Страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.45 a) $ \sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 \left( \frac{3\pi}{2} + 2x \right) + 2 \cos x \operatorname{tg} x = 1; $

б) $ 2 \cos^2 x - \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 0. $

a) $\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 (\frac{3\pi}{2} + 2x) + 2 \cos x \tg x = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит $\tg x$, который определен, когда $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Упростим уравнение, используя тригонометрические формулы:

1. По формуле приведения: $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha$. Тогда $\cos^2(\frac{3\pi}{2} + 2x) = (\sin 2x)^2 = \sin^2 2x$.

2. По определению тангенса: $2 \cos x \tg x = 2 \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$, что учтено в ОДЗ).

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sin^2 x + \cos^2 2x + \sin^2 2x + 2 \sin x = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. Для $\alpha = 2x$ получим $\cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$.

Уравнение принимает вид:

$\sin^2 x + 1 + 2 \sin x = 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$\sin^2 x + 2 \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + 2) = 0$

Это равенство выполняется, если:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + 2 = 0 \implies \sin x = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни $x = \pi n$ области допустимых значений $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$.

При $x = \pi n$, $\cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$. Следовательно, найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 x - \sin (x - \frac{\pi}{2}) + \tg x \tg (x + \frac{\pi}{2}) = 0$

Определим ОДЗ. Уравнение содержит $\tg x$ и $\tg (x + \frac{\pi}{2})$.

1. $\tg x$ определен при $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\tg (x + \frac{\pi}{2})$ определен при $\cos (x + \frac{\pi}{2}) \neq 0$. По формуле приведения $\cos (x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x$. Значит, $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Упростим уравнение, используя формулы приведения:

1. $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - x)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - x) = -\cos x$.

2. $\tg(x + \frac{\pi}{2}) = -\ctg x$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$2 \cos^2 x - (-\cos x) + \tg x (-\ctg x) = 0$

$2 \cos^2 x + \cos x - \tg x \ctg x = 0$

Поскольку в ОДЗ $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то $\tg x \ctg x = 1$.

Уравнение принимает вид:

$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$.

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$.

1) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ ($x \neq \frac{\pi k}{2}$).

Серия корней $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.

Серия корней $x = \pi + 2\pi n$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этих значениях $\sin x = 0$, что недопустимо.

Следовательно, решением является только первая серия корней.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

18.41 a) $2 \sin^2 (\pi + x) - 5 \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 2 = 0;$

б) $2 \cos^2 x + 5 \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 4 = 0;$

в) $2 \cos^2 x + \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 1 = 0;$

г) $5 - 5 \sin 3(\pi - x) = \cos^2(\pi - 3x).$

а) $2 \sin^2(\pi + x) - 5 \cos(\frac{\pi}{2} + x) + 2 = 0$

Сначала упростим тригонометрические выражения, используя формулы приведения:

$\sin(\pi + x) = -\sin(x)$, следовательно, $\sin^2(\pi + x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$.

$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$2 \sin^2(x) - 5(-\sin(x)) + 2 = 0$

$2 \sin^2(x) + 5 \sin(x) + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(x)$, где $t \in [-1, 1]$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \in [-1, 1]$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.

Вернемся к исходной переменной:

$\sin(x) = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 x + 5 \cos(\frac{\pi}{2} - x) - 4 = 0$

Используем формулу приведения: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$.

Подставляем в уравнение:

$2 \cos^2 x + 5 \sin x - 4 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:

$2(1 - \sin^2 x) + 5 \sin x - 4 = 0$

$2 - 2 \sin^2 x + 5 \sin x - 4 = 0$

$-2 \sin^2 x + 5 \sin x - 2 = 0$

Умножим обе части на -1:

$2 \sin^2 x - 5 \sin x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin(x)$, где $t \in [-1, 1]$:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Корень $t_2 = 2$ не входит в область значений синуса $[-1, 1]$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ подходит.

Выполняем обратную замену:

$\sin(x) = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \cos^2 x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) - 1 = 0$

Применим формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$.

Уравнение принимает вид:

$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos(x)$, где $t \in [-1, 1]$:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня, $t_1 = -1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$, принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Рассмотрим два случая:

1) $\cos(x) = -1$

$x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(x) = \frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $5 - 5 \sin 3(\pi - x) = \cos^2(\pi - 3x)$

Упростим аргументы тригонометрических функций: $3(\pi-x)=3\pi-3x$.

Используем формулы приведения и периодичность:

$\sin(3\pi - 3x) = \sin(\pi - 3x) = \sin(3x)$.

$\cos(\pi - 3x) = -\cos(3x)$, тогда $\cos^2(\pi - 3x) = (-\cos(3x))^2 = \cos^2(3x)$.

Подставляем в уравнение:

$5 - 5 \sin(3x) = \cos^2(3x)$

Используем тождество $\cos^2(3x) = 1 - \sin^2(3x)$:

$5 - 5 \sin(3x) = 1 - \sin^2(3x)$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2(3x) - 5 \sin(3x) + 5 - 1 = 0$

$\sin^2(3x) - 5 \sin(3x) + 4 = 0$

Пусть $t = \sin(3x)$, где $t \in [-1, 1]$:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Корень $t_2 = 4$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Возвращаемся к замене:

$\sin(3x) = 1$

Это частный случай, решения которого:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

18.42 a) $2 \operatorname{tg}^2 2x + 3 \operatorname{tg}(\pi + 2x) = 0;$

б) $\operatorname{tg}^2 3x - 6 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) = 0.$

а) $2 \operatorname{tg}^2 2x + 3 \operatorname{tg}(\pi + 2x) = 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $\operatorname{tg}(\alpha)$ определена, когда ее аргумент $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении это означает, что $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу приведения для тангенса, согласно которой $\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$, так как период тангенса равен $\pi$.

Тогда уравнение принимает вид:

$2 \operatorname{tg}^2 2x + 3 \operatorname{tg}(2x) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \operatorname{tg}(2x)$. Уравнение превращается в квадратное:

$2y^2 + 3y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(2y + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения для $y$:

1) $y = 0$

2) $2y + 3 = 0 \implies y = -\frac{3}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для каждого случая.

Случай 1: $\operatorname{tg}(2x) = 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\frac{\pi k}{2}$ никогда не равно $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Случай 2: $\operatorname{tg}(2x) = -\frac{3}{2}$.

Решение этого уравнения:

$2x = \operatorname{arctg}(-\frac{3}{2}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем:

$2x = -\operatorname{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi m$

$x = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg}(\frac{3}{2}) + \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $x = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg}(\frac{3}{2}) + \frac{\pi m}{2}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

б) $\operatorname{tg}^2 3x - 6 \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - 3x) = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg}(3x)$ определена, если $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$. Функция $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - 3x)$ определена, если $\frac{\pi}{2} - 3x \neq \pi n$, т.е. $3x \neq \frac{\pi}{2} - \pi n$. Оба условия эквивалентны, поэтому ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$.

Тогда уравнение принимает вид:

$\operatorname{tg}^2 3x - 6 \operatorname{tg}(3x) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = \operatorname{tg}(3x)$. Уравнение превращается в квадратное:

$z^2 - 6z = 0$

Вынесем $z$ за скобки:

$z(z - 6) = 0$

Отсюда получаем два возможных решения для $z$:

1) $z = 0$

2) $z - 6 = 0 \implies z = 6$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для каждого случая.

Случай 1: $\operatorname{tg}(3x) = 0$.

Решение этого уравнения:

$3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $\operatorname{tg}(3x) = 6$.

Решение этого уравнения:

$3x = \operatorname{arctg}(6) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}(6) + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}$, $x = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}(6) + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

18.43 a) $3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} - 2 \operatorname{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) - 1 = 0;

б) $3 \operatorname{tg}^2 4x - 2 \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = 1;

в) $\operatorname{tg} (\pi + x) + 2 \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0;

г) $2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 5 = 0.$

а) $3 \tg^2 \frac{x}{2} - 2 \ctg(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}) - 1 = 0$

Используем формулу приведения для котангенса: $\ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tg(\alpha)$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $\ctg(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}) = -\tg(\frac{x}{2})$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 \tg^2 \frac{x}{2} - 2(-\tg \frac{x}{2}) - 1 = 0$

$3 \tg^2 \frac{x}{2} + 2 \tg \frac{x}{2} - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tg \frac{x}{2}$. Уравнение примет вид квадратного:

$3t^2 + 2t - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной:

1) $\tg \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = \arctg(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = 2 \arctg(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\tg \frac{x}{2} = -1$

$\frac{x}{2} = \arctg(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями $\cos \frac{x}{2} \neq 0$ и $\sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}) \neq 0$, что эквивалентно $\cos \frac{x}{2} \neq 0$. Найденные решения удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $x = 2 \arctg(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \tg^2 4x - 2 \ctg(\frac{\pi}{2} - 4x) = 1$

Используем формулу приведения: $\ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tg(\alpha)$.

Здесь $\alpha = 4x$, значит $\ctg(\frac{\pi}{2} - 4x) = \tg(4x)$.

Подставим в уравнение:

$3 \tg^2 4x - 2 \tg 4x = 1$

$3 \tg^2 4x - 2 \tg 4x - 1 = 0$

Пусть $t = \tg 4x$. Получаем квадратное уравнение:

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Найдем корни. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Возвращаемся к замене:

1) $\tg 4x = 1$

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\tg 4x = -\frac{1}{3}$

$4x = \arctg(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$4x = -\arctg(\frac{1}{3}) + \pi n$

$x = -\frac{1}{4} \arctg(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

ОДЗ: $\cos 4x \neq 0$. Найденные решения удовлетворяют этому условию.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{1}{4} \arctg(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\tg(\pi + x) + 2 \tg(\frac{\pi}{2} + x) + 1 = 0$

Применим формулы приведения:

$\tg(\pi + x) = \tg x$

$\tg(\frac{\pi}{2} + x) = -\ctg x$

Подставим их в уравнение:

$\tg x + 2(-\ctg x) + 1 = 0$

$\tg x - 2\ctg x + 1 = 0$

Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, заменим котангенс:

$\tg x - \frac{2}{\tg x} + 1 = 0$

ОДЗ: $\tg x \neq 0$, $\cos x \neq 0$, $\sin x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = \tg x$. Умножим уравнение на $t$ ($t \neq 0$):

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Вернемся к замене:

1) $\tg x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tg x = -2$

$x = \arctg(-2) + \pi k = -\arctg 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctg 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \ctg x - 3 \ctg(\frac{\pi}{2} - x) + 5 = 0$

Используем формулу приведения $\ctg(\frac{\pi}{2} - x) = \tg x$.

Уравнение принимает вид:

$2 \ctg x - 3 \tg x + 5 = 0$

Заменим $\tg x = \frac{1}{\ctg x}$:

$2 \ctg x - \frac{3}{\ctg x} + 5 = 0$

ОДЗ: $\ctg x \neq 0$, $\sin x \neq 0$, $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = \ctg x$. Умножим уравнение на $t$ ($t \neq 0$):

$2t^2 + 5t - 3 = 0$

Найдем корни. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

Вернемся к замене:

1) $\ctg x = \frac{1}{2}$

$x = \arcctg(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\ctg x = -3$

$x = \arcctg(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \arcctg(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arcctg(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

18.44 a) $|\cos x| = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x;$

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 |\sin x|.$

а) $| \cos x | = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

Для решения данного уравнения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. Это условие выполняется для углов $x$ в I и IV координатных четвертях ($x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$).

В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и уравнение принимает вид:

$\cos x = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

Перенесем члены уравнения:

$\sqrt{3} \sin x = 2 \cos x - \cos x$

$\sqrt{3} \sin x = \cos x$

Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} = 1$

$\sqrt{3} \tan x = 1$

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение для тангенса: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отобрать те корни, которые удовлетворяют условию $\cos x \ge 0$.

• При четных $n$ (т.е. $n = 2k, k \in \mathbb{Z}$), получаем $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Эти углы находятся в I четверти, где $\cos x > 0$. Эти решения подходят.
• При нечетных $n$ (т.е. $n = 2k+1, k \in \mathbb{Z}$), получаем $x = \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$. Эти углы находятся в III четверти, где $\cos x < 0$. Эти решения не удовлетворяют условию случая.

Таким образом, из первого случая получаем серию решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x < 0$. Это условие выполняется для углов $x$ во II и III координатных четвертях ($x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$).

В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и уравнение принимает вид:

$-\cos x = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

$\sqrt{3} \sin x = 3 \cos x$

Разделив обе части на $\cos x \neq 0$, получаем:

$\sqrt{3} \tan x = 3$

$\tan x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $\cos x < 0$.

• При четных $n=2k$, получаем $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Эти углы находятся в I четверти, где $\cos x > 0$. Не подходят.
• При нечетных $n=2k+1$, получаем $x = \frac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$. Эти углы находятся в III четверти, где $\cos x < 0$. Эти решения подходят.

Из второго случая получаем серию решений: $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2| \sin x |$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin x \ge 0$. (I и II координатные четверти, $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$).

В этом случае $|\sin x| = \sin x$. Уравнение становится:

$\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 \sin x$

$-\sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим на $\cos x \neq 0$:

$-\tan x = \sqrt{3}$

$\tan x = -\sqrt{3}$

Общее решение: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, для которых $\sin x \ge 0$.

• При нечетных $n=2k+1$, получаем $x = -\frac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. Углы во II четверти, где $\sin x > 0$. Решения подходят.
• При четных $n=2k$, получаем $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Углы в IV четверти, где $\sin x < 0$. Не подходят.

Из первого случая получаем серию решений: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x < 0$. (III и IV координатные четверти, $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$).

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение становится:

$\sin x = \sqrt{3} \cos x - 2 \sin x$

$3 \sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим на $\cos x \neq 0$:

$3 \tan x = \sqrt{3}$

$\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, для которых $\sin x < 0$.

• При нечетных $n=2k+1$, получаем $x = \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$. Углы в III четверти, где $\sin x < 0$. Решения подходят.
• При четных $n=2k$, получаем $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Углы в I четверти, где $\sin x > 0$. Не подходят.

Из второго случая получаем серию решений: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.