Страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.6 a) $ \sin (\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}))$;

Б) $ \operatorname{tg} (\operatorname{arctg} (-\frac{\sqrt{3}}{3}))$;

В) $ \cos (\operatorname{arctg} 0)$;

Г) $ \operatorname{ctg} (\operatorname{arctg} (-1)).$

а) Вычислим значение выражения $ \sin(\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})) $.
Сначала найдем значение внутреннего выражения $ \mathrm{arctg}(-\sqrt{3}) $. По определению, арктангенс числа $a$ — это угол $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $a$. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \mathrm{tg}(\alpha) = -\sqrt{3} $ и $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Известно, что $ \mathrm{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $. Поскольку тангенс является нечетной функцией, то есть $ \mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg}(x) $, получаем: $ \mathrm{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\mathrm{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $.
Угол $ -\frac{\pi}{3} $ принадлежит интервалу $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, следовательно, $ \mathrm{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $ \sin(\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})) = \sin(-\frac{\pi}{3}) $.
Синус также является нечетной функцией, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $: $ \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

б) Вычислим значение выражения $ \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})) $.
По определению арктангенса, для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $ \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}(x)) = x $. Это следует из того, что функции тангенса и арктангенса являются взаимно обратными.
В нашем случае $ x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Следовательно, $ \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

в) Вычислим значение выражения $ \cos(\mathrm{arctg}(0)) $.
Сначала найдем значение $ \mathrm{arctg}(0) $. Нам нужен угол $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \mathrm{tg}(\alpha) = 0 $.
Единственный угол в этом интервале, удовлетворяющий данному условию, — это $ \alpha = 0 $. Таким образом, $ \mathrm{arctg}(0) = 0 $.
Теперь вычислим косинус этого угла: $ \cos(0) = 1 $.
Ответ: $ 1 $

г) Вычислим значение выражения $ \mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}(-1)) $.
Сначала найдем значение $ \mathrm{arctg}(-1) $. Нам нужен угол $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \mathrm{tg}(\alpha) = -1 $.
Известно, что $ \mathrm{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $. Так как тангенс — нечетная функция, $ \mathrm{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1 $.
Угол $ -\frac{\pi}{4} $ принадлежит интервалу $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, поэтому $ \mathrm{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $ \mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}(-1)) = \mathrm{ctg}(-\frac{\pi}{4}) $.
Котангенс является нечетной функцией, то есть $ \mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}(x) $: $ \mathrm{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1 $.
Также можно воспользоваться тождеством $ \mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}(x)) = \frac{1}{x} $ при $ x \neq 0 $.
$ \mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}(-1)) = \frac{1}{-1} = -1 $.
Ответ: $ -1 $

17.11 a) $ \mathrm{tg}^2 x - 6 \mathrm{tg} x + 5 = 0; $

б) $ \mathrm{tg}^2 x - 2 \mathrm{tg} x - 3 = 0. $

Рассмотрим уравнение $\text{tg}^2 x - 6\text{tg}x + 5 = 0$. Это квадратное уравнение относительно $\text{tg}x$.

Введем замену переменной: пусть $t = \text{tg}x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Выполним обратную замену.

1. Если $\text{tg}x = 1$, то $x = \text{arctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, первая серия решений:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\text{tg}x = 5$, то вторая серия решений:

$x = \text{arctg}(5) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ x = \text{arctg}(5) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим уравнение $\text{tg}^2 x - 2\text{tg}x - 3 = 0$. Это также квадратное уравнение относительно $\text{tg}x$.

Сделаем замену $t = \text{tg}x$:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Выполним обратную замену.

1. Если $\text{tg}x = 3$, то первая серия решений:

$x = \text{arctg}(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\text{tg}x = -1$, то $x = \text{arctg}(-1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, вторая серия решений:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ x = \text{arctg}(3) + \pi n$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

17.7 a) $ \tg(\text{arcctg } 1); $

б) $ \sin(\text{arcctg } \sqrt{3}); $

в) $ \cos(\text{arcctg}(-1)); $

г) $ \ctg\left(2 \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right). $

a) tg(arcctg 1)

По определению арккотангенса, `arcctg(1)` — это угол `α` из интервала `(0, π)`, для которого `ctg(α) = 1`. Этим углом является `α = π/4`.
Таким образом, выражение принимает вид: `tg(arcctg 1) = tg(π/4)`.
Значение тангенса для этого угла равно `1`.
В качестве альтернативного решения можно использовать тождество `tg(arcctg(x)) = 1/x`.
Подставив `x=1`, получаем: `tg(arcctg 1) = 1/1 = 1`.

Ответ: $1$

б) sin(arcctg √3)

Пусть `α = arcctg(√3)`. По определению арккотангенса, `ctg α = √3` и `α` принадлежит интервалу `(0, π)`. Нам нужно найти `sin α`.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: `1 + ctg^2 α = 1/sin^2 α`.
Подставим известное значение `ctg α` в формулу:
`1 + (√3)^2 = 1/sin^2 α`
`1 + 3 = 1/sin^2 α`
`4 = 1/sin^2 α`
`sin^2 α = 1/4`
Поскольку `α` находится в интервале `(0, π)`, `sin α` должен быть положительным. Следовательно, извлекаем положительный квадратный корень:
`sin α = √(1/4) = 1/2`.

Ответ: $1/2$

в) cos(arcctg(-1))

Пусть `α = arcctg(-1)`. По определению арккотангенса, `ctg α = -1` и `α` принадлежит интервалу `(0, π)`. Нам нужно найти `cos α`.
Так как `ctg α` отрицателен, а `α ∈ (0, π)`, угол `α` находится во второй четверти (`π/2 < α < π`), где `cos α` отрицателен.
Воспользуемся тождеством `arcctg(-x) = π - arcctg(x)`:
`α = arcctg(-1) = π - arcctg(1) = π - π/4 = 3π/4`.
Теперь вычислим `cos(3π/4)`:
`cos(3π/4) = cos(π - π/4) = -cos(π/4) = -√2/2`.

Ответ: $-√2/2$

г) ctg(2 arcctg(-1/√3))

Пусть `α = arcctg(-1/√3)`. Тогда требуется вычислить `ctg(2α)`.
Из определения арккотангенса следует, что `ctg α = -1/√3`.
Используем формулу котангенса двойного угла: `ctg(2α) = (ctg^2 α - 1) / (2 ctg α)`.
Подставим значение `ctg α = -1/√3` в эту формулу:
`ctg(2α) = ((-1/√3)^2 - 1) / (2 * (-1/√3))`
`= ((1/3) - 1) / (-2/√3)`
`= (-2/3) / (-2/√3)`
Упростим полученное выражение:
`= (-2/3) * (√3 / -2) = √3/3`.

Ответ: $√3/3$

17.12 а) $tg (\pi + x) = \sqrt{3};$

б) $2 ctg (2\pi + x) - tg (\frac{\pi}{2} + x) = \sqrt{3};$

в) $-\sqrt{3} tg (\pi - x) = 1;$

г) $ctg (2\pi - x) + tg (\frac{3\pi}{2} + x) = 2.$

а)

Дано уравнение $tg (\pi + x) = \sqrt{3}$.

Используем формулу приведения для тангенса. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.

Уравнение упрощается до вида:

$tg(x) = \sqrt{3}$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения находится по формуле $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$.

$x = arctg(\sqrt{3}) + \pi n$

Поскольку $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем окончательное решение:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $2 ctg(2\pi + x) - tg(\frac{\pi}{2} + x) = \sqrt{3}$.

Для упрощения уравнения применим формулы приведения:

1. Функция котангенса имеет период $\pi$, а значит и $2\pi$. Следовательно, $ctg(2\pi + x) = ctg(x)$.

2. Для $tg(\frac{\pi}{2} + x)$ угол находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (котангенс). Таким образом, $tg(\frac{\pi}{2} + x) = -ctg(x)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$2 ctg(x) - (-ctg(x)) = \sqrt{3}$

$2 ctg(x) + ctg(x) = \sqrt{3}$

$3 ctg(x) = \sqrt{3}$

Отсюда находим $ctg(x)$:

$ctg(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решение этого уравнения имеет вид $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$

Так как $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $-\sqrt{3} tg(\pi - x) = 1$.

Используем формулу приведения $tg(\pi - x) = -tg(x)$, поскольку угол $(\pi - x)$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, а основная функция (тангенс) не меняется.

Подставим это в уравнение:

$-\sqrt{3} (-tg(x)) = 1$

$\sqrt{3} tg(x) = 1$

Выразим $tg(x)$:

$tg(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решение этого уравнения: $x = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $ctg(2\pi - x) + tg(\frac{3\pi}{2} + x) = 2$.

Применим формулы приведения для каждого слагаемого:

1. Для $ctg(2\pi - x)$ угол находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Функция не меняется. Значит, $ctg(2\pi - x) = -ctg(x)$.

2. Для $tg(\frac{3\pi}{2} + x)$ угол находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен. Из-за слагаемого $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию. Значит, $tg(\frac{3\pi}{2} + x) = -ctg(x)$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$-ctg(x) + (-ctg(x)) = 2$

$-2 ctg(x) = 2$

Выразим $ctg(x)$:

$ctg(x) = -1$

Решение этого уравнения: $x = arcctg(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение:

17.8 а) $ tgx = 1; $

б) $ tgx = -\frac{\sqrt{3}}{3}; $

в) $ tgx = -1; $

г) $ tgx = \frac{\sqrt{3}}{3}. $

а) $\text{tg } x = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $\text{tg } x = a$ находится по формуле $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В данном случае $a = 1$.

Находим арктангенс от 1. Это известное табличное значение: $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\text{tg } x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения арктангенса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$.

Таким образом, $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Табличное значение для $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\text{tg } x = -1$

Применяем ту же общую формулу: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $a = -1$.

Используя свойство нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.

Как мы знаем из пункта а), $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Значит, $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Записываем общее решение уравнения:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\text{tg } x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Снова используем общую формулу для тангенса: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим табличное значение арктангенса: $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в формулу общего решения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

17.9 a) $tgx = 0;$

б) $tgx = -2;$

в) $tgx = -3;$

г) $tgx = \frac{1}{2}.$

а) Дано уравнение $tg x = 0$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общая формула для решения уравнения $tg x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 0$. Подставим это значение в общую формулу:
$x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Арктангенс нуля равен нулю, так как тангенс угла в 0 радиан равен 0. То есть, $\operatorname{arctg}(0) = 0$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = 0 + \pi n = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $tg x = -2$.
Воспользуемся общей формулой для решения уравнения $tg x = a$: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -2$.
$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Арктангенс является нечетной функцией, то есть $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.
Применяя это свойство, получаем:
$x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Так как 2 не является табличным значением тангенса, ответ оставляем в таком виде.
Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $tg x = -3$.
Используем общую формулу решения $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -3$.
$x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арктангенса, $\operatorname{arctg}(-3) = -\operatorname{arctg}(3)$.
Таким образом, решение уравнения:
$x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $tg x = \frac{1}{2}$.
Снова применяем общую формулу $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $a = \frac{1}{2}$.
$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Значение $\frac{1}{2}$ не является табличным для тангенса, поэтому ответ остается в такой форме.
Ответ: $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

17.5 a) $2 \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg} (-1) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $3 \arcsin \frac{1}{2} + 4 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right);$

в) $\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) + \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1;$

г) $\arcsin (-1) - \frac{3}{2} \arccos \frac{1}{2} + 3 \operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).$

а) $2 \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения данного выражения необходимо вычислить значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Найдём значение $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Арксинус является нечетной функцией, поэтому $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

2. Найдём значение $\operatorname{arctg}(-1)$.
Арктангенс также является нечетной функцией: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.
Значение $\operatorname{arctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

3. Найдём значение $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Значение $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [0, \pi]$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + (-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

б) $3 \arcsin\frac{1}{2} + 4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Вычислим значение каждого члена выражения.

1. Найдём значение $\arcsin(\frac{1}{2})$.
$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

2. Найдём значение $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

3. Найдём значение $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Арктангенс — нечетная функция: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.
$\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим значения в выражение:
$3 \cdot \frac{\pi}{6} + 4 \cdot \frac{3\pi}{4} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} + 3\pi + \frac{\pi}{6}$.
Приведём к общему знаменателю 6:
$\frac{3\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{(3+18+1)\pi}{6} = \frac{22\pi}{6} = \frac{11\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{11\pi}{3}$.

в) $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin 1$

Вычислим каждое слагаемое.

1. Найдём значение $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$.
Так как арктангенс — нечетная функция, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3})$.
$\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

2. Найдём значение $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

3. Найдём значение $\arcsin(1)$.
$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Сложим полученные значения:
$-\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$.
Приведём к общему знаменателю 6:
$-\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{(-2+5+3)\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

г) $\arcsin(-1) - \frac{3}{2}\arccos\frac{1}{2} + 3 \operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Вычислим значение каждого члена выражения.

1. Найдём значение $\arcsin(-1)$.
$\arcsin(-1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$.

2. Найдём значение $\arccos(\frac{1}{2})$.
$\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

3. Найдём значение $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Используем формулу $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$.
$\operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим значения в исходное выражение:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 2\pi = -\pi + 2\pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.

17.10 a) $ctg x = 1;$

б) $ctg x = -\sqrt{3};$

В) $ctg x = 0;$

Г) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

а) Решим уравнение $ctg x = 1$.
Общее решение для уравнений вида $ctg x = a$ дается формулой $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 1$. Найдем значение $arcctg(1)$. Арккотангенс 1 — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $ctg x = -\sqrt{3}$.
Используем общую формулу решения: $x = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для нахождения арккотангенса отрицательного числа воспользуемся тождеством $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
Сначала найдем $arcctg(\sqrt{3})$. Угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$, — это $\frac{\pi}{6}$.
Значит, $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Теперь вычисляем $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $ctg x = 0$.
Общее решение: $x = arcctg(0) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Арккотангенс 0 — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен 0. Этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, $arcctg(0) = \frac{\pi}{2}$.
Подставляем в общую формулу и получаем:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение: $x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
Сначала найдем $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $\frac{1}{\sqrt{3}}$), — это $\frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Теперь вычисляем $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.