Страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.21 Вычислите:

a) $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right);$

б) $\text{tg}(\arcsin 0,6);$

в) $\cos\left(\arcsin\left(\frac{8}{17}\right)\right);$

г) $\text{ctg}(\arcsin(-0,8)).$

а) $cos(arcsin(-\frac{5}{13}))$
Пусть $α = arcsin(-\frac{5}{13})$. По определению арксинуса, это означает, что $sin(α) = -\frac{5}{13}$ и угол $α$ находится в промежутке $[-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$.
Нам нужно найти $cos(α)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$.
Отсюда $cos^2(α) = 1 - sin^2(α)$.
Подставим значение $sin(α)$:
$cos^2(α) = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Следовательно, $cos(α) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Поскольку угол $α$ лежит в диапазоне $[-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$, его косинус неотрицателен ($cos(α) ≥ 0$). Поэтому мы выбираем положительное значение.
$cos(α) = \frac{12}{13}$.
Таким образом, $cos(arcsin(-\frac{5}{13})) = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\frac{12}{13}$.

б) $tg(arcsin(0,6))$
Пусть $α = arcsin(0,6)$. Представим $0,6$ в виде дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Тогда $α = arcsin(\frac{3}{5})$. По определению, это означает, что $sin(α) = \frac{3}{5}$ и $α \in [-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$. Так как $sin(α) > 0$, то $α \in (0, \frac{π}{2}]$.
Нам нужно найти $tg(α)$. По определению тангенса: $tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)}$.
Найдем $cos(α)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$:
$cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$cos(α) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
Так как $α$ находится в первой четверти, $cos(α)$ положителен. Значит, $cos(α) = \frac{4}{5}$.
Теперь вычислим тангенс:
$tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Ответ: $0,75$.

в) $cos(arcsin(\frac{8}{17}))$
Пусть $α = arcsin(\frac{8}{17})$. Это значит, что $sin(α) = \frac{8}{17}$ и $α \in [-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$. Так как $\frac{8}{17} > 0$, то $α \in (0, \frac{π}{2}]$.
Нам нужно найти $cos(α)$. Используем тождество $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$:
$cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$.
$cos(α) = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$.
Поскольку $α$ лежит в первой четверти, $cos(α)$ положителен.
Следовательно, $cos(α) = \frac{15}{17}$.
Ответ: $\frac{15}{17}$.

г) $ctg(arcsin(-0,8))$
Пусть $α = arcsin(-0,8)$. Представим $-0,8$ в виде дроби: $-0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$.
Тогда $α = arcsin(-\frac{4}{5})$. По определению, $sin(α) = -\frac{4}{5}$ и $α \in [-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$. Так как $sin(α) < 0$, то $α \in [-\frac{π}{2}, 0)$.
Нам нужно найти $ctg(α)$. По определению котангенса: $ctg(α) = \frac{cos(α)}{sin(α)}$.
Сначала найдем $cos(α)$ из тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$:
$cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
$cos(α) = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
Так как $α$ находится в четвертой четверти ($α \in [-\frac{π}{2}, 0)$), его косинус положителен. Значит, $cos(α) = \frac{3}{5}$.
Теперь вычислим котангенс:
$ctg(α) = \frac{cos(α)}{sin(α)} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
Ответ: $-0,75$.

Вычислите:

17.1 а) arctg $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

б) arctg $1$;

в) arctg $\sqrt{3}$;

г) arctg $0$.

а) Арктангенсом числа $a$ ($arctg(a)$) называется такой угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Таким образом, нам нужно найти угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Так как значение угла $\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

б) Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = 1$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Так как значение угла $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в) Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = \sqrt{3}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Так как значение угла $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

г) Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = 0$.
Тангенс равен нулю, когда синус равен нулю, то есть при угле, равном $0$ радиан (в рассматриваемом интервале).
$tg(0) = 0$.
Так как значение угла $0$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg(0) = 0$.
Ответ: $0$

17.2 a) $\operatorname{arctg}(-1)$;

Б) $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$;

В) $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$;

Г) $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

а) Арктангенсом числа $a$, который обозначается как $\text{arctg}(a)$, называется такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Таким образом, $\text{arctg}(a) = \alpha$ эквивалентно двум условиям: $\text{tg}(\alpha) = a$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Для вычисления арктангенса отрицательного числа используется свойство нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Поскольку угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит главному промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то по определению $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляя это значение, получаем:
$\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

б) Для нахождения значения $\text{arctg}(-\sqrt{3})$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
$\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Тогда искомое значение равно:
$\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

в) Для нахождения значения $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
$\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляя найденное значение, получаем:
$\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

г) Для нахождения значения $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
$\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}})$.
Значение $\frac{1}{\sqrt{3}}$ равно значению $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (если избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$).
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Таким образом, получаем:
$\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

17.3 a) $ \text{arcctg } \frac{\sqrt{3}}{3} $;

б) $ \text{arcctg } 1 $;

в) $ \text{arcctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $;

г) $ \text{arcctg } 0 $.

a) Арккотангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arcctg } a$, — это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = a$. Необходимо найти значение $\text{arcctg } \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это значит, что нам нужно найти такой угол $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$, что $\text{ctg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Известно, что $\text{ctg} \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Поскольку угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, он и является искомым значением.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) Необходимо найти значение $\text{arcctg } 1$. Мы ищем угол $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 1$. Котангенс равен единице для угла, у которого косинус и синус равны. В заданном интервале это угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Проверяем: $\text{ctg} \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (0, \pi)$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в) Необходимо найти значение $\text{arcctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Для арккотангенса отрицательного аргумента существует свойство: $\text{arcctg }(-x) = \pi - \text{arcctg } x$. Используя это свойство, получаем: $\text{arcctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \text{arcctg } \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Из пункта а) мы уже знаем, что $\text{arcctg } \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$. Подставляем это значение: $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

г) Необходимо найти значение $\text{arcctg } 0$. Мы ищем угол $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 0$. Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Это выражение равно нулю, когда числитель $\cos \alpha = 0$, а знаменатель $\sin \alpha \neq 0$. В интервале $(0, \pi)$ условию $\cos \alpha = 0$ удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Для этого угла $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \neq 0$. Следовательно, искомое значение найдено.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

17.4 а) $ \operatorname{arcctg}(-1) + \operatorname{arcctg}(-1); $

б) $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}); $

в) $ \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) - \operatorname{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}; $

г) $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}). $

а) Для решения выражения $arcctg(-1) + arctg(-1)$ необходимо найти значения каждой из аркфункций, основываясь на их определениях и свойствах.
Арккотангенс, $y = arcctg(x)$, — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $x$. Для отрицательных аргументов используется свойство: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
Найдем $arcctg(-1)$:
$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$.
Мы знаем, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, поэтому $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Арктангенс, $y = arctg(x)$, — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Арктангенс является нечетной функцией, то есть $arctg(-x) = -arctg(x)$.
Найдем $arctg(-1)$:
$arctg(-1) = -arctg(1)$.
Мы знаем, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, поэтому $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Теперь сложим полученные значения:
$arcctg(-1) + arctg(-1) = \frac{3\pi}{4} + (-\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3})$.
Арксинус, $y = arcsin(x)$, — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Арксинус является нечетной функцией: $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.
Найдем $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$:
$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Так как $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Найдем $arcctg(-\sqrt{3})$, используя свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$.
Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь сложим полученные значения:
$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$-\frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

в) Рассмотрим выражение $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Найдем значение $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$, используя свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Найдем значение $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Так как $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Теперь найдем разность:
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Рассмотрим выражение $arccos(-\frac{1}{2}) - arcctg(-\sqrt{3})$.
Арккосинус, $y = arccos(x)$, — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$. Для него справедливо свойство: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Найдем $arccos(-\frac{1}{2})$:
$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.
Так как $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Значение $arcctg(-\sqrt{3})$ было найдено в пункте б): $arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь найдем разность:
$arccos(-\frac{1}{2}) - arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{4\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.