Страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию $y=f(x)$ на чётность:

14.7 a) $f(x) = \tan x - \cos x;$

б) $f(x) = \tan x + x;$

в) $f(x) = \cot^2 x - x^4;$

г) $f(x) = x^3 - \cot x.$

а) $f(x) = \operatorname{tg} x - \cos x$

1. Область определения функции $D(f)$. Функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, область определения $D(f)$ функции $f(x)$ — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$.
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) - \cos(-x)$.

Используя свойства тригонометрических функций, $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ (нечётная функция) и $\cos(-x) = \cos x$ (чётная функция), получаем:
$f(-x) = -\operatorname{tg} x - \cos x$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
Равенство $f(-x) = f(x)$ не выполняется, так как $-\operatorname{tg} x - \cos x \neq \operatorname{tg} x - \cos x$ (это было бы верно только при $\operatorname{tg} x = 0$).
Равенство $f(-x) = -f(x)$ также не выполняется, так как $-\operatorname{tg} x - \cos x \neq -(\operatorname{tg} x - \cos x) = -\operatorname{tg} x + \cos x$ (это было бы верно только при $\cos x = 0$, что невозможно в области определения тангенса).

Поскольку не выполняется ни условие чётности, ни условие нечётности, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + x$

1. Область определения функции $D(f)$ та же, что и в пункте а), и она симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$.
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + (-x)$.

Зная, что $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и $(-x) = -x$, получаем:
$f(-x) = -\operatorname{tg} x - x = -(\operatorname{tg} x + x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$.
$f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x - x^4$

1. Область определения функции $D(f)$. Функция $\operatorname{ctg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, область определения $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$.
$f(-x) = \operatorname{ctg}^2(-x) - (-x)^4$.

Используя свойства функций, $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$, поэтому $\operatorname{ctg}^2(-x) = (-\operatorname{ctg} x)^2 = \operatorname{ctg}^2 x$. Степенная функция $x^4$ является чётной, так как $(-x)^4 = x^4$. Получаем:
$f(-x) = \operatorname{ctg}^2 x - x^4$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
$f(-x) = f(x)$, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

г) $f(x) = x^3 - \operatorname{ctg} x$

1. Область определения функции $D(f)$ та же, что и в пункте в), и она симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$.
$f(-x) = (-x)^3 - \operatorname{ctg}(-x)$.

Зная, что степенная функция $x^3$ нечётная ($(-x)^3 = -x^3$) и котангенс — нечётная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), получаем:
$f(-x) = -x^3 - (-\operatorname{ctg} x) = -x^3 + \operatorname{ctg} x = -(x^3 - \operatorname{ctg} x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$.
$f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

14.12 Определите знак разности:

а) $tg 200^\circ - tg 201^\circ$;

б) $tg 1 - tg 1,01$;

в) $tg 2,2 - tg 2,1$;

г) $tg \frac{3\pi}{5} - tg \frac{6\pi}{5}$.

Для определения знака разности используется свойство монотонности функции $y = \tan(x)$. Эта функция является строго возрастающей на каждом из своих интервалов определения, которые имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n$ — любое целое число. Это значит, что если $x_1 < x_2$ и оба аргумента принадлежат одному и тому же интервалу возрастания, то $\tan(x_1) < \tan(x_2)$.

а) $\tan(200^\circ) - \tan(201^\circ)$
Углы $200^\circ$ и $201^\circ$ находятся в третьей четверти. Они принадлежат интервалу $(180^\circ, 270^\circ)$, который является частью интервала возрастания тангенса $(90^\circ, 270^\circ)$. Поскольку $200^\circ < 201^\circ$, то, в силу возрастания функции на этом интервале, $\tan(200^\circ) < \tan(201^\circ)$. Следовательно, разность $\tan(200^\circ) - \tan(201^\circ)$ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

б) $\tan(1) - \tan(1,01)$
Аргументы 1 и 1,01 (в радианах) находятся в первой четверти, так как $0 < 1 < 1,01 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Оба значения принадлежат интервалу возрастания тангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Поскольку $1 < 1,01$, то $\tan(1) < \tan(1,01)$. Таким образом, разность $\tan(1) - \tan(1,01)$ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

в) $\tan(2,2) - \tan(2,1)$
Аргументы 2,1 и 2,2 (в радианах) находятся во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57 < 2,1 < 2,2 < \pi \approx 3,14$. Оба значения принадлежат интервалу возрастания тангенса $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Поскольку $2,1 < 2,2$, то $\tan(2,1) < \tan(2,2)$. Следовательно, разность $\tan(2,2) - \tan(2,1)$ положительна.
Ответ: знак плюс (+).

г) $\tan(\frac{3\pi}{5}) - \tan(\frac{6\pi}{5})$
Рассмотрим знаки каждого из тангенсов. Угол $\frac{3\pi}{5}$ находится во второй четверти $(\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi)$, где тангенс отрицателен, то есть $\tan(\frac{3\pi}{5}) < 0$. Угол $\frac{6\pi}{5}$ находится в третьей четверти $(\pi < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2})$, где тангенс положителен, то есть $\tan(\frac{6\pi}{5}) > 0$. Разность отрицательного и положительного числа всегда отрицательна.
В качестве альтернативы, можно заметить, что оба угла, $\frac{3\pi}{5}$ и $\frac{6\pi}{5}$, принадлежат одному интервалу возрастания тангенса $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Так как $\frac{3\pi}{5} < \frac{6\pi}{5}$, то $\tan(\frac{3\pi}{5}) < \tan(\frac{6\pi}{5})$, что также доказывает, что разность отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

14.8 a) $f(x) = \operatorname{tg}x \cdot \sin^2 x;$

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 - 1};$

В) $f(x) = x^5 \operatorname{tg}x;$

Г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg}x.$

а) $f(x) = \text{tg}x \cdot \sin^2 x$

Для нахождения производной данной функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \text{tg}x$ и $v(x) = \sin^2 x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Для нахождения производной $v(x) = \sin^2 x$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(\cdot)^2$ равна $2(\cdot)$, а производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$.

$v'(x) = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \sin^2 x + \text{tg}x \cdot (2\sin x \cos x)$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot 2\sin x \cos x = \text{tg}^2 x + 2\sin^2 x$.

Ответ: $f'(x) = \text{tg}^2 x + 2\sin^2 x$.

б) $f(x) = \frac{\text{tg}^2 x}{x^2 - 1}$

Для нахождения производной данной функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби) двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \text{tg}^2 x$ и $v(x) = x^2 - 1$.

Найдем производные этих функций:

Для нахождения $u'(x) = (\text{tg}^2 x)'$ используем правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = 2\text{tg}x \cdot (\text{tg}x)' = 2\text{tg}x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

$v'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{(2\text{tg}x \cdot \frac{1}{\cos^2 x})(x^2 - 1) - (\text{tg}^2 x)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\frac{2(x^2 - 1)\text{tg}x}{\cos^2 x} - 2x \text{tg}^2 x}{(x^2 - 1)^2}$.

в) $f(x) = x^5 \text{tg}x$

Для нахождения производной данной функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^5$ и $v(x) = \text{tg}x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^5)' = 5x^4$.

$v'(x) = (\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 5x^4 \cdot \text{tg}x + x^5 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = 5x^4 \text{tg}x + \frac{x^5}{\cos^2 x}$.

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \text{tg}x$

Для нахождения производной данной функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций: $(u + v + w)' = u' + v' + w'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

$(x^2)' = 2x$.

$(\sin x)' = \cos x$.

$(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Суммируем полученные производные:

$f'(x) = 2x + \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = 2x + \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}$.

14.13 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \operatorname{tg} x$.

Докажите, что $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$.

По условию задачи дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \tg x$. Необходимо доказать, что $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$.

Для доказательства подставим определение функции $f(x)$ в левую часть равенства:
$f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = \tg(2x + 2\pi) + \tg(7\pi - 2x)$.

Далее воспользуемся свойствами тригонометрической функции тангенс для упрощения каждого слагаемого.

1. Периодичность тангенса. Функция $y = \tg x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Это означает, что $\tg(\alpha + k\pi) = \tg(\alpha)$ для любого целого числа $k$.
Для первого слагаемого $\tg(2x + 2\pi)$ имеем $k=2$. Следовательно:
$\tg(2x + 2\pi) = \tg(2x)$.

Для второго слагаемого $\tg(7\pi - 2x)$ имеем $k=7$. Следовательно:
$\tg(7\pi - 2x) = \tg(-2x + 7\pi) = \tg(-2x)$.

2. Нечетность тангенса. Функция $y = \tg x$ является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\tg(-x) = -\tg x$.
Применив это свойство ко второму слагаемому, получаем:
$\tg(-2x) = -\tg(2x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную сумму:
$\tg(2x + 2\pi) + \tg(7\pi - 2x) = \tg(2x) + (-\tg(2x)) = \tg(2x) - \tg(2x) = 0$.

Мы получили, что левая часть равенства равна 0, что соответствует правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$ доказано.

14.9 a) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x;$

б) $f(x) = \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}.$

а) Чтобы исследовать функцию $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$ на четность, нужно проверить, выполняется ли для нее одно из равенств: $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция). Важным условием является симметричность области определения функции относительно нуля.

Сначала найдем область определения $D(f)$. Выражение $\sin x$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Выражение $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определено при условии, что $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, область определения функции $D(f): x \in \mathbb{R}, x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область является симметричной относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит.

Теперь найдем $f(-x)$:$f(-x) = \sin(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.

Воспользуемся свойствами нечетности синуса и котангенса: $\sin(-x) = -\sin x$ и $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$.Подставим эти соотношения в выражение для $f(-x)$:$f(-x) = -\sin x - \operatorname{ctg} x = -(\sin x + \operatorname{ctg} x)$.

Сравнивая полученный результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, данная функция является нечетной.

Ответ: нечетная функция.

б) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}$.

Найдем область определения $D(f)$. Функция не определена в точках, где знаменатель обращается в ноль или где не определен котангенс.Знаменатель равен нулю при $x^2 - 4 = 0$, то есть при $x = \pm 2$.Котангенс не определен при $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Таким образом, область определения $D(f): x \in \mathbb{R}, x \neq \pm 2, x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля.

Теперь найдем значение $f(-x)$:$f(-x) = \frac{(-x)^4 \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2 - 4}$.

Упростим это выражение, используя следующие свойства:$(-x)^4 = x^4$ (степень с четным показателем является четной функцией).$(-x)^2 = x^2$ (аналогично).$\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ (котангенс — нечетная функция).Подставляя, получаем:$f(-x) = \frac{x^4 (-\operatorname{ctg} x)}{x^2 - 4} = - \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}$.

Сравнив результат с исходной функцией, мы видим, что $f(-x) = -f(x)$. Это означает, что функция является нечетной.

Ответ: нечетная функция.

14.14 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 1$.

Докажите, что $f(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Дана функция $f(x) = x^2 + 1$. Необходимо доказать, что $f(\tg x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Для доказательства этого утверждения найдем значение левой части равенства, подставив в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$ выражение $\tg x$.

$f(\tg x) = (\tg x)^2 + 1 = \tg^2 x + 1$.

Теперь преобразуем полученное выражение. Вспомним определение тангенса: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Подставим это в наше выражение:

$\tg^2 x + 1 = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 + 1 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x}$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Заменим числитель дроби на 1:

$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $f(\tg x)$ равна правой части $\frac{1}{\cos^2 x}$.

$f(\tg x) = \tg^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Равенство доказано.

Ответ: Мы подставили $\tg x$ в функцию $f(x) = x^2 + 1$, получив выражение $\tg^2 x + 1$. Используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы преобразовали $\tg^2 x + 1$ к виду $\frac{1}{\cos^2 x}$, что и требовалось доказать.

14.5 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{ctg} x$ на заданном промежутке:

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$;

б) на полуинтервале $[\frac{\pi}{2}; \pi)$;

в) на интервале $(-\pi; 0)$;

г) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \text{ctg} x$ на заданных промежутках воспользуемся свойством монотонности котангенса. Функция $y = \text{ctg} x$ является убывающей на каждом интервале своей области определения $(k\pi, (k+1)\pi)$, где $k$ — целое число.

Заданный отрезок $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$ является частью интервала $(0; \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg} x$ непрерывна и строго убывает. Следовательно, на этом отрезке функция принимает свое наибольшее значение в левой граничной точке, а наименьшее — в правой.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 1.

На данном полуинтервале, который также является частью интервала $(0; \pi)$, функция $y = \text{ctg} x$ непрерывна и строго убывает.
Поскольку функция убывает, наибольшее значение она принимает в самой левой точке промежутка, то есть в точке $x = \frac{\pi}{2}$ (так как она включена в промежуток).
$y_{наиб} = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
Правая граница $x = \pi$ не включена в промежуток. Чтобы определить, есть ли наименьшее значение, рассмотрим поведение функции при приближении $x$ к $\pi$ слева ($x \to \pi^-$).
$\lim_{x \to \pi^-} \text{ctg} x = \lim_{x \to \pi^-} \frac{\cos x}{\sin x} = -\infty$, так как при $x \to \pi^-$ значение $\cos x \to -1$, а $\sin x \to 0$ оставаясь положительным ($\sin x \to 0^+$).
Так как функция стремится к $-\infty$, она не ограничена снизу, и наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.

Интервал $(-\pi; 0)$ является одним из основных интервалов, на котором функция $y = \text{ctg} x$ определена, непрерывна и строго убывает.
Так как интервал открытый, исследуем поведение функции на его границах.
При $x$, стремящемся к левой границе $-\pi$ справа ($x \to -\pi^+$):
$\lim_{x \to -\pi^+} \text{ctg} x = \lim_{x \to -\pi^+} \frac{\cos x}{\sin x} = +\infty$, так как при $x \to -\pi^+$ значение $\cos x \to -1$, а $\sin x \to 0$ оставаясь отрицательным ($\sin x \to 0^-$).
При $x$, стремящемся к правой границе $0$ слева ($x \to 0^-$):
$\lim_{x \to 0^-} \text{ctg} x = \lim_{x \to 0^-} \frac{\cos x}{\sin x} = -\infty$, так как при $x \to 0^-$ значение $\cos x \to 1$, а $\sin x \to 0$ оставаясь отрицательным ($\sin x \to 0^-$).
На данном интервале значения функции изменяются от $+\infty$ до $-\infty$. Таким образом, функция не ограничена ни сверху, ни снизу, и у нее нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: ни наибольшего, ни наименьшего значений на данном интервале не существует.

Заданный отрезок $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$ является частью интервала $(0; \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg} x$ непрерывна и строго убывает.
Следовательно, на этом отрезке функция принимает свое наибольшее значение в левой граничной точке, а наименьшее — в правой.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно $\sqrt{3}$.

14.10 Известно, что $tg (9\pi - x) = -\frac{3}{4}$. Найдите $tg x, ctg x$.

Нам дано уравнение: $ \tg(9\pi - x) = -\frac{3}{4} $.

Для того чтобы найти $ \tg x $, мы воспользуемся свойствами периодичности тангенса и формулами приведения.

Функция тангенса является периодической с периодом $ \pi $. Это означает, что $ \tg(\alpha + k\pi) = \tg(\alpha) $ для любого целого числа $ k $.В нашем случае мы можем представить $ 9\pi $ как $ 8\pi + \pi $.

$ \tg(9\pi - x) = \tg(8\pi + \pi - x) $

Поскольку $ 8\pi $ является целым кратным периода $ \pi $, мы можем его отбросить, не изменяя значения функции:

$ \tg(8\pi + \pi - x) = \tg(\pi - x) $

Теперь применим формулу приведения для $ \tg(\pi - x) $. Согласно этой формуле, $ \tg(\pi - x) = -\tg x $.

Таким образом, мы можем преобразовать исходное уравнение:

$ \tg(9\pi - x) = \tg(\pi - x) = -\tg x $

Подставляем это в исходное равенство:

$ -\tg x = -\frac{3}{4} $

Умножив обе части уравнения на $-1$, получаем значение для $ \tg x $:

$ \tg x = \frac{3}{4} $

Теперь найдем $ \ctg x $. Котангенс и тангенс связаны соотношением $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $.

Подставим найденное значение $ \tg x $:

$ \ctg x = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} $

Ответ: $ \tg x = \frac{3}{4} $, $ \ctg x = \frac{4}{3} $.

14.6 Решите графически уравнение:

а) $ctg x = 1;$

б) $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3};$

в) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

г) $ctg x = 0.$

Для графического решения уравнения вида $ctg x = a$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = ctg x$ (котангенсоида) и $y = a$ (горизонтальная прямая). Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

а) ctg x = 1

Построим в одной системе координат графики функций $y = ctg x$ и $y = 1$.

График функции $y = ctg x$ — это периодическая кривая (котангенсоида) с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi n$, где $n \in \Z$.

График функции $y = 1$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси ординат (оси $Oy$).

Прямая $y = 1$ пересекает график функции $y = ctg x$ бесконечное число раз. Чтобы найти все решения, достаточно найти одно из них (например, на главном промежутке $(0, \pi)$), а затем, используя периодичность котангенса, записать общую формулу для всех корней.

Известно, что значение котангенса равно 1 при угле $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка лежит в интервале $(0, \pi)$. Следовательно, одна из точек пересечения имеет абсциссу $x = \frac{\pi}{4}$.

Так как период функции $y = ctg x$ равен $\pi$, все остальные решения находятся добавлением к найденному значению $n\pi$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \Z$.

б) ctg x = $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = ctg x$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

График функции $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — это прямая, параллельная оси $Ox$.

Находим абсциссы точек пересечения этих двух графиков. Найдем основной корень на интервале $(0, \pi)$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значит, одна из точек пересечения имеет абсциссу $x = \frac{\pi}{3}$.

Учитывая периодичность функции котангенса (период $T=\pi$), все решения уравнения можно записать в виде общей формулы.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

в) ctg x = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = ctg x$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

График $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ — это горизонтальная прямая, расположенная ниже оси абсцисс.

Найдем абсциссу точки пересечения графиков на главном интервале $(0, \pi)$. Значение арккотангенса для отрицательного числа вычисляется по формуле $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.

Следовательно, основной корень уравнения $x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Так как прямая $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ пересекает каждую ветвь котангенсоиды, а период функции равен $\pi$, то все решения описываются общей формулой.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

г) ctg x = 0

Построим в одной системе координат графики функций $y = ctg x$ и $y = 0$.

График функции $y = 0$ совпадает с осью абсцисс ($Ox$).

Решениями уравнения являются абсциссы точек, в которых график котангенса пересекает ось $Ox$.

На главном интервале $(0, \pi)$ котангенс обращается в ноль в точке $x = \frac{\pi}{2}$.

Все точки пересечения с осью $Ox$ получаются из этой точки сдвигом на целое число периодов $T = \pi$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \Z$.

14.11 Известно, что $ctg(7\pi - x) = \frac{5}{7}$. Найдите $tg x$, $ctg x$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций. В частности, для функции котангенса.

Основное свойство, которое нам понадобится, — это периодичность функции котангенса. Период котангенса равен $ \pi $, что означает $ \text{ctg}(\alpha + k\pi) = \text{ctg}(\alpha) $ для любого целого числа $ k $.

Применим это свойство к выражению $ \text{ctg}(7\pi - x) $. Мы можем представить $ 7\pi $ как $ 6\pi + \pi $:

$ \text{ctg}(7\pi - x) = \text{ctg}(6\pi + \pi - x) $

Поскольку $ 6\pi $ является кратным $ \pi $ (здесь $ k=6 $), мы можем упростить выражение:

$ \text{ctg}(6\pi + \pi - x) = \text{ctg}(\pi - x) $

Далее используем формулу приведения для $ \text{ctg}(\pi - x) $. Аргумент $ (\pi - x) $ соответствует углу во второй координатной четверти (при условии, что $ x $ — острый угол), где значения котангенса отрицательны. Таким образом:

$ \text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x) $

Итак, мы получили тождество: $ \text{ctg}(7\pi - x) = -\text{ctg}(x) $.

ctg x

Согласно условию задачи, $ \text{ctg}(7\pi - x) = \frac{5}{7} $.

Используя выведенное нами тождество, получаем уравнение:

$ -\text{ctg}(x) = \frac{5}{7} $

Чтобы найти $ \text{ctg}(x) $, умножим обе части уравнения на -1:

$ \text{ctg}(x) = -\frac{5}{7} $

Ответ: $ \text{ctg}(x) = -\frac{5}{7} $.

tg x

Тангенс и котангенс — взаимно обратные функции, что выражается формулой $ \text{tg}(x) = \frac{1}{\text{ctg}(x)} $.

Подставим в эту формулу найденное значение $ \text{ctg}(x) $:

$ \text{tg}(x) = \frac{1}{-\frac{5}{7}} $

Вычисляем значение тангенса:

$ \text{tg}(x) = -\frac{7}{5} $

Ответ: $ \text{tg}(x) = -\frac{7}{5} $.