Страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.7 Имеет ли смысл выражение:

а) $ \arcsin \left(-\frac{2}{3}\right); $

б) $ \arcsin 1,5; $

в) $ \arcsin (3-\sqrt{20}); $

г) $ \arcsin (4-\sqrt{20})? $

Выражение $\arcsin(a)$ имеет смысл (определено), если его аргумент $a$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть, когда выполняется двойное неравенство: $-1 \le a \le 1$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

а) $\arcsin(-\frac{2}{3})$

Аргументом функции является число $a = -\frac{2}{3}$. Проверим, принадлежит ли оно отрезку $[-1; 1]$.

$-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$.

Это неравенство верно, так как $-\frac{2}{3}$ это примерно $-0.67$, и это значение находится между $-1$ и $1$.

Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

б) $\arcsin(1,5)$

Аргументом функции является число $a = 1,5$. Проверим, принадлежит ли оно отрезку $[-1; 1]$.

$-1 \le 1,5 \le 1$.

Правая часть этого двойного неравенства, $1,5 \le 1$, неверна, так как $1,5 > 1$.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

в) $\arcsin(3 - \sqrt{20})$

Аргументом функции является число $a = 3 - \sqrt{20}$. Оценим его значение.

Известно, что $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Значит, $4 < \sqrt{20} < 5$.

Вычтем $\sqrt{20}$ из $3$. Для этого сначала умножим неравенство $4 < \sqrt{20} < 5$ на $-1$, изменив знаки неравенства на противоположные: $-5 < -\sqrt{20} < -4$.

Теперь прибавим $3$ ко всем частям неравенства:

$3 - 5 < 3 - \sqrt{20} < 3 - 4$

$-2 < 3 - \sqrt{20} < -1$

Значение аргумента $3 - \sqrt{20}$ меньше $-1$, значит, оно не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

г) $\arcsin(4 - \sqrt{20})$

Аргументом функции является число $a = 4 - \sqrt{20}$. Оценим его значение, используя ту же оценку $4 < \sqrt{20} < 5$.

Умножим неравенство на $-1$: $-5 < -\sqrt{20} < -4$.

Прибавим $4$ ко всем частям неравенства:

$4 - 5 < 4 - \sqrt{20} < 4 - 4$

$-1 < 4 - \sqrt{20} < 0$

Значение аргумента $4 - \sqrt{20}$ находится в интервале $(-1; 0)$, который полностью входит в отрезок $[-1; 1]$.

Проверим это более строго:

1) $4 - \sqrt{20} \le 1 \implies 3 \le \sqrt{20} \implies 9 \le 20$. Верно.

2) $4 - \sqrt{20} \ge -1 \implies 5 \ge \sqrt{20} \implies 25 \ge 20$. Верно.

Поскольку $-1 \le 4 - \sqrt{20} \le 1$, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

Решите уравнение:

16.8 a) $sin t = \frac{\sqrt{3}}{2};$

б) $sin t = \frac{\sqrt{2}}{2};$

в) $sin t = 1;$

г) $sin t = \frac{1}{2}.$

а) Исходное уравнение: $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin t = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле: $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k – любое целое число).
В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Находим главное значение угла (арксинус): $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу решения:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эта формула объединяет две серии решений: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Используем ту же общую формулу для решения уравнений вида $\sin t = a$: $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим арксинус: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в формулу и получаем общее решение:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эта формула объединяет две серии решений: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin t = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен единице только в одной точке на единичной окружности, которая соответствует углу $\frac{\pi}{2}$.
Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все решения получаются добавлением к этому значению целого числа полных оборотов.
Следовательно, решение можно записать в виде:
$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin t = \frac{1}{2}$.
Применяем общую формулу решения $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В этом уравнении $a = \frac{1}{2}$.
Находим значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляя это значение в общую формулу, находим решение:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эта формула объединяет две серии решений: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

16.9 а) $ \sin t = -1; $

б) $ \sin t = - \frac{\sqrt{2}}{2}; $

в) $ \sin t = - \frac{1}{2}; $

г) $ \sin t = - \frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) Дано уравнение $sin t = -1$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. На единичной окружности синус (ордината точки) равен $-1$ в самой нижней точке, которая соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$.
Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение уравнения находится путем добавления к частному решению целого числа периодов.
Формула общего решения:
$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число).
Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для решения уравнения вида $sin t = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула:
$t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала найдем значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$, получаем:
$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Теперь подставим это значение в общую формулу:
$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эту запись можно упростить:
$t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $sin t = -\frac{1}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнения $sin t = a$:
$t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{1}{2}$.
Находим арксинус:
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Упрощаем выражение:
$t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Применяем общую формулу решения для синуса $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В этом уравнении $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычисляем арксинус:
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в формулу общего решения:
$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Упрощаем запись:
$t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

16.5 Докажите тождество:

a) $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$;

б) $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$.

a) Для доказательства тождества $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$ воспользуемся свойством арккосинуса. Для любого $x$ из области определения (от -1 до 1 включительно) справедливо равенство:

$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$

Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества:

$\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = \sin(\arccos x + (\pi - \arccos x))$

Теперь упростим выражение в аргументе синуса. Члены $\arccos x$ и $-\arccos x$ взаимно уничтожаются:

$\sin(\arccos x + \pi - \arccos x) = \sin(\pi)$

Как известно, значение синуса от угла $\pi$ радиан равно нулю:

$\sin(\pi) = 0$

Таким образом, мы получили, что левая часть тождества равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$ доказано.

б) Для доказательства тождества $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$ воспользуемся свойством арксинуса. Арксинус является нечетной функцией, поэтому для любого $x$ из его области определения (от -1 до 1 включительно) справедливо равенство:

$\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$

Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества:

$\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = \cos(\arcsin x + (-\arcsin x))$

Упростим выражение в аргументе косинуса. Члены $\arcsin x$ и $-\arcsin x$ взаимно уничтожаются:

$\cos(\arcsin x - \arcsin x) = \cos(0)$

Значение косинуса от 0 равно единице:

$\cos(0) = 1$

Таким образом, мы получили, что левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$ доказано.

16.10 a) $\sin t = \frac{1}{4}$;

б) $\sin t = 1,02$;

В) $\sin t = -\frac{1}{7}$;

Г) $\sin t = \frac{\pi}{3}$.

а) Решим уравнение $ \sin t = \frac{1}{4} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin x = a $. Общее решение для такого уравнения дается формулой $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = \frac{1}{4} $. Так как $ -1 \le \frac{1}{4} \le 1 $, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ t = (-1)^n \arcsin\frac{1}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Значение $ \arcsin\frac{1}{4} $ не является табличным, поэтому ответ оставляем в таком виде.

Ответ: $ t = (-1)^n \arcsin\frac{1}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \sin t = 1,02 $.

Область значений функции синус — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого действительного числа $ t $ выполняется неравенство $ -1 \le \sin t \le 1 $.

В данном уравнении требуется найти такое $ t $, для которого $ \sin t = 1,02 $. Поскольку $ 1,02 > 1 $, это значение не входит в область значений функции синус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в) Решим уравнение $ \sin t = -\frac{1}{7} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin x = a $. Общее решение для такого уравнения дается формулой $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = -\frac{1}{7} $. Так как $ -1 \le -\frac{1}{7} \le 1 $, уравнение имеет решения.

Используем свойство арксинуса: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin(-\frac{1}{7}) = -\arcsin\frac{1}{7} $.

Подставляем в общую формулу:

$ t = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{1}{7}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{7} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{7} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г) Решим уравнение $ \sin t = \frac{\pi}{3} $.

Область значений функции синус — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого действительного числа $ t $ выполняется неравенство $ -1 \le \sin t \le 1 $.

В данном уравнении требуется найти такое $ t $, для которого $ \sin t = \frac{\pi}{3} $. Оценим значение $ \frac{\pi}{3} $.

Приближенное значение числа $ \pi $ равно 3,14159... . Тогда $ \frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047 $.

Поскольку $ \frac{\pi}{3} > 1 $, это значение не входит в область значений функции синус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

16.6 Найдите область допустимых значений выражения:

a) $ \arcsin x; $

б) $ \arcsin (5 - 2x); $

в) $ \arcsin \frac{x}{2}; $

г) $ \arcsin (x^2 - 3). $

Область допустимых значений (ОДЗ) для выражения с арксинусом $\arcsin(f(x))$ определяется условием, что аргумент функции $f(x)$ должен находиться в пределах отрезка $[-1; 1]$. То есть, необходимо решить неравенство: $-1 \le f(x) \le 1$.

а) $\arcsin x$

Для данного выражения аргументом является $x$. По определению функции арксинуса, область ее определения задается неравенством:

$-1 \le x \le 1$

Это и есть область допустимых значений.

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) $\arcsin(5 - 2x)$

Аргумент выражения, $(5 - 2x)$, должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Составим и решим двойное неравенство:

$-1 \le 5 - 2x \le 1$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-1 - 5 \le -2x \le 1 - 5$

$-6 \le -2x \le -4$

Разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-6}{-2} \ge x \ge \frac{-4}{-2}$

$3 \ge x \ge 2$

Запишем это в более привычном виде:

$2 \le x \le 3$

Ответ: $x \in [2; 3]$.

в) $\arcsin \frac{x}{2}$

Аргумент $\frac{x}{2}$ должен удовлетворять условию:

$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$

Умножим все части неравенства на 2 (знаки неравенства сохраняются, так как 2 > 0):

$-1 \cdot 2 \le x \le 1 \cdot 2$

$-2 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) $\arcsin(x^2 - 3)$

Аргумент $(x^2 - 3)$ должен находиться в промежутке $[-1; 1]$. Запишем неравенство:

$-1 \le x^2 - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le x^2 \le 1 + 3$

$2 \le x^2 \le 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge 2 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 2$. Его решениями являются $x \le -\sqrt{2}$ или $x \ge \sqrt{2}$. В виде множества: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \le 4$. Его решением является двойное неравенство $-\sqrt{4} \le x \le \sqrt{4}$, то есть $-2 \le x \le 2$. В виде множества: $x \in [-2; 2]$.

Найдем пересечение решений этих двух систем. Это множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. На числовой прямой это будет пересечение отрезка $[-2; 2]$ и объединения лучей $(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \infty)$.

В результате получаем два отрезка: $[-2; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

16.11 a) $\sin x = \frac{1}{2}$, $x \in [0; 2\pi]$;

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$, $x \in [-\pi; \pi]$;

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in [-\pi; 2\pi]$;

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x \in [-2\pi; \pi]$.

а) Требуется найти корни уравнения $sin x = \frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [0; 2\pi]$.
Общая формула для корней уравнения $sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{2}$, и $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, общее решение: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Теперь необходимо выбрать корни, которые принадлежат промежутку $[0; 2\pi]$.
1. При $k=0$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток $[0; 2\pi]$.
2. При $k=1$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток $[0; 2\pi]$.
3. При $k=2$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$. Этот корень больше, чем $2\pi$, и не входит в промежуток.
При других целых значениях $k$ корни также будут лежать вне указанного промежутка.
Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

б) Требуется найти корни уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; \pi]$.
Общая формула для корней уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{2}$, и $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Теперь необходимо выбрать корни, которые принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.
1. При $k=0$: $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ и $x_2 = -\frac{2\pi}{3}$. Оба корня принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.
2. При $k=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Оба корня больше $\pi$.
3. При $k=-1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}$. Оба корня меньше $-\pi$.
При других целых значениях $k$ корни также будут лежать вне указанного промежутка.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.

в) Требуется найти корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; 2\pi]$.
Общая формула для корней уравнения $sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, и $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, общее решение: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{4} + \pi k$.
Теперь необходимо выбрать корни, которые принадлежат промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
1. При $k=-1$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{4} + \pi(-1) = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
2. При $k=0$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
3. При $k=1$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
4. При $k=2$: $x = (-1)^3 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
При других целых значениях $k$ корни будут лежать вне указанного промежутка.
Ответ: $-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

г) Требуется найти корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $x \in [-2\pi; \pi]$.
Общая формула для корней уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Теперь необходимо выбрать корни, которые принадлежат промежутку $[-2\pi; \pi]$.
Рассмотрим две серии корней:
1. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку, так как $-2\pi = -\frac{12\pi}{6}$.
2. $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Этот корень больше $\pi$ и не входит в промежуток.
При других целых значениях $k$ корни будут лежать вне указанного промежутка.
Ответ: $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}$.