Страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.9 Найдите область допустимых значений выражения:

а) $arccos x$;

б) $arccos 2x$;

в) $arccos (x - 1)$;

г) $arccos (3 - 2x)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для выражения вида $\arccos(f(x))$ определяется условием, что аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, для нахождения ОДЗ необходимо решить двойное неравенство:

$-1 \le f(x) \le 1$

Применим это правило к каждому из заданных выражений.

а) $\arccos x$

Аргументом функции является переменная $x$. Согласно определению области допустимых значений арккосинуса, должно выполняться неравенство:

$-1 \le x \le 1$

Это неравенство уже определяет область допустимых значений для $x$. В виде промежутка это записывается как $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

б) $\arccos 2x$

Аргументом функции является выражение $2x$. Запишем соответствующее неравенство:

$-1 \le 2x \le 1$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

Область допустимых значений в виде промежутка: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

в) $\arccos(x - 1)$

Аргументом функции является выражение $x - 1$. Запишем неравенство для нахождения ОДЗ:

$-1 \le x - 1 \le 1$

Чтобы выразить $x$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le x - 1 + 1 \le 1 + 1$

$0 \le x \le 2$

Область допустимых значений в виде промежутка: $x \in [0, 2]$.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

г) $\arccos(3 - 2x)$

Аргументом функции является выражение $3 - 2x$. Составим неравенство:

$-1 \le 3 - 2x \le 1$

Сначала вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-1 - 3 \le -2x \le 1 - 3$

$-4 \le -2x \le -2$

Теперь разделим все части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-4}{-2} \ge x \ge \frac{-2}{-2}$

$2 \ge x \ge 1$

Запишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего к большему:

$1 \le x \le 2$

Область допустимых значений в виде промежутка: $x \in [1, 2]$.

Ответ: $x \in [1, 2]$.

Решите уравнение:

15.5 a) $\cos t = \frac{1}{2};$

б) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2};$

в) $\cos t = 1;$

г) $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

а) Для решения уравнения $cos t = \frac{1}{2}$ используется общая формула для нахождения корней тригонометрического уравнения с косинусом: $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $a$ - значение косинуса, а $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = \frac{1}{2}$.

Находим главное значение угла, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Это $arccos(\frac{1}{2})$. Из таблицы тригонометрических значений или с помощью единичной окружности мы знаем, что $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решаем уравнение $cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем ту же общую формулу: $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это значение равно $\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $cos t = 1$.

Это частный случай. Косинус равен единице только в точках, соответствующих началу отсчета на единичной окружности. Эти точки повторяются через каждый полный оборот, то есть через $2\pi$.

Можно также воспользоваться общей формулой: $t = \pm arccos(1) + 2\pi k$.

Так как $arccos(1) = 0$, получаем:

$t = \pm 0 + 2\pi k$, что упрощается до $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем уравнение $cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Снова применяем общую формулу: $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Находим $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это значение равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу:

$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

15.10 Имеет ли смысл выражение:

a) $arccos \sqrt{5}$;

б) $arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$;

в) $arccos \frac{\pi}{5}$;

г) $arccos (-\sqrt{3})$?

Выражение $\arccos(a)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда его аргумент $a$ принадлежит области определения функции арккосинус. Областью определения функции $y = \arccos(a)$ является отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для каждого выражения необходимо проверить, выполняется ли для его аргумента $a$ неравенство $-1 \le a \le 1$.

а) $\arccos \sqrt{5}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\sqrt{5}$ отрезку $[-1, 1]$. Известно, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Поскольку $4 < 5$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, следовательно, $2 < \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 1$, то значение $\sqrt{5}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Ответ: не имеет смысла.

б) $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\sqrt{\frac{2}{3}}$ отрезку $[-1, 1]$. Поскольку $\frac{2}{3}$ является положительным числом, то $\sqrt{\frac{2}{3}} > 0$. Сравним $\frac{2}{3}$ с $1$. Так как $2 < 3$, то $\frac{2}{3} < 1$. Из того, что $\frac{2}{3} < 1$, следует, что $\sqrt{\frac{2}{3}} < \sqrt{1} = 1$. Таким образом, мы получили, что $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$. Это означает, что значение $\sqrt{\frac{2}{3}}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Ответ: имеет смысл.

в) $\arccos \frac{\pi}{5}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\pi}{5}$ отрезку $[-1, 1]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. Тогда $\frac{\pi}{5} \approx \frac{3,14159}{5} \approx 0,628$. Так как $-1 \le 0,628 \le 1$, значение $\frac{\pi}{5}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Ответ: имеет смысл.

г) $\arccos (-\sqrt{3})$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\sqrt{3}$ отрезку $[-1, 1]$. Известно, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Поскольку $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно, $\sqrt{3} > 1$. Умножив неравенство на $-1$, получим $-\sqrt{3} < -1$. Так как $-\sqrt{3} < -1$, значение $-\sqrt{3}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Ответ: не имеет смысла.

15.6 a) $cos t = -1;$

Б) $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

В) $cos t = -\frac{1}{2};$

Г) $cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

а)

Дано простейшее тригонометрическое уравнение $cos t = -1$.

Это частный случай решения тригонометрических уравнений. На единичной окружности косинус угла соответствует абсциссе (координате x) точки. Значение -1 достигается в единственной точке окружности, которая соответствует углу $\pi$.

Так как функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, то все решения уравнения можно найти, прибавляя к частному решению $\pi$ целое число полных оборотов $2\pi n$.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

$t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: $t = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos t = a$ (где $|a| \le 1$) находится по формуле:

$t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$t = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$.

Для нахождения значения арккосинуса отрицательного числа используем тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Табличное значение $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу решения:

$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $cos t = -\frac{1}{2}$.

Воспользуемся общей формулой для решения уравнений вида $cos t = a$:

$t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$.

$t = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$.

Применим свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$:

$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Тогда $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Записываем общее решение:

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение находится по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$t = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$.

Используем тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$:

$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Табличное значение $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Получаем $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в формулу общего решения:

$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

15.11 Докажите тождество

$tg(\arccos 0,1 + \arccos (-0,1) + x) = tg x.$

Для доказательства тождества $tg(\arccos(0,1) + \arccos(-0,1) + x) = tg(x)$ необходимо преобразовать его левую часть.

Рассмотрим сумму арккосинусов в аргументе тангенса: $\arccos(0,1) + \arccos(-0,1)$.

Воспользуемся общим свойством функции арккосинус: для любого числа $a$ из отрезка $[-1, 1]$ справедливо равенство $\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$.

Докажем это свойство. Пусть $\alpha = \arccos(a)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$. Известно тригонометрическое тождество $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Подставив $\cos(\alpha) = a$, получаем $\cos(\pi - \alpha) = -a$. Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, то и для угла $(\pi - \alpha)$ выполняется неравенство $0 \le \pi - \alpha \le \pi$. Таким образом, угол $(\pi - \alpha)$ находится в области значений арккосинуса и его косинус равен $-a$. Следовательно, по определению арккосинуса, мы можем записать: $\arccos(-a) = \pi - \alpha$. Заменив $\alpha$ обратно на $\arccos(a)$, получаем $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, откуда и следует доказываемое свойство: $\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$.

Применим это свойство к нашему случаю, где $a = 0,1$: $\arccos(0,1) + \arccos(-0,1) = \pi$.

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного тождества: $tg(\arccos(0,1) + \arccos(-0,1) + x) = tg(\pi + x)$.

Функция тангенса является периодической, и её наименьший положительный период равен $\pi$. Это означает, что для любого угла $\alpha$, для которого тангенс определён, выполняется равенство $tg(\alpha + k\pi) = tg(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

В нашем случае $k=1$, поэтому: $tg(\pi + x) = tg(x)$.

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного тождества равна $tg(x)$, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. Левая часть $tg(\arccos(0,1) + \arccos(-0,1) + x)$ преобразуется к виду $tg(\pi + x)$ на основе свойства $\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$. В силу периодичности функции тангенса с периодом $\pi$, выражение $tg(\pi + x)$ равно $tg(x)$, что и требовалось доказать.

15.7 a) $\cos t = \frac{1}{3}$;

б) $\cos t = -1,1$;

В) $\cos t = -\frac{3}{7}$;

Г) $\cos t = 2,04$.

а)

Дано уравнение $\cos t = \frac{1}{3}$.
Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку значение $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $|a| \le 1$, то есть $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$, уравнение имеет решения.
Общая формула для нахождения решений уравнения $\cos t = a$ выглядит так: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).
Подставив в эту формулу значение $a = \frac{1}{3}$, получаем: $t = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\cos t = -1,1$.
Функция косинуса определена на всей числовой прямой, а её область значений — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого действительного числа $t$ выполняется неравенство $-1 \le \cos t \le 1$.
Число $-1,1$ не принадлежит этому отрезку, так как $-1,1 < -1$.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в)

Дано уравнение $\cos t = -\frac{3}{7}$.
Проверим, принадлежит ли значение $a = -\frac{3}{7}$ области значений функции косинус. Так как $|-\frac{3}{7}| = \frac{3}{7} < 1$, то $-1 \le -\frac{3}{7} \le 1$. Следовательно, уравнение имеет решения.
Применяем общую формулу для решения уравнений вида $\cos t = a$: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Подставляем $a = -\frac{3}{7}$ и получаем: $t = \pm \arccos(-\frac{3}{7}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \arccos(-\frac{3}{7}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\cos t = 2,04$.
Как и в пункте б), мы должны сравнить значение в правой части уравнения с областью значений функции косинуса, которая является отрезком $[-1, 1]$.
Число $2,04$ не принадлежит этому отрезку, так как $2,04 > 1$.
Поэтому данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

Решите уравнение:

$ \frac{8 \cos t - 3}{3 \cos t + 2} = 1; $

б) $ \frac{3 \cos t + 1}{2} + \frac{5 \cos t - 1}{3} = 1,75. $

а) Исходное уравнение: $ \frac{8 \cos t - 3}{3 \cos t + 2} = 1 $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $ 3 \cos t + 2 \neq 0 $, что означает $ \cos t \neq -\frac{2}{3} $.
Для удобства решения введем замену: пусть $ x = \cos t $. При этом должно выполняться условие $ |x| \le 1 $. Уравнение примет вид: $ \frac{8x - 3}{3x + 2} = 1 $.
Умножим обе части уравнения на $ (3x + 2) $, при условии, что $ 3x + 2 \neq 0 $:$ 8x - 3 = 1 \cdot (3x + 2) $
$ 8x - 3 = 3x + 2 $
Перенесем слагаемые с $ x $ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:
$ 8x - 3x = 2 + 3 $
$ 5x = 5 $
$ x = 1 $
Это значение удовлетворяет ОДЗ ($ 1 \neq -\frac{2}{3} $) и ограничению на косинус ($ |1| \le 1 $).
Теперь выполним обратную замену: $ \cos t = 1 $.
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней: $ t = 2 \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \frac{3 \cos t + 1}{2} + \frac{5 \cos t - 1}{3} = 1,75 $.
Введем замену $ x = \cos t $, при этом помним, что $ -1 \le x \le 1 $. Также преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{3x + 1}{2} + \frac{5x - 1}{3} = \frac{7}{4} $.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 4, которое равно 12:
$ 12 \cdot \frac{3x + 1}{2} + 12 \cdot \frac{5x - 1}{3} = 12 \cdot \frac{7}{4} $
$ 6(3x + 1) + 4(5x - 1) = 3 \cdot 7 $
Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:
$ 18x + 6 + 20x - 4 = 21 $
$ 38x + 2 = 21 $
$ 38x = 19 $
$ x = \frac{19}{38} = \frac{1}{2} $
Значение $ x = \frac{1}{2} $ удовлетворяет условию $ -1 \le x \le 1 $.
Выполним обратную замену: $ \cos t = \frac{1}{2} $.
Общее решение этого уравнения: $ t = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2 \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Поскольку $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, получаем:
$ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

15.8 Вычислите:

a) $ \cos\left(2\arccos\frac{1}{2} - 3\arccos 0 - \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right); $

б) $ \frac{1}{3}\left(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right). $

а) Вычислим значение выражения $ \cos(2 \arccos \frac{1}{2} - 3 \arccos 0 - \arccos(-\frac{1}{2})) $.

Для этого сначала найдем значения арккосинусов, входящих в выражение. Арккосинус $ \arccos(x) $ – это угол из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ x $.

1. $ \arccos \frac{1}{2} $. Нам нужно найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, для которого $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{3} $. Итак, $ \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} $.

2. $ \arccos 0 $. Нам нужно найти угол $ \beta \in [0; \pi] $, для которого $ \cos \beta = 0 $. Этим углом является $ \frac{\pi}{2} $. Итак, $ \arccos 0 = \frac{\pi}{2} $.

3. $ \arccos(-\frac{1}{2}) $. Используем свойство арккосинуса: $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.
$ \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3} - 3 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) $.

Упростим выражение в скобках:
$ 2 \cdot \frac{\pi}{3} - 3 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} $.

Осталось вычислить $ \cos(-\frac{3\pi}{2}) $. Так как косинус является четной функцией ($ \cos(-x) = \cos(x) $), то:
$ \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $.

Ответ: 0

б) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{3}(\arccos \frac{1}{3} + \arccos(-\frac{1}{3})) $.

Воспользуемся свойством арккосинуса: $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $, которое справедливо для всех $ x \in [-1; 1] $.

Применим это свойство к члену $ \arccos(-\frac{1}{3}) $:
$ \arccos(-\frac{1}{3}) = \pi - \arccos(\frac{1}{3}) $.

Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{1}{3}(\arccos \frac{1}{3} + (\pi - \arccos(\frac{1}{3}))) $.

Упростим выражение в скобках. Члены $ \arccos \frac{1}{3} $ и $ -\arccos \frac{1}{3} $ взаимно уничтожаются:
$ \arccos \frac{1}{3} + \pi - \arccos \frac{1}{3} = \pi $.

Тогда все выражение равно:
$ \frac{1}{3} \cdot \pi = \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

15.13 a) $6 \cos^2 t + 5 \cos t + 1 = 0;$

б) $3 + 9 \cos t = 5 \sin^2 t.$

а) $6\cos^2 t + 5\cos t + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos t$.

Введем замену переменной. Пусть $x = \cos t$. Тогда уравнение примет вид:

$6x^2 + 5x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $t$. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

1) $\cos t = -\frac{1}{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$t = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos t = -\frac{1}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение, его решения:

$t = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 + 9\cos t = 5\sin^2 t$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 + 9\cos t = 5(1 - \cos^2 t)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$3 + 9\cos t = 5 - 5\cos^2 t$

$5\cos^2 t + 9\cos t + 3 - 5 = 0$

$5\cos^2 t + 9\cos t - 2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $\cos t$. Введем замену переменной. Пусть $y = \cos t$.

$5y^2 + 9y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

Вернемся к замене.

1) $\cos t = \frac{1}{5}$

Решения этого уравнения:

$t = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos t = -2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а $-2$ не входит в этот промежуток (то есть $|\cos t| \le 1$).

Следовательно, единственным решением исходного уравнения является первая серия корней.

Ответ: $\pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.