Страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

18.10 а) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$;

б) $\sin x + \cos x = 0$;

В) $\sin x - 3 \cos x = 0$;

Г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$.

а) Дано уравнение $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения разделим обе части на $\cos x$. Это возможно, так как если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.
Делим уравнение на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0$
Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:
$\tan x + \sqrt{3} = 0$
$\tan x = -\sqrt{3}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, то
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

б) Дано уравнение $\sin x + \cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части уравнения на $\cos x$, так как $\cos x \neq 0$ (иначе и $\sin x$ должен был бы быть равен нулю, что невозможно).
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + 1 = 0$
$\tan x = -1$
Общее решение этого уравнения:
$x = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$, то
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

в) Дано уравнение $\sin x - 3 \cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $\cos x$, убедившись, что $\cos x \neq 0$ (если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что невозможно).
$\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x - 3 = 0$
$\tan x = 3$
Общее решение этого уравнения записывается через арктангенс:
$x = \arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

г) Дано уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $\cos x$ (так как $\cos x \neq 0$).
$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\sqrt{3} \tan x + 1 = 0$
$\sqrt{3} \tan x = -1$
$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$, то
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

18.15 a) $\operatorname{sin} 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[0; 2\pi]$

б) $\operatorname{cos} 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $[-\pi; \pi]$

в) $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $[-3\pi; 3\pi]$

г) $\operatorname{ctg} 4x = -1$, $[0; \pi]$

а) $ \sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, на промежутке $ [0; 2\pi] $.

Сначала найдем общее решение уравнения. Обозначим $ t = 3x $. Уравнение примет вид $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решения этого уравнения записываются в виде совокупности двух серий:

$ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z $

$ t = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z $

Теперь вернемся к переменной $ x $:

1) $ 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $

2) $ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; 2\pi] $, подставляя различные целые значения $ n $.

Для первой серии $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $:

• При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} $. $ 0 \le \frac{3\pi}{4} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 16\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{17\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 3 $: $ x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12} $. $ \frac{25\pi}{12} > 2\pi $ (не подходит).

Для второй серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $:

• При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} $. $ 0 \le \frac{\pi}{4} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{11\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + 16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{19\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 3 $: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $. $ \frac{9\pi}{4} > 2\pi $ (не подходит).

Ответ: $ \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12} $

б) $ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $, на промежутке $ [-\pi; \pi] $.

Найдем общее решение. Обозначим $ t = 3x $. Уравнение примет вид $ \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решения этого уравнения: $ t = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in Z $.

Возвращаемся к переменной $ x $: $ 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $.

Рассмотрим две серии решений и отберем корни из промежутка $ [-\pi; \pi] $.

Для серии $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:

• При $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 12\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18} $. $ -\pi \le -\frac{11\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{18} $. $ -\pi \le \frac{\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18} $. $ -\pi \le \frac{13\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{25\pi}{18} > \pi $ (не подходит).

Для серии $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:

• При $ n = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi - 12\pi}{18} = -\frac{13\pi}{18} $. $ -\pi \le -\frac{13\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 0 $: $ x = -\frac{\pi}{18} $. $ -\pi \le -\frac{\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18} $. $ -\pi \le \frac{11\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 2 $: $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{23\pi}{18} > \pi $ (не подходит).

Ответ: $ -\frac{13\pi}{18}, -\frac{11\pi}{18}, -\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18} $

в) $ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, на промежутке $ [-3\pi; 3\pi] $.

Найдем общее решение. Обозначим $ t = \frac{x}{2} $. Уравнение примет вид $ \operatorname{tg} t = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Решение этого уравнения: $ t = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in Z $.

Возвращаемся к переменной $ x $: $ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $ [-3\pi; 3\pi] $.

Решим неравенство $ -3\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi $. Разделим все части на $ \pi $:

$ -3 \le \frac{1}{3} + 2n \le 3 $

$ -3 - \frac{1}{3} \le 2n \le 3 - \frac{1}{3} $

$ -\frac{10}{3} \le 2n \le \frac{8}{3} $

$ -\frac{5}{3} \le n \le \frac{4}{3} $

Так как $ n $ - целое число, то $ n \in \{-1, 0, 1\} $.

• При $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} $.
• При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{3} $.
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} $

г) $ \operatorname{ctg} 4x = -1 $, на промежутке $ [0; \pi] $.

Найдем общее решение. Обозначим $ t = 4x $. Уравнение примет вид $ \operatorname{ctg} t = -1 $.

Решение этого уравнения: $ t = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $.

Возвращаемся к переменной $ x $: $ 4x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} $.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; \pi] $.

Решим неравенство $ 0 \le \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} \le \pi $. Разделим все части на $ \pi $:

$ 0 \le \frac{3}{16} + \frac{n}{4} \le 1 $

$ -\frac{3}{16} \le \frac{n}{4} \le 1 - \frac{3}{16} $

$ -\frac{3}{16} \le \frac{n}{4} \le \frac{13}{16} $

$ -\frac{3}{4} \le n \le \frac{13}{4} $

$ -0.75 \le n \le 3.25 $

Так как $ n $ - целое число, то $ n \in \{0, 1, 2, 3\} $.

• При $ n = 0 $: $ x = \frac{3\pi}{16} $.
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi + 4\pi}{16} = \frac{7\pi}{16} $.
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi + 8\pi}{16} = \frac{11\pi}{16} $.
• При $ n = 3 $: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi + 12\pi}{16} = \frac{15\pi}{16} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{16}, \frac{7\pi}{16}, \frac{11\pi}{16}, \frac{15\pi}{16} $

18.11 а) $\sin^2 x + \sin x \cos x = 0;$

Б) $\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;$

В) $\sin^2 x = 3 \sin x \cos x;$

Г) $\sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cos x.$

а) $\sin^2 x + \sin x \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sin x = -\cos x$.

Заметим, что в этом уравнении $\cos x \neq 0$, так как если бы $\cos x = 0$, то $\sin x$ должен был бы быть равен $\pm 1$, и равенство $\pm 1 = 0$ не выполнялось бы. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sqrt{3} \sin x = -\cos x$.

Аналогично предыдущему пункту, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$\sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2 x = 3 \sin x \cos x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\sin^2 x - 3 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x - 3 \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - 3 \cos x = 0$

Перенесем $3 \cos x$ в правую часть: $\sin x = 3 \cos x$.

Заметим, что $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = 3$

$\tan x = 3$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cos x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\sqrt{3} \cos^2 x - \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3} \cos x - \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 0$

Перенесем $\sin x$ в правую часть: $\sqrt{3} \cos x = \sin x$.

Заметим, что $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$\sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\tan x = \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

18.16 a) $ \sin x = -\frac{1}{2} $, $[-4; 4];$

б) $ \cos x = 1 $, $[-6; 16].$

а) Требуется решить уравнение $ \sin x = -\frac{1}{2} $ и найти корни, принадлежащие отрезку $ [-4; 4] $.

Сначала найдем общее решение уравнения. Общее решение для $ \sin x = a $ можно записать в виде двух серий: $ x = \arcsin(a) + 2\pi k $ и $ x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = -\frac{1}{2} $, и $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

Подставив это значение, получаем две серии решений:
1) $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $
2) $ x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $

Теперь произведем отбор корней, принадлежащих отрезку $ [-4; 4] $. Для этого будем перебирать целые значения $ k $ и вычислять $ x $. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.

Для первой серии $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $:
При $ k = 0 $: $ x = -\frac{\pi}{6} \approx -0,52 $. Так как $ -4 \le -0,52 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ k = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx 5,76 $. $ 5,76 > 4 $, корень не подходит.
При $ k = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6,81 $. $ -6,81 < -4 $, корень не подходит.

Для второй серии $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $:
При $ k = 0 $: $ x = \frac{7\pi}{6} \approx 3,67 $. Так как $ -4 \le 3,67 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ k = -1 $: $ x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \approx -2,62 $. Так как $ -4 \le -2,62 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ k = 1 $: $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9,95 $. $ 9,95 > 4 $, корень не подходит.

Таким образом, на заданном промежутке находятся три корня.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6} $.

б) Требуется решить уравнение $ \cos x = 1 $ и найти корни, принадлежащие отрезку $ [-6; 16] $.

Общее решение уравнения $ \cos x = 1 $ имеет вид $ x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти корни, принадлежащие отрезку $ [-6; 16] $, решим двойное неравенство относительно $ k $:
$ -6 \le 2\pi k \le 16 $

Разделим все части неравенства на $ 2\pi $:
$ \frac{-6}{2\pi} \le k \le \frac{16}{2\pi} $
$ -\frac{3}{\pi} \le k \le \frac{8}{\pi} $

Оценим границы, используя приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $:
$ -\frac{3}{3,14} \approx -0,955 $
$ \frac{8}{3,14} \approx 2,547 $

Следовательно, мы ищем целые значения $ k $ в промежутке $ [-0,955; 2,547] $. Этому условию удовлетворяют целые числа $ k=0, k=1, k=2 $.

Найдем соответствующие значения $ x $ для каждого $ k $:
При $ k = 0 $: $ x = 2\pi \cdot 0 = 0 $.
При $ k = 1 $: $ x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi $.
При $ k = 2 $: $ x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi $.

Проверим, что все найденные значения ($ 0 $; $ 2\pi \approx 6,28 $; $ 4\pi \approx 12,57 $) принадлежат отрезку $ [-6; 16] $, что действительно так.

Ответ: $ 0; 2\pi; 4\pi $.

18.12 a) $\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0;$

в) $\sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0;$

г) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0.$

а) $\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Сначала проверим, является ли $\cos x = 0$ решением уравнения. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим: $1^2 + 2\sin x \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 = 1$, что не равно 0. Значит, $\cos x \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ :
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tan x$. Уравнение примет вид:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = -2$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos x \ne 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем: $1 - 0 + 0 = 1 \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ :
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0$
Пусть $t = \tan x$. Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 4t + 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 4$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 3$. Корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Возвращаемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение принимает вид: $1 + 0 - 0 = 1 \ne 0$. Следовательно, $\cos x \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ :
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x + \tan x - 2 = 0$
Пусть $t = \tan x$.
$t^2 + t - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Возвращаемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -2 \implies x = \arctan(-2) + \pi k = -\arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Случай $\cos x = 0$ не является решением, так как при подстановке получим $3(1) + 0 - 0 = 3 \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$, так как $\cos x \ne 0$ :
$3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$3\tan^2 x + \tan x - 2 = 0$
Пусть $t = \tan x$.
$3t^2 + t - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{6}$
$t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
Возвращаемся к замене:
1) $\tan x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -1 \implies x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

18.17 a) $ \sin \frac{x}{2} = 0 $, $ [-12; 18] $;

б) $ \cos 3x = - \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ [1; 7] $.

а) Сначала решим уравнение $\sin\frac{x}{2} = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решения имеют вид:
$\frac{x}{2} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда находим $x$:
$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо отобрать корни, которые принадлежат заданному отрезку $[-12; 18]$. Для этого решим двойное неравенство:
$-12 \le 2\pi n \le 18$
Разделим все части неравенства на $2\pi$:
$\frac{-12}{2\pi} \le n \le \frac{18}{2\pi}$
$\frac{-6}{\pi} \le n \le \frac{9}{\pi}$
Чтобы найти целые значения $n$, воспользуемся приближенным значением $\pi \approx 3,14$:
$\frac{-6}{3,14} \approx -1,91$
$\frac{9}{3,14} \approx 2,87$
Таким образом, $-1,91 \le n \le 2,87$.
Этому условию удовлетворяют следующие целые значения $n$: $-1, 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие им значения $x$:
Если $n = -1$, то $x = 2\pi(-1) = -2\pi$.
Если $n = 0$, то $x = 2\pi(0) = 0$.
Если $n = 1$, то $x = 2\pi(1) = 2\pi$.
Если $n = 2$, то $x = 2\pi(2) = 4\pi$.
Все найденные значения принадлежат отрезку $[-12; 18]$.
Ответ: $-2\pi; 0; 2\pi; 4\pi$.

б) Решим уравнение $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение этого уравнения записывается по формуле:
$3x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:
$3x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
Разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это дает две серии решений. Найдем корни из каждой серии, принадлежащие отрезку $[1; 7]$.

1-я серия: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$.
Подставим это выражение в двойное неравенство $1 \le x \le 7$:
$1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \le 7$
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей:
$1 - \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi k}{3} \le 7 - \frac{\pi}{4}$
Умножим все части на $\frac{3}{2\pi}$:
$\frac{3}{2\pi}(1 - \frac{\pi}{4}) \le k \le \frac{3}{2\pi}(7 - \frac{\pi}{4})$
$\frac{3}{2\pi} - \frac{3}{8} \le k \le \frac{21}{2\pi} - \frac{3}{8}$
Используя $\pi \approx 3,14$:
$\frac{3}{6,28} - 0,375 \le k \le \frac{21}{6,28} - 0,375$
$0,478 - 0,375 \le k \le 3,344 - 0,375$
$0,103 \le k \le 2,969$
Целые значения $k$ в этом промежутке: $1, 2$.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi+8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$.
При $k=2$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi+16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$.

2-я серия: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$.
Подставим в неравенство $1 \le x \le 7$:
$1 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \le 7$
Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям:
$1 + \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi k}{3} \le 7 + \frac{\pi}{4}$
Умножим на $\frac{3}{2\pi}$:
$\frac{3}{2\pi}(1 + \frac{\pi}{4}) \le k \le \frac{3}{2\pi}(7 + \frac{\pi}{4})$
$\frac{3}{2\pi} + \frac{3}{8} \le k \le \frac{21}{2\pi} + \frac{3}{8}$
Используя $\pi \approx 3,14$:
$0,478 + 0,375 \le k \le 3,344 + 0,375$
$0,853 \le k \le 3,719$
Целые значения $k$ в этом промежутке: $1, 2, 3$.
При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-3\pi+8\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.
При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-3\pi+16\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.
При $k=3$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{- \pi + 8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
Объединив решения из обеих серий, получим итоговый набор корней.
Ответ: $\frac{5\pi}{12}; \frac{11\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}; \frac{19\pi}{12}; \frac{7\pi}{4}$.

18.13 Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

а) $(\sin x - \frac{1}{2})(\sin x + 1) = 0;$

б) $(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - 1) = 0;$

в) $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0;$

г) $(1 + \cos x)(\sqrt{2} \sin x - 1) = 0.$

а) Данное уравнение $(\sin x - \frac{1}{2})(\sin x + 1) = 0$ распадается на два более простых уравнения, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

1. $\sin x - \frac{1}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

2. $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет один корень: $x_3 = \frac{3\pi}{2}$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения на заданном отрезке.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$.

б) Уравнение $(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - 1) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x + \frac{1}{2} = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ и $x_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

2. $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 2\pi$.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: $0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi$.

в) Уравнение $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

2. $\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_3 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ и $x_4 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Объединяя все уникальные найденные корни, получаем ответ.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

г) Уравнение $(1 + \cos x)(\sqrt{2} \sin x - 1) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет один корень: $x_1 = \pi$.

2. $\sqrt{2} \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_2 = \frac{\pi}{4}$ и $x_3 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Объединяя все найденные корни, получаем ответ.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \pi$.

18.14 a) Найдите корни уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$.

б) Найдите корни уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $[-2\pi; 3\pi]$.

а)

Сначала решим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Общая формула для корней этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in Z$.

Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то общее решение выглядит так: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Это общее решение можно представить в виде двух серий корней:

1. Для четных $n$ (пусть $n=2k$): $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
2. Для нечетных $n$ (пусть $n=2k+1$): $x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$, с помощью двойных неравенств.

Для первой серии корней $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ составим неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 4\pi$

Разделим все части на $\pi$: $0 \le \frac{1}{6} + 2k \le 4$.

Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей: $-\frac{1}{6} \le 2k \le 4 - \frac{1}{6} \Rightarrow -\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{23}{6}$.

Разделим на 2: $-\frac{1}{12} \le k \le \frac{23}{12}$, или примерно $-0.083 \le k \le 1.917$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=1$.

При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$.

При $k=1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi + 12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.

Для второй серии корней $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ составим неравенство:

$0 \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 4\pi$

Разделим все части на $\pi$: $0 \le \frac{5}{6} + 2k \le 4$.

Вычтем $\frac{5}{6}$ из всех частей: $-\frac{5}{6} \le 2k \le 4 - \frac{5}{6} \Rightarrow -\frac{5}{6} \le 2k \le \frac{19}{6}$.

Разделим на 2: $-\frac{5}{12} \le k \le \frac{19}{12}$, или примерно $-0.417 \le k \le 1.583$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=1$.

При $k=0$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{6}$.

При $k=1$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$.

Таким образом, на отрезке $[0; 4\pi]$ находятся четыре корня.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}$.

б)

Сначала решим уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Общая формула для корней этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, то общее решение выглядит так: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

Это общее решение представляет собой две серии корней:

1. $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
2. $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi; 3\pi]$.

Для первой серии корней $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ составим неравенство:

$-2\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$

Разделим все части на $\pi$: $-2 \le \frac{2}{3} + 2n \le 3$.

Вычтем $\frac{2}{3}$: $-2 - \frac{2}{3} \le 2n \le 3 - \frac{2}{3} \Rightarrow -\frac{8}{3} \le 2n \le \frac{7}{3}$.

Разделим на 2: $-\frac{4}{3} \le n \le \frac{7}{6}$, или примерно $-1.333 \le n \le 1.167$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=-1, n=0, n=1$.

При $n=-1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(-1) = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$.

При $n=0$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3}$.

При $n=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{2\pi + 6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$.

Для второй серии корней $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ составим неравенство:

$-2\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$

Разделим все части на $\pi$: $-2 \le -\frac{2}{3} + 2n \le 3$.

Прибавим $\frac{2}{3}$: $-2 + \frac{2}{3} \le 2n \le 3 + \frac{2}{3} \Rightarrow -\frac{4}{3} \le 2n \le \frac{11}{3}$.

Разделим на 2: $-\frac{2}{3} \le n \le \frac{11}{6}$, или примерно $-0.667 \le n \le 1.833$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.

При $n=0$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{2\pi}{3}$.

При $n=1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{-2\pi + 6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Объединим все найденные корни и расположим их в порядке возрастания.

Ответ: $-\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.