Страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

13.1 a) $y = 2\sin x;$

б) $y = -\cos x;$

в) $y = -\sin x;$

г) $y = 3\cos x.$

а) $y = 2\sin x$;

Для построения графика функции $y = 2\sin x$ мы используем метод преобразования графика базовой функции $y = \sin x$. Общий вид преобразования – $y = A \cdot f(x)$.

В данном случае $f(x) = \sin x$, а коэффициент $A = 2$. Поскольку $|A| > 1$, данное преобразование является растяжением графика вдоль оси ординат ($Oy$) в $A$ раз.

Пошаговый процесс построения:

1. Сначала строим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, которая имеет период $T=2\pi$ и область значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. Применяем преобразование растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$. Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin x$, соответствующая ей точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, 2y_0)$.

3. Вычисляем новые координаты для ключевых точек. Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$) остаются на месте, так как их ордината равна 0, и $0 \cdot 2 = 0$. Точки экстремумов изменяют свои ординаты:
- Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{2}, 1 \cdot 2) = (\frac{\pi}{2}, 2)$.
- Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перейдет в точку $(\frac{3\pi}{2}, -1 \cdot 2) = (\frac{3\pi}{2}, -2)$.

4. Соединяем полученные точки плавной линией, сохраняя форму синусоиды. Новый график $y = 2\sin x$ также будет периодическим с периодом $T=2\pi$, но его амплитуда увеличится до 2, а область значений станет $E(y) = [-2, 2]$.

Ответ: График функции $y = 2\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси ординат ($Oy$).

б) $y = -\cos x$;

Для построения графика функции $y = -\cos x$ мы будем преобразовывать график базовой функции $y = \cos x$. Данная функция имеет вид $y = A \cdot f(x)$, где $f(x) = \cos x$ и $A = -1$.

Поскольку $A = -1$, преобразование заключается в симметричном отражении графика $y = \cos x$ относительно оси абсцисс ($Ox$).

Пошаговый процесс построения:

1. Сначала строим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Применяем преобразование отражения относительно оси $Ox$. Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = \cos x$, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -y_0)$.

3. Вычисляем новые координаты для ключевых точек. Нули функции остаются на месте. Точки экстремумов меняются знаками:
- Точка максимума $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, -1)$, которая станет точкой минимума.
- Точка минимума $(\pi, -1)$ перейдет в точку $(\pi, -(-1)) = (\pi, 1)$, которая станет точкой максимума.

4. Соединяем полученные точки плавной кривой. Новый график $y = -\cos x$ будет иметь тот же период $T=2\pi$ и ту же область значений $E(y) = [-1, 1]$, что и $y = \cos x$, но будет "перевернут" относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = -\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).

в) $y = -\sin x$;

Для построения графика функции $y = -\sin x$ мы преобразуем график базовой функции $y = \sin x$. Функция имеет вид $y = A \cdot f(x)$, где $f(x) = \sin x$ и коэффициент $A = -1$.

Преобразование при $A = -1$ заключается в симметричном отражении исходного графика относительно оси абсцисс ($Ox$).

Пошаговый процесс построения:

1. Сначала строим график функции $y = \sin x$ (синусоиду) с периодом $T=2\pi$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. Отражаем этот график симметрично относительно оси $Ox$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin x$ перейдет в точку $(x_0, -y_0)$ на графике $y = -\sin x$.

3. Вычисляем новые координаты для ключевых точек. Нули функции остаются на месте. Точки экстремумов меняют знак:
- Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{2}, -1)$, которая станет точкой минимума.
- Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перейдет в точку $(\frac{3\pi}{2}, -(-1)) = (\frac{3\pi}{2}, 1)$, которая станет точкой максимума.

4. Соединяем новые точки плавной кривой. Полученный график $y = -\sin x$ — это синусоида, отраженная относительно оси $Ox$. Период $T=2\pi$ и область значений $E(y) = [-1, 1]$ сохраняются.

Ответ: График функции $y = -\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).

г) $y = 3\cos x$.

Для построения графика функции $y = 3\cos x$ мы используем преобразование графика базовой функции $y = \cos x$. Это функция вида $y = A \cdot f(x)$, где $f(x) = \cos x$ и $A = 3$.

Поскольку $A = 3 > 1$, преобразование представляет собой растяжение графика $y = \cos x$ вдоль оси ординат ($Oy$) в 3 раза.

Пошаговый процесс построения:

1. Сначала строим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Применяем преобразование растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \cos x$ перейдет в точку $(x_0, 3y_0)$ на новом графике.

3. Вычисляем новые координаты для ключевых точек. Нули функции остаются на месте. Ординаты экстремумов умножаются на 3:
- Точка максимума $(0, 1)$ перейдет в точку $(0, 1 \cdot 3) = (0, 3)$.
- Точка минимума $(\pi, -1)$ перейдет в точку $(\pi, -1 \cdot 3) = (\pi, -3)$.

4. Соединяем полученные точки плавной кривой, сохраняя форму косинусоиды. Новый график $y = 3\cos x$ будет периодическим с тем же периодом $T=2\pi$, но его амплитуда увеличится до 3, а область значений станет $E(y) = [-3, 3]$.

Ответ: График функции $y = 3\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения в 3 раза вдоль оси ординат ($Oy$).

13.6 Известно, что $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$. Найдите:

а) $f(-x)$;

б) $2f(x)$;

в) $f(x + 2\pi)$;

г) $f(-x) - f(x)$.

Дана функция $f(x) = -\frac{1}{2}\cos x$.

а) $f(-x)$;

Для нахождения $f(-x)$ необходимо подставить $-x$ вместо $x$ в формулу функции.

$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos(-x)$

Функция косинуса является четной, что означает $\cos(-x) = \cos x$ для любого значения $x$. Поэтому мы можем упростить выражение:

$f(-x) = -\frac{1}{2}\cos x$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$.

Ответ: $f(-x) = -\frac{1}{2}\cos x$.

б) $2f(x)$;

Для нахождения $2f(x)$ необходимо умножить выражение для $f(x)$ на 2.

$2f(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos x\right)$

Выполним умножение:

$2f(x) = -\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right)\cos x = -1 \cdot \cos x = -\cos x$

Ответ: $2f(x) = -\cos x$.

в) $f(x + 2\pi)$;

Для нахождения $f(x + 2\pi)$ необходимо подставить $x + 2\pi$ вместо $x$ в формулу функции.

$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2}\cos(x + 2\pi)$

Функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$. Это значит, что $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.

Следовательно:

$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2}\cos x$

Ответ: $f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2}\cos x$.

г) $f(-x) - f(x)$.

Для нахождения этого выражения воспользуемся результатом из пункта а), где мы нашли, что $f(-x) = -\frac{1}{2}\cos x$.

Теперь вычтем $f(x)$ из $f(-x)$:

$f(-x) - f(x) = \left(-\frac{1}{2}\cos x\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos x\right)$

$f(-x) - f(x) = -\frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos x = 0$

Ответ: $f(-x) - f(x) = 0$.

13.2 a) $y = -2 \sin x;$

б) $y = -3 \cos x;$

в) $y = 1,5 \sin x;$

г) $y = -1,5 \cos x.$

а)

Чтобы найти производную функции $y = -2\sin x$, мы используем правило дифференцирования произведения константы на функцию, которое гласит $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$, и известную производную функции синус: $(\sin x)' = \cos x$.

Применим это правило:

$y' = (-2\sin x)' = -2 \cdot (\sin x)'$

Заменяем производную синуса на косинус:

$y' = -2\cos x$

Ответ: $y' = -2\cos x$

б)

Для нахождения производной функции $y = -3\cos x$, мы применяем правило дифференцирования произведения константы на функцию и производную функции косинус: $(\cos x)' = -\sin x$.

Вычисляем производную:

$y' = (-3\cos x)' = -3 \cdot (\cos x)'$

Подставляем производную косинуса:

$y' = -3 \cdot (-\sin x) = 3\sin x$

Ответ: $y' = 3\sin x$

в)

Для нахождения производной функции $y = 1,5\sin x$, снова используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и производную синуса.

$y' = (1,5\sin x)' = 1,5 \cdot (\sin x)'$

Заменяем производную синуса на косинус:

$y' = 1,5\cos x$

Ответ: $y' = 1,5\cos x$

г)

Чтобы найти производную функции $y = -1,5\cos x$, применяем правило дифференцирования произведения константы на функцию и производную косинуса.

$y' = (-1,5\cos x)' = -1,5 \cdot (\cos x)'$

Подставляем производную косинуса, которая равна $-\sin x$:

$y' = -1,5 \cdot (-\sin x) = 1,5\sin x$

Ответ: $y' = 1,5\sin x$

Постройте график функции:

13.7 а) $y = 2 \sin x - 1$;

б) $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$;

в) $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$;

г) $y = 3 \cos x - 2$.

Для построения графика функции $y = 2 \sin x - 1$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \sin x$.
1. Построим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ее область значений $[-1, 1]$.
2. Растянем полученный график в 2 раза вдоль оси ординат (оси OY). Получим график функции $y_1 = 2 \sin x$. Амплитуда колебаний станет равна 2, а область значений изменится на $[-2, 2]$.
3. Сдвинем график $y_1 = 2 \sin x$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Это даст нам искомый график функции $y = 2 \sin x - 1$.

В результате этих преобразований мы получим синусоиду, которая колеблется относительно прямой $y=-1$.
Период функции не изменился и равен $T=2\pi$.
Область значений функции: $E(y) = [2 \cdot (-1) - 1, 2 \cdot 1 - 1] = [-3, 1]$.
Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, -1)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$ (точка максимума), $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, -3)$ (точка минимума), $(2\pi, -1)$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin x - 1$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 2 раза от оси абсцисс и последующего сдвига на 1 единицу вниз.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \cos x$.
1. Построим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
2. Преобразуем его в график $y_1 = -\frac{1}{2} \cos x$. Это преобразование включает два действия: сжатие графика $y = \cos x$ в 2 раза вдоль оси OY, что уменьшает амплитуду до $\frac{1}{2}$, и отражение графика относительно оси абсцисс (оси OX) из-за знака «минус». Область значений $y_1$ будет $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
3. Сдвинем график $y_1$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Получим искомый график функции $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$.

В результате мы получим косинусоиду, которая колеблется относительно прямой $y=2$.
Период функции остается $T=2\pi$.
Область значений функции: $E(y) = [-\frac{1}{2} + 2, \frac{1}{2} + 2] = [1.5, 2.5]$.
Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1.5)$ (точка минимума), $(\frac{\pi}{2}, 2)$, $(\pi, 2.5)$ (точка максимума), $(\frac{3\pi}{2}, 2)$, $(2\pi, 1.5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2$ получается из графика $y = \cos x$ путем его сжатия в 2 раза к оси абсцисс, отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на 2 единицы вверх.

Для построения графика функции $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$ выполним преобразования над графиком $y = \sin x$.
1. Начнем с графика базовой функции $y = \sin x$.
2. Построим график $y_1 = -\frac{3}{2} \sin x$. Для этого растянем график $y = \sin x$ в 1.5 раза ($\frac{3}{2}=1.5$) вдоль оси OY, а затем отразим его относительно оси OX. Амплитуда станет равна $1.5$, а область значений будет $[-1.5, 1.5]$.
3. Сдвинем полученный график $y_1$ на 3 единицы вверх вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$.

Полученная кривая является синусоидой, колеблющейся относительно прямой $y=3$.
Период функции не изменяется: $T=2\pi$.
Область значений функции: $E(y) = [-1.5 + 3, 1.5 + 3] = [1.5, 4.5]$.
Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 3)$, $(\frac{\pi}{2}, 1.5)$ (точка минимума), $(\pi, 3)$, $(\frac{3\pi}{2}, 4.5)$ (точка максимума), $(2\pi, 3)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 1.5 раза от оси абсцисс, отражения относительно этой оси и сдвига на 3 единицы вверх.

Для построения графика функции $y = 3 \cos x - 2$ выполним преобразования над графиком $y = \cos x$.
1. Начнем с графика базовой функции $y = \cos x$.
2. Растянем этот график в 3 раза вдоль оси OY. Получим график функции $y_1 = 3 \cos x$. Амплитуда увеличится до 3, а область значений станет $[-3, 3]$.
3. Сдвинем график $y_1 = 3 \cos x$ на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Это даст нам искомый график функции $y = 3 \cos x - 2$.

В результате мы получим косинусоиду, которая колеблется относительно прямой $y=-2$.
Период функции остается $T=2\pi$.
Область значений функции: $E(y) = [3 \cdot (-1) - 2, 3 \cdot 1 - 2] = [-5, 1]$.
Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$ (точка максимума), $(\frac{\pi}{2}, -2)$, $(\pi, -5)$ (точка минимума), $(\frac{3\pi}{2}, -2)$, $(2\pi, 1)$.

Ответ: График функции $y = 3 \cos x - 2$ получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения в 3 раза от оси абсцисс и последующего сдвига на 2 единицы вниз.

13.3 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 \cos x:$

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

б) на интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$;

в) на полуинтервале $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$;

г) на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2 \cos x$ на заданных промежутках, мы будем использовать следующий алгоритм:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (где производная равна нулю или не существует) и выбрать те, которые попадают в заданный промежуток.
3. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах промежутка (если они включены).
4. Среди всех полученных значений выбрать наибольшее (max) и наименьшее (min). Для открытых и полуоткрытых интервалов нужно также проанализировать поведение функции на границах.

Производная функции $y = 2 \cos x$ равна $y' = (2 \cos x)' = -2 \sin x$.

Критические точки находим из уравнения $y' = 0 \implies -2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$.

Решениями этого уравнения являются точки $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

1. Найдём критические точки, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Из всех точек вида $x = k\pi$ данному отрезку принадлежит только точка $x = 0$ (при $k=0$).

2. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(0) = 2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$.
$y(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
$y(\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.

3. Сравнивая значения $\{2, 0\}$, находим наибольшее и наименьшее.
Ответ: наибольшее значение $y_{max} = 2$, наименьшее значение $y_{min} = 0$.

б) на интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$

1. Найдём критические точки, принадлежащие интервалу $(0; \frac{3\pi}{2})$.
Из точек $x = k\pi$ данному интервалу принадлежит только $x = \pi$ (при $k=1$).

2. Вычислим значение функции в этой точке:
$y(\pi) = 2 \cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.

3. Интервал является открытым, поэтому значения на его концах не достигаются. Проанализируем поведение функции на границах интервала:
При $x \to 0^+$, $y \to 2 \cos(0) = 2$.
При $x \to (\frac{3\pi}{2})^-$, $y \to 2 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

4. На интервале $(0, \pi]$ функция убывает от значения, близкого к 2, до -2. На интервале $[\pi, \frac{3\pi}{2})$ функция возрастает от -2 до значения, близкого к 0. Таким образом, наименьшее значение достигается в точке $x=\pi$, а наибольшее значение не достигается.
Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$

1. Найдём критические точки, принадлежащие полуинтервалу $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$.
Интервалу принадлежит точка $x = \pi$ (при $k=1$).

2. Вычислим значения функции в критической точке и на левом конце полуинтервала. Также рассмотрим предел на правом (открытом) конце.
$y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
$y(\pi) = 2 \cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.
При $x \to (\frac{3\pi}{2})^-$, $y \to 2 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

3. Сравниваем вычисленные значения $\{1, -2\}$ и предел $0$. Наибольшее из достижимых значений равно 1, а наименьшее равно -2.
Ответ: наибольшее значение $y_{max} = 1$, наименьшее значение $y_{min} = -2$.

г) на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$

1. Найдём критические точки, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$.
Из точек $x=k\pi$ отрезку принадлежит $x = -\pi$ (при $k=-1$).

2. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(-\frac{3\pi}{2}) = 2 \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
$y(-\pi) = 2 \cos(-\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.
$y(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cos(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

3. Сравнивая значения $\{0, -2, \sqrt{2}\}$, находим наибольшее и наименьшее. (Заметим, что $\sqrt{2} \approx 1.414$).
Ответ: наибольшее значение $y_{max} = \sqrt{2}$, наименьшее значение $y_{min} = -2$.

13.4 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = -3\sin x:$

а) на луче $[0; +\infty);$

б) на открытом луче $(-\infty; \frac{\pi}{2});$

в) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty);$

г) на открытом луче $(-\infty; 0).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -3\sin x$ на различных промежутках, сначала определим ее общую область значений. Известно, что область значений синуса: $-1 \le \sin x \le 1$. Умножив это неравенство на -3, получим (с изменением знаков неравенства):
$(-3) \cdot 1 \le (-3) \cdot \sin x \le (-3) \cdot (-1)$
$-3 \le -3\sin x \le 3$
Таким образом, область значений функции $y = -3\sin x$ есть отрезок $[-3; 3]$.
Наибольшее значение, равное 3, функция принимает, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение, равное -3, функция принимает, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь проанализируем каждый из заданных промежутков.

а) На луче $[0; +\infty)$.
Проверим, достигаются ли на этом луче наибольшее и наименьшее значения.
1. Наибольшее значение $y=3$ достигается при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $[0; +\infty)$. Решим неравенство:$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge 0 \implies 2\pi n \ge \frac{\pi}{2} \implies n \ge \frac{1}{4}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=1, 2, 3, \ldots$. Например, при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Следовательно, наибольшее значение на данном луче достигается и равно 3.
2. Наименьшее значение $y=-3$ достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $[0; +\infty)$. Решим неравенство:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge 0 \implies 2\pi n \ge -\frac{\pi}{2} \implies n \ge -\frac{1}{4}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=0, 1, 2, \ldots$. Например, при $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Следовательно, наименьшее значение на данном луче достигается и равно -3.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

б) На открытом луче $(-\infty; \frac{\pi}{2})$.
Проверим, достигаются ли на этом луче наибольшее и наименьшее значения.
1. Наибольшее значение $y=3$ ($\sin x = -1$) достигается при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{2})$. Решим неравенство:$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n < \pi \implies n < \frac{1}{2}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=0, -1, -2, \ldots$. Например, при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $(-\infty; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, наибольшее значение на данном луче достигается и равно 3.
2. Наименьшее значение $y=-3$ ($\sin x = 1$) достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{2})$. Решим неравенство:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n < 0 \implies n < 0$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=-1, -2, \ldots$. Например, при $n=-1$, $x = -\frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $(-\infty; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, наименьшее значение на данном луче достигается и равно -3.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

в) На луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.
Проверим, достигаются ли на этом луче наибольшее и наименьшее значения.
1. Наибольшее значение $y=3$ ($\sin x = -1$) достигается при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Решим неравенство:$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge \frac{\pi}{4} \implies 2\pi n \ge \frac{3\pi}{4} \implies n \ge \frac{3}{8}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=1, 2, 3, \ldots$. Например, при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Следовательно, наибольшее значение на данном луче достигается и равно 3.
2. Наименьшее значение $y=-3$ ($\sin x = 1$) достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Решим неравенство:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \ge \frac{\pi}{4} \implies 2\pi n \ge -\frac{\pi}{4} \implies n \ge -\frac{1}{8}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=0, 1, 2, \ldots$. Например, при $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Следовательно, наименьшее значение на данном луче достигается и равно -3.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

г) На открытом луче $(-\infty; 0)$.
Проверим, достигаются ли на этом луче наибольшее и наименьшее значения.
1. Наибольшее значение $y=3$ ($\sin x = -1$) достигается при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $(-\infty; 0)$. Решим неравенство:$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 0 \implies 2\pi n < \frac{\pi}{2} \implies n < \frac{1}{4}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=0, -1, -2, \ldots$. Например, при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, что принадлежит лучу $(-\infty; 0)$. Следовательно, наибольшее значение на данном луче достигается и равно 3.
2. Наименьшее значение $y=-3$ ($\sin x = 1$) достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Проверим, есть ли такие $x$ в промежутке $(-\infty; 0)$. Решим неравенство:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n < 0 \implies 2\pi n < -\frac{\pi}{2} \implies n < -\frac{1}{4}$.Так как $n$ — целое число, подходят значения $n=-1, -2, \ldots$. Например, при $n=-1$, $x = -\frac{3\pi}{2}$, что принадлежит лучу $(-\infty; 0)$. Следовательно, наименьшее значение на данном луче достигается и равно -3.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

13.5 Известно, что $f(x) = 3 \sin x$. Найдите:

а) $f(-x);$

б) $2f(x);$

в) $2f(x) + 1;$

г) $f(-x) + f(x).$

Дана функция $f(x) = 3 \sin x$. Найдем значения для каждого из выражений.

а) f(-x)

Чтобы найти $f(-x)$, необходимо в формулу функции $f(x) = 3 \sin x$ вместо переменной $x$ подставить $-x$.

$f(-x) = 3 \sin(-x)$

Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin(x)$ для любого значения $x$. Используя это свойство, получаем:

$f(-x) = 3 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x$.

Ответ: $-3 \sin x$.

б) 2f(x)

Чтобы найти $2f(x)$, нужно умножить выражение для функции $f(x)$ на 2.

$2f(x) = 2 \cdot (3 \sin x)$

Выполнив умножение, получаем:

$2f(x) = 6 \sin x$.

Ответ: $6 \sin x$.

в) 2f(x) + 1

Для нахождения этого выражения мы воспользуемся результатом из предыдущего пункта. Мы уже вычислили, что $2f(x) = 6 \sin x$.

Теперь к этому результату необходимо прибавить 1.

$2f(x) + 1 = 6 \sin x + 1$.

Ответ: $6 \sin x + 1$.

г) f(-x) + f(x)

Нам нужно найти сумму двух выражений: $f(-x)$ и $f(x)$.

Из пункта (а) мы знаем, что $f(-x) = -3 \sin x$.

Исходная функция: $f(x) = 3 \sin x$.

Сложим эти два выражения:

$f(-x) + f(x) = (-3 \sin x) + (3 \sin x) = 0$.

Этот результат также можно объяснить тем, что функция $f(x)=3 \sin x$ является нечетной, поскольку $f(-x) = -f(x)$. Для любой нечетной функции сумма $f(x) + f(-x)$ всегда равна нулю.

Ответ: $0$.