Страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.25 a) $2 \sin^2 2x - 5 \sin 2x \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0;$

б) $3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0.$

а) $2\sin^2{2x} - 5\sin{2x}\cos{2x} + 2\cos^2{2x} = 0$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Для его решения разделим обе части уравнения на $\cos^2{2x}$.

Предварительно проверим случай, когда $\cos{2x} = 0$. Если $\cos{2x} = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2{2x} + \cos^2{2x} = 1$ следует, что $\sin^2{2x} = 1$. Подставив $\cos{2x} = 0$ в исходное уравнение, получим:$2\sin^2{2x} - 5\sin{2x} \cdot 0 + 2 \cdot 0^2 = 0$$2\sin^2{2x} = 0$$2 \cdot 1 = 0$, что является ложным равенством. Значит, $\cos{2x} \neq 0$, и мы можем делить на $\cos^2{2x}$.

Разделим уравнение на $\cos^2{2x}$:

$\frac{2\sin^2{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{5\sin{2x}\cos{2x}}{\cos^2{2x}} + \frac{2\cos^2{2x}}{\cos^2{2x}} = 0$

$2\tan^2{2x} - 5\tan{2x} + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan{2x}$. Сделаем замену $t = \tan{2x}$:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

Корни:

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Вернемся к замене. Получаем два случая:

1) $\tan{2x} = \frac{1}{2}$

$2x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan{2x} = 2$

$2x = \arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin^2{3x} + 10\sin{3x}\cos{3x} + 3\cos^2{3x} = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos{3x} \neq 0$. Если предположить, что $\cos{3x}=0$, то $\sin^2{3x}=1$. Подставляя в уравнение, получаем:

$3\sin^2{3x} + 10\sin{3x} \cdot 0 + 3 \cdot 0^2 = 0$

$3\sin^2{3x} = 0$

$3 \cdot 1 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos{3x} \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $\cos^2{3x}$.

Делим обе части уравнения на $\cos^2{3x}$:

$\frac{3\sin^2{3x}}{\cos^2{3x}} + \frac{10\sin{3x}\cos{3x}}{\cos^2{3x}} + \frac{3\cos^2{3x}}{\cos^2{3x}} = 0$

$3\tan^2{3x} + 10\tan{3x} + 3 = 0$

Сделаем замену $y = \tan{3x}$:

$3y^2 + 10y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

Корни:

$y_1 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$y_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1) $\tan{3x} = -3$

$3x = \arctan(-3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$3x = -\arctan(3) + \pi n$

$x = -\frac{1}{3}\arctan(3) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan{3x} = -\frac{1}{3}$

$3x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$3x = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$

$x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}\arctan(3) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

18.30 a) $4 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2};$

б) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}.$

а)

Дано уравнение: $4 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами. Правую часть уравнения можно преобразовать с помощью формулы синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{2} $, поэтому $ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x $.

Для левой части используем формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $. При $ \alpha = \frac{x}{2} $ получаем $ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$4 \left( \frac{1 - \cos x}{2} \right) - 3 = \sin x$

$2(1 - \cos x) - 3 = \sin x$

$2 - 2 \cos x - 3 = \sin x$

$-1 - 2 \cos x = \sin x$

Перенесем все тригонометрические функции в одну сторону:

$\sin x + 2 \cos x = -1$

Получилось линейное тригонометрическое уравнение. Решим его методом универсальной тригонометрической подстановки, выразив $ \sin x $ и $ \cos x $ через тангенс половинного угла $ t = \tan \frac{x}{2} $:

$ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} $, $ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} $

Подставим в уравнение:

$ \frac{2t}{1+t^2} + 2 \frac{1-t^2}{1+t^2} = -1 $

Умножим обе части на $ 1+t^2 $ (это выражение всегда положительно):

$2t + 2(1 - t^2) = -(1 + t^2)$

$2t + 2 - 2t^2 = -1 - t^2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

1) $ \tan \frac{x}{2} = 3 $. Отсюда $ \frac{x}{2} = \arctan 3 + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = 2 \arctan 3 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan \frac{x}{2} = -1 $. Отсюда $ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = 2 \arctan 3 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 \sin^2 \frac{x}{3} + 3 \cos^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 3(\sin^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3}) + \cos^2 \frac{x}{3} = 3(1) + \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \cos^2 \frac{x}{3}$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3 + \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$\cos^2 \frac{x}{3} = \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$\cos^2 \frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} = 0$

$\cos \frac{x}{3} \left( \cos \frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $ \cos \frac{x}{3} = 0 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:

$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos \frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} = 0 $.

$ \cos \frac{x}{3} = \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} $.

Заметим, что в этом случае $ \cos \frac{x}{3} $ не может быть равен нулю, так как если $ \cos \frac{x}{3} = 0 $, то и $ \sin \frac{x}{3} $ должен быть равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos \frac{x}{3} \neq 0 $:

$1 = \sqrt{3} \frac{\sin (x/3)}{\cos (x/3)}$

$1 = \sqrt{3} \tan \frac{x}{3}$

$\tan \frac{x}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Решение этого уравнения:

$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{2} + 3\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}; \ x = \frac{\pi}{2} + 3\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

18.26 a) $\sin^2 \frac{x}{2} = 3 \cos^2 \frac{x}{2};$

б) $\sin^2 4x = \cos^2 4x.$

а) $ \sin^2\frac{x}{2} = 3\cos^2\frac{x}{2} $

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $ \cos^2\frac{x}{2} $. Это возможно, так как если предположить, что $ \cos^2\frac{x}{2} = 0 $, то из исходного уравнения следует, что и $ \sin^2\frac{x}{2} = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Следовательно, $ \cos^2\frac{x}{2} \neq 0 $.

После деления получаем:

$ \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} = 3 $

Используя определение тангенса $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, приходим к уравнению:

$ \tan^2\frac{x}{2} = 3 $

Извлекая квадратный корень, получаем два простейших уравнения:

$ \tan\frac{x}{2} = \sqrt{3} \quad $ или $ \quad \tan\frac{x}{2} = -\sqrt{3} $

Эти две серии решений можно объединить в одну общую формулу:

$ \frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для нахождения $ x $ умножим обе части на 2:

$ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin^2 4x = \cos^2 4x $

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить:

$ \cos^2 4x - \sin^2 4x = 0 $

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $. В данном случае $ \alpha = 4x $.

Применив эту формулу, мы упрощаем уравнение:

$ \cos(2 \cdot 4x) = 0 $

$ \cos(8x) = 0 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $ \cos t = 0 $ имеет решения $ t = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Подставив $ t = 8x $, получаем:

$ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Наконец, чтобы найти $ x $, разделим обе части на 8:

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.

18.31 a) $\sin \left(\frac{\pi}{2}+2 x\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=0;$

б) $2 \sin (\pi-3 x)+\cos (2 \pi-3 x)=0.$

а) Дано уравнение: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2x) + \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0$.
Применим формулы приведения для упрощения тригонометрических функций:
1. $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2x$, значит $\sin(\frac{\pi}{2} + 2x) = \cos(2x)$.
2. $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2x$, значит $\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin(2x)$.
Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$\cos(2x) + \sin(2x) = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Для его решения разделим обе части на $\cos(2x)$, предварительно убедившись, что $\cos(2x) \ne 0$. Если предположить, что $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin(2x) = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$. Следовательно, $\cos(2x) \ne 0$, и мы можем разделить на него обе части уравнения:
$\frac{\cos(2x)}{\cos(2x)} + \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0$
$1 + \tan(2x) = 0$
$\tan(2x) = -1$
Теперь найдем решение для $2x$:
$2x = \arctan(-1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение: $2\sin(\pi - 3x) + \cos(2\pi - 3x) = 0$.
Применим формулы приведения:
1. $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 3x$, значит $\sin(\pi - 3x) = \sin(3x)$.
2. $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 3x$, значит $\cos(2\pi - 3x) = \cos(3x)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$2\sin(3x) + \cos(3x) = 0$.
Это также однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Разделим обе части на $\cos(3x)$. Как и в предыдущем пункте, $\cos(3x)$ не может быть равен нулю, так как это привело бы к тому, что и $\sin(3x)$ равен нулю, что невозможно.
$2\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(3x)} = 0$
$2\tan(3x) + 1 = 0$
$2\tan(3x) = -1$
$\tan(3x) = -\frac{1}{2}$
Найдем решение для $3x$:
$3x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получим:
$3x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k$
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

18.27 a) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2;$

б) $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2;$

в) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3;$

г) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3.$

а) $5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 2$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением. Для его решения представим правую часть, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:

$5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0$

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить однородное уравнение второй степени:

$3\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставив в уравнение, получим $ 3 \cdot 1 - 14 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 5 \cdot 0 = 3 $, что не равно $0$. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 14\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 5\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3\tan^2 x - 14\tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $ t = \tan x $. Получим квадратное уравнение:

$3t^2 - 14t - 5 = 0$

Найдем его корни через дискриминант:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$

$t_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$

$t_1 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$t_2 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к замене:

1) $ \tan x = 5 \implies x = \arctan 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \arctan 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2$

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ для правой части:

$3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$3\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0$

Приведем подобные члены:

$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$

Проверим случай $ \cos x = 0 $. Тогда $ \sin^2 x = 1 $, и уравнение примет вид $ 1 - 0 - 0 = 1 \neq 0 $. Значит, $ \cos x \neq 0 $. Разделим уравнение на $ \cos^2 x $:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$

Пусть $ t = \tan x $, тогда получаем квадратное уравнение $ t^2 - t - 2 = 0 $. По теореме Виета, его корни:

$t_1 = 2, \quad t_2 = -1$

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $ \tan x = 2 \implies x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) $2\cos^2 x - \sin x \cos x + 5\sin^2 x = 3$

Заменим $3$ на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$5\sin^2 x - \sin x \cos x + 2\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$

Перенесем все в левую часть и упростим:

$(5-3)\sin^2 x - \sin x \cos x + (2-3)\cos^2 x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Так как $ \cos x = 0 $ не является решением (проверка: $ 2 \cdot 1 - 0 - 0 = 2 \neq 0 $), разделим обе части на $ \cos^2 x $:

$2\tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Пусть $ t = \tan x $. Решим квадратное уравнение $ 2t^2 - t - 1 = 0 $.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Находим $x$:

1) $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\arctan\frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) $4\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 3$

Заменим $3$ на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$

Перенесем все в левую часть и приведем подобные:

$(4-3)\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

Проверка случая $ \cos x = 0 $ дает $ 1 \neq 0 $, поэтому $ \cos x \neq 0 $. Делим на $ \cos^2 x $:

$\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$

Пусть $ t = \tan x $. Решаем уравнение $ t^2 - 2t - 3 = 0 $. По теореме Виета, корни:

$t_1 = 3, \quad t_2 = -1$

Находим $x$:

1) $ \tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

18.32 a) $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-3 \cos \left(\pi-\frac{x}{2}\right)=0$;

б) $\sqrt{3} \sin \left(\pi-\frac{x}{3}\right)+3 \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{3}\right)=0$.

а) Решим уравнение $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) - 3 cos(\pi - \frac{x}{2}) = 0$.

Для упрощения уравнения воспользуемся формулами приведения:

$cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$

$cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$

Подставим $\alpha = \frac{x}{2}$ и преобразуем исходное уравнение:

$sin(\frac{x}{2}) - 3(-cos(\frac{x}{2})) = 0$

$sin(\frac{x}{2}) + 3cos(\frac{x}{2}) = 0$

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $cos(\frac{x}{2})$. Такое деление возможно, так как если предположить, что $cos(\frac{x}{2}) = 0$, то из уравнения следует, что и $sin(\frac{x}{2}) = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, что следует из основного тригонометрического тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выполняем деление:

$\frac{sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})} + \frac{3cos(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})} = 0$

$tg(\frac{x}{2}) + 3 = 0$

$tg(\frac{x}{2}) = -3$

Теперь найдем решение для $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = arctg(-3) + \pi n$, где $n \in Z$.

Используя свойство арктангенса $arctg(-a) = -arctg(a)$, получаем:

$\frac{x}{2} = -arctg(3) + \pi n$, где $n \in Z$.

Наконец, выразим $x$, умножив обе части на 2:

$x = -2arctg(3) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -2arctg(3) + 2\pi n, n \in Z$.

б) Решим уравнение $\sqrt{3} sin(\pi - \frac{x}{3}) + 3 sin(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}) = 0$.

Воспользуемся формулами приведения:

$sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$

$sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$

Подставим $\alpha = \frac{x}{3}$ и преобразуем исходное уравнение:

$\sqrt{3} sin(\frac{x}{3}) + 3 cos(\frac{x}{3}) = 0$

Это также является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на $cos(\frac{x}{3})$. Как и в предыдущем пункте, $cos(\frac{x}{3})$ не может быть равен нулю, так как это привело бы к тому, что и $sin(\frac{x}{3})=0$, что невозможно.

$\frac{\sqrt{3} sin(\frac{x}{3})}{cos(\frac{x}{3})} + \frac{3 cos(\frac{x}{3})}{cos(\frac{x}{3})} = 0$

$\sqrt{3} tg(\frac{x}{3}) + 3 = 0$

$\sqrt{3} tg(\frac{x}{3}) = -3$

$tg(\frac{x}{3}) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$

Найдем решение для $\frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = arctg(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.

Поскольку $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot (-\frac{\pi}{3} + \pi n)$

$x = -\pi + 3\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -\pi + 3\pi n, n \in Z$.

18.28 a) $5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 5;$

б) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4.$

а) $5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 5$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением. Чтобы его решить, представим число 5 в правой части с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$5 = 5 \cdot 1 = 5(\sin^2 x + \cos^2 x) = 5 \sin^2 x + 5 \cos^2 x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 5 \sin^2 x + 5 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(5 \sin^2 x - 5 \sin^2 x) + \sqrt{3} \sin x \cos x + (6 \cos^2 x - 5 \cos^2 x) = 0$

$\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. Проверим, может ли $\cos x$ быть равен нулю. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sqrt{3} \sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\sqrt{3} \tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Решением этого уравнения является серия корней $x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4$

Это также однородное тригонометрическое уравнение. Аналогично предыдущему пункту, заменим число 4 в правой части, используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$4 = 4 \cdot 1 = 4(\sin^2 x + \cos^2 x) = 4 \sin^2 x + 4 \cos^2 x$

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4 \sin^2 x + 4 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону (например, вправо) и приведем подобные:

$0 = (4 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) + 3 \sin x \cos x + (4 \cos^2 x - 4 \cos^2 x)$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \sin x + 3 \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $2 \sin x + 3 \cos x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. Как и в предыдущем случае, $\cos x \neq 0$ (иначе и $\sin x = 0$, что невозможно). Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{2 \sin x}{\cos x} + \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0$

$2 \tan x + 3 = 0$

$2 \tan x = -3$

$\tan x = -\frac{3}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней $x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

18.33 а) $\sqrt{16 - x^2} \cdot \sin x = 0$

б) $\sqrt{7x - x^2}(2 \cos x - 1) = 0$

а) $\sqrt{16 - x^2} \cdot \sin x = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$16 - x^2 \ge 0$
$(4 - x)(4 + x) \ge 0$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-4; 4]$.

Теперь решим уравнение. Оно равносильно совокупности двух систем:

1) $\sqrt{16 - x^2} = 0$
$16 - x^2 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

2) $\sin x = 0$ при условии, что $x \in [-4; 4]$.
Общее решение уравнения $\sin x = 0$ имеет вид $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения $n$, при которых корни принадлежат отрезку $[-4; 4]$:
$-4 \le \pi n \le 4$
$-\frac{4}{\pi} \le n \le \frac{4}{\pi}$
Так как $\pi \approx 3.14$, то $-\frac{4}{3.14} \approx -1.27$ и $\frac{4}{3.14} \approx 1.27$.
Следовательно, целые значения $n$, удовлетворяющие неравенству $-1.27 \le n \le 1.27$, это $n = -1, 0, 1$.
При $n = -1$, $x_3 = -\pi$.
При $n = 0$, $x_4 = 0$.
При $n = 1$, $x_5 = \pi$.
Все эти корни входят в ОДЗ.

Объединяя все найденные корни, получаем окончательное решение.
Ответ: $\{-4; -\pi; 0; \pi; 4\}$.

б) $\sqrt{7x - x^2}(2\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$7x - x^2 \ge 0$
$x(7 - x) \ge 0$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [0; 7]$.

Уравнение распадается на два случая:

1) $\sqrt{7x - x^2} = 0$
$7x - x^2 = 0$
$x(7 - x) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 7$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

2) $2\cos x - 1 = 0$ при условии, что $x \in [0; 7]$.
$2\cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 7]$.
Рассмотрим серию корней $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Так как $0 \le \frac{\pi}{3} \le 7$ (примерно $1.05$), этот корень подходит.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Так как $7\pi \approx 21.98$, то $\frac{7\pi}{3} \approx 7.33$, что больше 7. Этот корень не подходит.
Рассмотрим серию корней $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$, что меньше 0. Корень не подходит.
При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Так как $5\pi \approx 15.7$, то $\frac{5\pi}{3} \approx 5.24$, что принадлежит отрезку $[0; 7]$. Этот корень подходит.
При $n=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$, что очевидно больше 7. Корень не подходит.
Итак, из этого случая мы получили два корня: $x_3 = \frac{\pi}{3}$ и $x_4 = \frac{5\pi}{3}$.

Объединяем все найденные решения.
Ответ: $\{0; \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}; 7\}$.

18.24 a) $\sin 2x = \cos 2x$;

б) $\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x$;

В) $\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}$;

Г) $\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x$.

а) Исходное уравнение: $\sin(2x) = \cos(2x)$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos(2x)$. Это возможно, так как если бы $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(2x) = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, поскольку $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$. Следовательно, $\cos(2x) \neq 0$.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$

Используя определение тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем:

$\tan(2x) = 1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$2x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, имеем:

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3} \sin(3x) = \cos(3x)$.

Разделим обе части уравнения на $\cos(3x)$. Аналогично предыдущему пункту, $\cos(3x) \neq 0$, так как в противном случае и $\sin(3x)$ должен был бы быть равен нулю, что невозможно.

$\sqrt{3} \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} = 1$

$\sqrt{3} \tan(3x) = 1$

$\tan(3x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение для этого уравнения:

$3x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$3x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{x}{2}\right)$.

Разделим обе части уравнения на $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$, так как $\cos\left(\frac{x}{2}\right) \neq 0$.

$\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \sqrt{3}$

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3}$

Общее решение уравнения:

$\frac{x}{2} = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, имеем:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{2} \sin(17x) = \sqrt{6} \cos(17x)$.

Разделим обе части уравнения на $\cos(17x)$, так как $\cos(17x) \neq 0$.

$\sqrt{2} \frac{\sin(17x)}{\cos(17x)} = \sqrt{6}$

$\sqrt{2} \tan(17x) = \sqrt{6}$

$\tan(17x) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$

Общее решение уравнения:

$17x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$17x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Разделим обе части на 17, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

18.29 а) $3 \sin^2 2x - 2 = \sin 2x \cos 2x;$

б) $2 \sin^2 4x - 4 = 3 \sin 4x \cos 4x - 4 \cos^2 4x.$

а)

Дано уравнение $3\sin^2{2x} - 2 = \sin{2x} \cos{2x}$.

Это тригонометрическое уравнение. Для его решения приведем его к однородному виду. Для этого заменим число -2, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$.

$3\sin^2{2x} - 2(\sin^2{2x} + \cos^2{2x}) = \sin{2x} \cos{2x}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, перенеся все в левую часть:

$3\sin^2{2x} - 2\sin^2{2x} - 2\cos^2{2x} - \sin{2x} \cos{2x} = 0$

$\sin^2{2x} - \sin{2x} \cos{2x} - 2\cos^2{2x} = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $\cos{2x}$ быть равен нулю. Если $\cos{2x}=0$, то из уравнения следует, что $\sin^2{2x}=0$, то есть $\sin{2x}=0$. Однако $\sin{2x}$ и $\cos{2x}$ не могут быть одновременно равны нулю, так как $\sin^2{2x} + \cos^2{2x} = 1$. Следовательно, $\cos{2x} \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2{2x}$:

$\frac{\sin^2{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{\sin{2x} \cos{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{2\cos^2{2x}}{\cos^2{2x}} = 0$

$\tan^2{2x} - \tan{2x} - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tan{2x}$. Уравнение примет вид:

$t^2 - t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\tan{2x} = 2$

$2x = \arctan{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\arctan{2}}{2} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan{2x} = -1$

$2x = \arctan(-1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\arctan{2}}{2} + \frac{\pi n}{2}$, $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $2\sin^2{4x} - 4 = 3\sin{4x} \cos{4x} - 4\cos^2{4x}$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2\sin^2{4x} - 3\sin{4x} \cos{4x} + 4\cos^2{4x} - 4 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ для замены числа -4:

$2\sin^2{4x} - 3\sin{4x} \cos{4x} + 4\cos^2{4x} - 4(\sin^2{4x} + \cos^2{4x}) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sin^2{4x} - 3\sin{4x} \cos{4x} + 4\cos^2{4x} - 4\sin^2{4x} - 4\cos^2{4x} = 0$

$-2\sin^2{4x} - 3\sin{4x} \cos{4x} = 0$

Вынесем общий множитель $-\sin{4x}$ за скобки:

$-\sin{4x}(2\sin{4x} + 3\cos{4x}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $\sin{4x} = 0$

$4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\sin{4x} + 3\cos{4x} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Как и в пункте а), можно показать, что $\cos{4x} \neq 0$, так как если $\cos{4x} = 0$, то и $\sin{4x}$ должен быть равен нулю, что невозможно. Разделим обе части на $\cos{4x}$:

$2\frac{\sin{4x}}{\cos{4x}} + 3\frac{\cos{4x}}{\cos{4x}} = 0$

$2\tan{4x} + 3 = 0$

$2\tan{4x} = -3$

$\tan{4x} = -\frac{3}{2}$

$4x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$4x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$

$x = -\frac{\arctan(3/2)}{4} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}$, $x = -\frac{\arctan(3/2)}{4} + \frac{\pi n}{4}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.