Страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.17 a) $y = \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{2} \right);$

б) $y = \operatorname{tg} x + 1;$

В) $y = \operatorname{tg} \left( x - \frac{\pi}{4} \right);$

Г) $y = \operatorname{tg} x - 2.$

а) $y = \tan(x + \frac{\pi}{2})$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \tan(x)$. Преобразование вида $y = f(x+c)$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). В данном случае $c = \frac{\pi}{2}$, что означает сдвиг графика $y = \tan(x)$ на $\frac{\pi}{2}$ влево.

Также можно воспользоваться формулой приведения: $\tan(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\cot(\alpha)$. Таким образом, данную функцию можно записать как $y = -\cot(x)$.

Проанализируем основные свойства функции:

1. Область определения (D(y)): Тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x + \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений (E(y)): Горизонтальный сдвиг не влияет на область значений. Для тангенса это все действительные числа.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Период (T): Горизонтальный сдвиг не изменяет период функции. Основной период тангенса равен $\pi$.
$T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Асимптоты для $y = \tan(x)$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Так как график сдвинут на $\frac{\pi}{2}$ влево, новые асимптоты будут в точках:
$x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - \frac{\pi}{2} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\tan(x)$ на $\frac{\pi}{2}$ влево вдоль оси Ox. Область определения: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Асимптоты: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \tan x + 1$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \tan(x)$. Преобразование вида $y = f(x) + d$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат (Oy). В данном случае $d=1$, что означает сдвиг графика $y = \tan(x)$ на 1 единицу вверх.

Проанализируем основные свойства функции:

1. Область определения (D(y)): Вертикальный сдвиг не влияет на область определения.
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений (E(y)): Область значений тангенса - все действительные числа. Вертикальный сдвиг множества $(-\infty; +\infty)$ не изменяет его.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Период (T): Вертикальный сдвиг не изменяет период функции.
$T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальных асимптот.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\tan(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \tan(x)$. Преобразование вида $y = f(x-c)$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). В данном случае $c = \frac{\pi}{4}$, что означает сдвиг графика $y = \tan(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо.

Проанализируем основные свойства функции:

1. Область определения (D(y)): Тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$
$x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений (E(y)): Горизонтальный сдвиг не влияет на область значений.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Период (T): Горизонтальный сдвиг не изменяет период функции.
$T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Асимптоты для $y = \tan(x)$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Так как график сдвинут на $\frac{\pi}{4}$ вправо, новые асимптоты будут в точках:
$x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\tan(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox. Область определения: $x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \tan x - 2$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \tan(x)$. Преобразование вида $y = f(x) + d$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат (Oy). В данном случае $d=-2$, что означает сдвиг графика $y = \tan(x)$ на 2 единицы вниз.

Проанализируем основные свойства функции:

1. Область определения (D(y)): Вертикальный сдвиг не влияет на область определения.
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений (E(y)): Область значений тангенса - все действительные числа. Вертикальный сдвиг множества $(-\infty; +\infty)$ не изменяет его.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Период (T): Вертикальный сдвиг не изменяет период функции.
$T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальных асимптот.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\tan(x)$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

14.22 a) $y = \sin^2(\operatorname{tg}x) + \cos^2(\operatorname{tg}x);$

б) $y = 2 \cos^2(\operatorname{ctg}x) + 2 \sin^2(\operatorname{ctg}x).$

а)

Дана функция $y = \sin^2(\operatorname{tg}x) + \cos^2(\operatorname{tg}x)$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что для любого действительного аргумента $\alpha$ выполняется равенство: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

В данном выражении в качестве аргумента $\alpha$ выступает функция $\operatorname{tg}x$. Таким образом, мы можем положить $\alpha = \operatorname{tg}x$.

Применяя тождество, получаем: $y = \sin^2(\operatorname{tg}x) + \cos^2(\operatorname{tg}x) = 1$.

Однако, это равенство справедливо только в области определения исходной функции. Функция $y$ определена для всех значений $x$, при которых определен $\operatorname{tg}x$. Функция $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, функция $y$ равна 1 для всех $x$ из ее области определения.

Ответ: $y = 1$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана функция $y = 2\cos^2(\operatorname{ctg}x) + 2\sin^2(\operatorname{ctg}x)$.

Для начала вынесем общий множитель 2 за скобки: $y = 2(\cos^2(\operatorname{ctg}x) + \sin^2(\operatorname{ctg}x))$.

Выражение в скобках, $\cos^2(\operatorname{ctg}x) + \sin^2(\operatorname{ctg}x)$, снова соответствует основному тригонометрическому тождеству $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.

Здесь в качестве аргумента $\alpha$ выступает функция $\operatorname{ctg}x$. Полагая $\alpha = \operatorname{ctg}x$, получаем, что выражение в скобках равно 1.

Подставим это значение в наше выражение для $y$: $y = 2 \cdot 1 = 2$.

Это равенство справедливо в области определения исходной функции. Функция $y$ определена для всех значений $x$, при которых определен $\operatorname{ctg}x$. Функция $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определена, когда $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, функция $y$ равна 2 для всех $x$ из ее области определения.

Ответ: $y = 2$ при $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

14.18 a) $y = \text{tg} \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1;$

б) $y = \text{tg} \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2};$

В) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 1;$

Г) $y = \text{tg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2.$

а) $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{6}) + 1$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \text{tg}(x)$. График получается путем выполнения двух параллельных переносов:
1. Сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц (поскольку аргумент $x$ заменен на $x + \frac{\pi}{6}$).
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) вверх на 1 единицу.

Найдем основные свойства функции:

Область определения: Аргумент тангенса не может быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$
$x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x \neq \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi n$
$x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Область значений: Область значений функции тангенс — все действительные числа. Вертикальный сдвиг не изменяет ее: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Период: Так как коэффициент при $x$ равен 1, основной период функции не изменяется: $T = \pi$.

Вертикальные асимптоты: Это прямые, соответствующие значениям $x$, исключенным из области определения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получен из $y=\text{tg}(x)$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{6}$ и вверх на 1. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \text{tg}(x - \frac{2\pi}{3}) + \frac{1}{2}$

График данной функции получается из графика $y = \text{tg}(x)$ с помощью следующих преобразований:
1. Сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox) вправо на $\frac{2\pi}{3}$ единиц.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) вверх на $\frac{1}{2}$ единицы.

Найдем основные свойства функции:

Область определения:
$x - \frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + \pi n$
$x \neq \frac{3\pi + 4\pi}{6} + \pi n$
$x \neq \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Период: $T = \pi$.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получен из $y=\text{tg}(x)$ сдвигом вправо на $\frac{2\pi}{3}$ и вверх на $\frac{1}{2}$. Область определения: $x \neq \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{2}) + 1$

График данной функции получается из графика $y = \text{tg}(x)$ с помощью следующих преобразований:
1. Сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox) вправо на $\frac{\pi}{2}$ единиц.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) вверх на 1 единицу.

Найдем основные свойства функции:

Область определения:
$x - \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \pi + \pi n$
$x \neq \pi(n+1), n \in \mathbb{Z}$. Это можно записать как $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Период: $T = \pi$.

Вертикальные асимптоты: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Примечание: Используя формулу приведения $\text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(\alpha)$, функцию можно записать как $y = -\text{ctg}(x) + 1$.

Ответ: График функции получен из $y=\text{tg}(x)$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{2}$ и вверх на 1. Область определения: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Вертикальные асимптоты: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{3}) - 2$

График данной функции получается из графика $y = \text{tg}(x)$ с помощью следующих преобразований:
1. Сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{3}$ единиц.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) вниз на 2 единицы.

Найдем основные свойства функции:

Область определения:
$x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$x \neq \frac{3\pi - 2\pi}{6} + \pi n$
$x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Период: $T = \pi$.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получен из $y=\text{tg}(x)$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{3}$ и вниз на 2. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

14.23 a) $y = \text{tg}(\cos x) \cdot \text{ctg}(\cos x);$

б) $y = -2 \text{tg}(\sin x) \cdot \text{ctg}(\sin x).$

а) $y = \tg(\cos x) \cdot \ctg(\cos x)$

Данная функция представляет собой произведение тангенса и котангенса одного и того же аргумента, в данном случае $\cos x$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\tg(\alpha) \cdot \ctg(\alpha) = 1$. Применив его к нашему выражению, где $\alpha = \cos x$, мы можем упростить функцию до $y=1$.

Однако это тождество справедливо только тогда, когда и $\tg(\cos x)$, и $\ctg(\cos x)$ определены. Это накладывает ограничения на область определения функции (ОДЗ).

1. Функция $\tg(\alpha)$ определена, если ее аргумент $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $\alpha = \cos x$, поэтому должно выполняться условие: $\cos x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Поскольку область значений функции косинус $E(\cos x) = [-1; 1]$, а $|\frac{\pi}{2} + \pi k| \ge \frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$ для любого целого $k$, то условие $\cos x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ никогда не выполняется. Следовательно, это ограничение не влияет на область определения.

2. Функция $\ctg(\alpha)$ определена, если ее аргумент $\alpha \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $\alpha = \cos x$, поэтому должно выполняться условие: $\cos x \neq \pi n$. Рассмотрим это условие, учитывая, что $-1 \le \cos x \le 1$.
Если $n = 0$, то $\cos x \neq 0$. Это возможно, и это ограничение необходимо учесть.
Если $n \neq 0$ (например, $n = \pm 1, \pm 2, ...$), то $|\pi n| \ge \pi \approx 3.14 > 1$. Значение $\cos x$ никогда не может быть равно $\pi n$ для ненулевых $n$.

Таким образом, единственным ограничением на область определения является $\cos x \neq 0$. Это уравнение решается следующим образом: $\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Значит, область определения функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.

В итоге, функция представляет собой константу $y=1$ на всей своей области определения.

Ответ: $y=1$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -2\tg(\sin x) \cdot \ctg(\sin x)$

Аналогично предыдущему пункту, мы имеем произведение тангенса и котангенса одного аргумента $\sin x$.

Используя тождество $\tg(\alpha) \cdot \ctg(\alpha) = 1$, где $\alpha = \sin x$, мы можем упростить выражение: $y = -2 \cdot (\tg(\sin x) \cdot \ctg(\sin x)) = -2 \cdot 1 = -2$.

Это упрощение возможно только в области определения исходной функции. Найдем ОДЗ.

1. Функция $\tg(\sin x)$ определена, если $\sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область значений функции синус $E(\sin x) = [-1; 1]$. Поскольку $|\frac{\pi}{2} + \pi k| \ge \frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$ для любого целого $k$, условие $\sin x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ никогда не выполняется.

2. Функция $\ctg(\sin x)$ определена, если $\sin x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим это условие, учитывая, что $-1 \le \sin x \le 1$.
Если $n = 0$, то $\sin x \neq 0$. Это ограничение необходимо учесть.
Если $n \neq 0$, то $|\pi n| \ge \pi \approx 3.14 > 1$. Значение $\sin x$ никогда не может быть равно $\pi n$ для ненулевых $n$.

Следовательно, единственное ограничение на область определения — это $\sin x \neq 0$. Решаем уравнение $\sin x = 0$, получаем $x = \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область определения функции: $x \neq \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.

Функция является константой $y=-2$ на всей своей области определения.

Ответ: $y=-2$ при $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

14.19 a) $y = -tgx$;

б) $y = -tgx + 1$;

В) $y = -tg\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$;

Г) $y = -tg\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2.

Для решения задачи проанализируем каждую функцию, определив ее основные свойства: область определения, область значений, период, четность, асимптоты, нули и характер монотонности. Также опишем, как получить график каждой функции из графика базовой функции $y = \tg x$.

а) $y = -\tg x$

График функции $y = -\tg x$ получается из графика функции $y = \tg x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$). При этом функция $y = \tg x$, возрастающая на каждом интервале области определения, становится убывающей.

Ответ:

• Область определения: Все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Запись: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.
• Область значений: Все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Период: Основной период $T = \pi$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = -\tg(-x) = -(-\tg x) = \tg x = -(-\tg x)$, что не равно $y(x)$, но равно $-y(x)$ (Ошибка в рассуждении. Правильно: $y(x) = -\tg x$. $y(-x) = -\tg(-x) = -(-\tg x) = \tg x$. $-y(x) = -(-\tg x) = \tg x$. Следовательно, $y(-x) = -y(x)$, функция нечетная). График симметричен относительно начала координат.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\tg x = 0$, то есть при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\tg x + 1$

График функции $y = -\tg x + 1$ получается из графика функции $y = -\tg x$ (рассмотренного в пункте а)) путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси $Oy$).

Ответ:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \pi$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как $y(-x) = -\tg(-x) + 1 = \tg x + 1$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\tg x + 1 = 0 \Rightarrow \tg x = 1$. Отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = -\tg(x - \frac{\pi}{2})$

График функции $y = -\tg(x - \frac{\pi}{2})$ получается из графика функции $y = -\tg x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{2}$ вправо вдоль оси абсцисс. Используя формулы приведения, можно упростить выражение: $\tg(x - \frac{\pi}{2}) = -\cot x$. Таким образом, $y = -(-\cot x) = \cot x$. Следовательно, данная функция тождественно равна котангенсу.

Ответ:

• Область определения: Все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Запись: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \pi$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(x) = \cot x$ и $\cot(-x) = -\cot x = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\cot x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов $(\pi n; \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2$

График данной функции получается из графика $y = -\tg x$ двумя последовательными преобразованиями: параллельным переносом на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси $Ox$ и параллельным переносом на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Ответ:

• Область определения: Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$. $x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \pi$.
• Четность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2 = 0 \Rightarrow \tg(x + \frac{\pi}{3}) = -2$. Отсюда $x + \frac{\pi}{3} = \arctan(-2) + \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} - \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(\frac{\pi}{6} - \pi; \frac{\pi}{6}) + \pi n = (-\frac{5\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

14.15 Докажите, что данное число $T$ является периодом заданной функции:

а) $y = \text{tg } 2x, T = \frac{\pi}{2};$

б) $y = \text{tg } \frac{x}{3}, T = 3\pi;$

в) $y = \text{tg } 5x, T = \frac{\pi}{5};$

г) $y = \text{tg } \frac{2x}{5}, T = \frac{5\pi}{2}.$

а) Чтобы доказать, что число $T$ является периодом функции $y(x)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $y(x+T) = y(x)$.

Для функции $y = \tg(2x)$ и периода $T = \frac{\pi}{2}$ проверим это условие.Область определения функции задается условием $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - любое целое число. Если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T$ также принадлежит ей, так как $2(x+T) = 2x+\pi$, а сдвиг на $\pi$ не выводит аргумент тангенса за пределы области допустимых значений.

Подставим $x+T$ в функцию:$y(x + T) = y(x + \frac{\pi}{2}) = \tg(2(x + \frac{\pi}{2})) = \tg(2x + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \tg(2x + \pi)$.

Основной период функции тангенс равен $\pi$, что означает $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$ для любого $\alpha$. Применив это свойство к нашему выражению, где $\alpha = 2x$, получаем:$\tg(2x + \pi) = \tg(2x)$.

Таким образом, мы показали, что $y(x + \frac{\pi}{2}) = y(x)$.
Ответ: Число $T = \frac{\pi}{2}$ является периодом функции $y = \tg(2x)$, так как $y(x + \frac{\pi}{2}) = \tg(2(x + \frac{\pi}{2})) = \tg(2x+\pi) = \tg(2x) = y(x)$.

б) Для функции $y = \tg(\frac{x}{3})$ и периода $T = 3\pi$ проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.

Подставим $x+T$ в функцию:$y(x + T) = y(x + 3\pi) = \tg(\frac{x + 3\pi}{3}) = \tg(\frac{x}{3} + \frac{3\pi}{3}) = \tg(\frac{x}{3} + \pi)$.

Используя свойство периодичности тангенса $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$, где $\alpha = \frac{x}{3}$, получаем:$\tg(\frac{x}{3} + \pi) = \tg(\frac{x}{3})$.

Следовательно, $y(x + 3\pi) = y(x)$.
Ответ: Число $T = 3\pi$ является периодом функции $y = \tg(\frac{x}{3})$, так как $y(x+3\pi) = \tg(\frac{x+3\pi}{3}) = \tg(\frac{x}{3}+\pi) = \tg(\frac{x}{3}) = y(x)$.

в) Для функции $y = \tg(5x)$ и периода $T = \frac{\pi}{5}$ проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.

Подставим $x+T$ в функцию:$y(x + T) = y(x + \frac{\pi}{5}) = \tg(5(x + \frac{\pi}{5})) = \tg(5x + 5 \cdot \frac{\pi}{5}) = \tg(5x + \pi)$.

Так как период тангенса равен $\pi$, то $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 5x$:$\tg(5x + \pi) = \tg(5x)$.

Таким образом, $y(x + \frac{\pi}{5}) = y(x)$.
Ответ: Число $T = \frac{\pi}{5}$ является периодом функции $y = \tg(5x)$, так как $y(x + \frac{\pi}{5}) = \tg(5(x + \frac{\pi}{5})) = \tg(5x+\pi) = \tg(5x) = y(x)$.

г) Для функции $y = \tg(\frac{2x}{5})$ и периода $T = \frac{5\pi}{2}$ проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.

Подставим $x+T$ в функцию:$y(x + T) = y(x + \frac{5\pi}{2}) = \tg(\frac{2}{5}(x + \frac{5\pi}{2})) = \tg(\frac{2x}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}) = \tg(\frac{2x}{5} + \pi)$.

Используя свойство периодичности тангенса $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$, где $\alpha = \frac{2x}{5}$, получаем:$\tg(\frac{2x}{5} + \pi) = \tg(\frac{2x}{5})$.

Следовательно, $y(x + \frac{5\pi}{2}) = y(x)$.
Ответ: Число $T = \frac{5\pi}{2}$ является периодом функции $y = \tg(\frac{2x}{5})$, так как $y(x + \frac{5\pi}{2}) = \tg(\frac{2}{5}(x + \frac{5\pi}{2})) = \tg(\frac{2x}{5}+\pi) = \tg(\frac{2x}{5}) = y(x)$.

14.20 a) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right);$

Б) $y = \operatorname{ctg}x + 1;$

В) $y = \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

Г) $y = \operatorname{ctg}x - 2.$

а) $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Данное уравнение задает функцию, график которой можно получить из графика базовой функции $y = \text{ctg } x$ с помощью преобразований. Также выражение можно упростить, используя тригонометрические формулы.

1. Геометрическое преобразование:

График функции $y = f(x+a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a > 0$, сдвиг выполняется влево на $a$ единиц. В данном случае $a = \frac{\pi}{2} > 0$, следовательно, график функции $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{2}$ единиц.

2. Упрощение выражения:

Воспользуемся формулой приведения для котангенса: $\text{ctg}\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\text{tg } \alpha$.

Применив эту формулу к нашей функции, получаем:

$y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\text{tg } x$.

Таким образом, график исходной функции полностью совпадает с графиком функции $y = -\text{tg } x$. Этот график, в свою очередь, является зеркальным отражением графика $y = \text{tg } x$ относительно оси Ox.

Ответ: Функция $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ может быть упрощена до $y = -\text{tg } x$. Ее график получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{2}$, что эквивалентно отражению графика $y = \text{tg } x$ относительно оси абсцисс.

б) $y = \text{ctg } x + 1$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \text{ctg } x$.

Геометрическое преобразование:

График функции $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (Oy). Если $b > 0$, сдвиг выполняется вверх на $b$ единиц. В нашем случае $b = 1 > 0$, следовательно, график функции $y = \text{ctg } x + 1$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом вверх на 1 единицу.

Дальнейшее упрощение данного выражения невозможно.

Ответ: График функции $y = \text{ctg } x + 1$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

в) $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \text{ctg } x$.

Геометрическое преобразование:

График функции $y = f(x - a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a > 0$, сдвиг выполняется вправо на $a$ единиц. В нашем случае $a = \frac{\pi}{3} > 0$, следовательно, график функции $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Дальнейшее упрощение данного выражения с помощью стандартных формул приведения невозможно.

Ответ: График функции $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси Ox.

г) $y = \text{ctg } x - 2$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \text{ctg } x$.

Геометрическое преобразование:

График функции $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (Oy). Если $b < 0$, сдвиг выполняется вниз на $|b|$ единиц. В нашем случае $b = -2 < 0$, следовательно, график функции $y = \text{ctg } x - 2$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом вниз на 2 единицы.

Дальнейшее упрощение данного выражения невозможно.

Ответ: График функции $y = \text{ctg } x - 2$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

14.16 Докажите, что число $\pi$ является периодом функции:

a) $y = \mathrm{tg} x + \sin 2x - \mathrm{tg} 3x - \cos 4x;$

б) $y = \sin 3x + \cos 5x + \mathrm{ctg} x - 2 \mathrm{tg} 2x.$

а) Чтобы доказать, что число $T=\pi$ является периодом функции $y = f(x)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \operatorname{tg}x + \sin(2x) - \operatorname{tg}(3x) - \cos(4x)$. Подставим $x+\pi$ вместо $x$:

$f(x+\pi) = \operatorname{tg}(x+\pi) + \sin(2(x+\pi)) - \operatorname{tg}(3(x+\pi)) - \cos(4(x+\pi))$

Упростим каждое слагаемое, используя свойства периодичности тригонометрических функций:

1. Функция тангенс имеет период $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(x+\pi) = \operatorname{tg}x$.

2. Функция синус имеет период $2\pi$. Поэтому $\sin(2(x+\pi)) = \sin(2x+2\pi) = \sin(2x)$.

3. Для функции тангенс выполняется равенство $\operatorname{tg}(z+k\pi) = \operatorname{tg}z$ для любого целого $k$. В нашем случае $k=3$, поэтому $\operatorname{tg}(3(x+\pi)) = \operatorname{tg}(3x+3\pi) = \operatorname{tg}(3x)$.

4. Функция косинус имеет период $2\pi$. Поэтому $\cos(4(x+\pi)) = \cos(4x+4\pi) = \cos(4x)$.

Подставим упрощенные выражения обратно в формулу для $f(x+\pi)$:

$f(x+\pi) = \operatorname{tg}x + \sin(2x) - \operatorname{tg}(3x) - \cos(4x)$

Полученное выражение в точности совпадает с исходной функцией $f(x)$. Таким образом, равенство $f(x+\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения функции.

Ответ: Число $\pi$ является периодом функции $y = \operatorname{tg}x + \sin(2x) - \operatorname{tg}(3x) - \cos(4x)$.

б) Рассмотрим функцию $y = g(x) = \sin(3x) + \cos(5x) + \operatorname{ctg}x - 2\operatorname{tg}(2x)$. Чтобы проверить, является ли $\pi$ периодом, найдем значение функции в точке $x+\pi$:

$g(x+\pi) = \sin(3(x+\pi)) + \cos(5(x+\pi)) + \operatorname{ctg}(x+\pi) - 2\operatorname{tg}(2(x+\pi))$

Упростим каждое слагаемое:

1. $\sin(3(x+\pi)) = \sin(3x+3\pi)$. Используя формулу приведения $\sin(\alpha + k\pi) = (-1)^k \sin(\alpha)$, при $k=3$ получаем: $\sin(3x+3\pi) = (-1)^3 \sin(3x) = -\sin(3x)$.

2. $\cos(5(x+\pi)) = \cos(5x+5\pi)$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha + k\pi) = (-1)^k \cos(\alpha)$, при $k=5$ получаем: $\cos(5x+5\pi) = (-1)^5 \cos(5x) = -\cos(5x)$.

3. Функция котангенс имеет период $\pi$, поэтому $\operatorname{ctg}(x+\pi) = \operatorname{ctg}x$.

4. Функция тангенс имеет период $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(2(x+\pi)) = \operatorname{tg}(2x+2\pi) = \operatorname{tg}(2x)$.

Подставим упрощенные выражения в формулу для $g(x+\pi)$:

$g(x+\pi) = -\sin(3x) - \cos(5x) + \operatorname{ctg}x - 2\operatorname{tg}(2x)$

Сравним полученное выражение с исходной функцией $g(x) = \sin(3x) + \cos(5x) + \operatorname{ctg}x - 2\operatorname{tg}(2x)$. Очевидно, что $g(x+\pi) \neq g(x)$, так как знаки при первых двух слагаемых изменились на противоположные. Например, если $x=\pi/6$, то $g(\pi/6) = \sin(\pi/2) + \cos(5\pi/6) + \operatorname{ctg}(\pi/6) - 2\operatorname{tg}(\pi/3) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$, а $g(\pi/6+\pi) = -\sin(\pi/2) - \cos(5\pi/6) + \operatorname{ctg}(\pi/6) - 2\operatorname{tg}(\pi/3) = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: Равенство $g(x+\pi)=g(x)$ не выполняется. Следовательно, число $\pi$ не является периодом данной функции. Утверждение в условии задачи неверно, вероятно, в нём содержится опечатка. Для того чтобы $\pi$ было периодом, коэффициенты при $x$ у синуса и косинуса должны быть четными целыми числами.

14.21 а) $y = 2 \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x;$

б) $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x + \sqrt{x}.$

а) $y = 2 \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x$

Для нахождения производной сначала проанализируем функцию. Найдем ее область определения (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда $\sin x \neq 0$, то есть при $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, исходная функция определена, когда оба условия выполняются одновременно, то есть при $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

На всей своей области определения мы можем упростить выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x = 1$. Тогда функция принимает вид: $y = 2 \cdot 1 = 2$.

Итак, мы имеем дело с функцией $y = 2$, которая является константой на своей области определения. Графически это прямая линия, параллельная оси абсцисс, с выколотыми точками при $x = \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Производная константы равна нулю. $y' = (2)' = 0$. Производная существует и равна нулю для всех $x$ из области определения исходной функции.

Ответ: $y' = 0$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x + \sqrt{x}$

Найдем область определения данной функции (ОДЗ). Она определяется пересечением областей определения каждого из слагаемых. 1. Для слагаемого $\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x$ область определения, как мы выяснили в пункте а), это $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. Для слагаемого $\sqrt{x}$ область определения — это $x \ge 0$.

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ для всей функции: $x$ должно быть неотрицательным и не должно совпадать со значениями $\frac{\pi k}{2}$. Поскольку при $x=0$ котангенс не определен ($k=0$), то $x$ должно быть строго больше нуля. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty) \setminus \{ \frac{\pi k}{2} \mid k \in \mathbb{N} \}$.

На этой области определения мы можем упростить функцию, так как $\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x = 1$. Функция принимает вид: $y = 1 + \sqrt{x}$.

Теперь найдем производную этой упрощенной функции, используя правило дифференцирования суммы и формулу для производной степенной функции: $y' = (1 + \sqrt{x})' = (1)' + (\sqrt{x})'$. Производная константы $(1)' = 0$. Производная квадратного корня $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Следовательно, производная функции: $y' = 0 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Эта производная определена для всех $x > 0$, что включает в себя область определения исходной функции.

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ при $x \in (0; +\infty) \setminus \{ \frac{\pi k}{2} \mid k \in \mathbb{N} \}$.