $ x = 0 $ в первое уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:
$ \cos(0) = 1 $.
Равенство верное. Следовательно, $ x = 0 $ является единственным решением системы, а значит и исходного неравенства.
Ответ: $ 0 $.

б) Рассмотрим неравенство $ 2\cos x \le 2 + x^4 $.
Разделим обе части неравенства на положительное число 2, при этом знак неравенства не изменится:
$ \cos x \le 1 + \frac{x^4}{2} $.
Как и в предыдущем задании, применим метод оценки.
1. Оценим левую часть. Максимальное значение функции $ \cos x $ равно 1, то есть для любого действительного $ x $ верно $ \cos x \le 1 $.
2. Оценим правую часть. Выражение $ x^4 $ является неотрицательным для любого действительного $ x $, так как любое число, возведенное в четную степень, неотрицательно: $ x^4 \ge 0 $.
Тогда $ \frac{x^4}{2} \ge 0 $.
Следовательно, правая часть неравенства $ 1 + \frac{x^4}{2} \ge 1 + 0 = 1 $.
Мы установили, что для любого $ x \in \mathbb{R} $:
$ \cos x \le 1 $ и $ 1 \le 1 + \frac{x^4}{2} $.
Объединив эти два факта, получаем цепочку неравенств:
$ \cos x \le 1 \le 1 + \frac{x^4}{2} $.
Отсюда следует, что неравенство $ \cos x \le 1 + \frac{x^4}{2} $ выполняется для всех действительных значений $ x $.
Ответ: $ (-\infty; +\infty) $.