Страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.35 Найдите область значений функции:

a) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x - 1};$

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x - 1}.$

а) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x - 1}$

Для нахождения области значений функции $E(y)$ сначала определим ее область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$\cos^2 3x - 1 \ge 0$

$\cos^2 3x \ge 1$

Поскольку функция косинуса ограничена, $-1 \le \cos 3x \le 1$, то ее квадрат удовлетворяет неравенству $0 \le \cos^2 3x \le 1$. Таким образом, условие $\cos^2 3x \ge 1$ может выполняться только в одном случае:

$\cos^2 3x = 1$

Это означает, что функция определена только для тех значений $x$, при которых $\cos^2 3x = 1$. При этом условии выражение под корнем равно нулю:

$\sqrt{\cos^2 3x - 1} = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$

Следовательно, для всех $x$ из области определения, функция принимает вид:

$y = \cos 3x + 0 = \cos 3x$

Теперь найдем, какие значения может принимать $y$. Из условия $\cos^2 3x = 1$ следует, что $\cos 3x$ может быть равен либо $1$, либо $-1$.

1. Если $\cos 3x = 1$, то $y = 1$.

2. Если $\cos 3x = -1$, то $y = -1$.

Таким образом, функция может принимать только два значения: 1 и -1. Область значений функции представляет собой множество из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-1, 1\}$.

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x - 1}$

Аналогично предыдущему пункту, найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\sin^2 4x - 1 \ge 0$

$\sin^2 4x \ge 1$

Так как $-1 \le \sin 4x \le 1$, то $0 \le \sin^2 4x \le 1$. Следовательно, неравенство $\sin^2 4x \ge 1$ выполняется только при условии:

$\sin^2 4x = 1$

При выполнении этого условия подкоренное выражение равно нулю, и функция упрощается:

$y = \sin 2x + \sqrt{1 - 1} = \sin 2x$

Теперь необходимо найти все возможные значения $\sin 2x$ при условии, что $\sin^2 4x = 1$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$. Подставим ее в наше условие:

$(2 \sin 2x \cos 2x)^2 = 1$

$4 \sin^2 2x \cos^2 2x = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x$:

$4 \sin^2 2x (1 - \sin^2 2x) = 1$

Пусть $t = \sin^2 2x$. Заметим, что $0 \le t \le 1$. Уравнение принимает вид:

$4t(1-t) = 1$

$4t - 4t^2 = 1$

$4t^2 - 4t + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(2t - 1)^2 = 0$

Решением этого уравнения является $t = \frac{1}{2}$.

Вернемся к замене: $\sin^2 2x = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим возможные значения для $\sin 2x$:

$\sin 2x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, значениями функции $y$ могут быть только $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Область значений функции состоит из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$.

18.40 a) $3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = 2;$

б) $2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin\left(\pi - \frac{x}{2}\right) \cos\left(2\pi - \frac{x}{2}\right) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3;$

в) $4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3} \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \sin(\pi + x) + 3 \cos^2 (\pi + x) = 3;$

г) $3 \sin^2 \left(x - \frac{3\pi}{2}\right) - 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cos(\pi + x) + 2 \sin^2 (x - \pi) = 2.$

а) $3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = 2$

Применим формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$.

$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$ для правой части уравнения:

$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2})$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 2 \sin^2 \frac{x}{2} - 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0$

$\sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Заметим, что $\cos \frac{x}{2} \neq 0$, так как если $\cos \frac{x}{2} = 0$, то $\sin^2 \frac{x}{2} = 1$, и уравнение принимает вид $1=0$, что неверно. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 \frac{x}{2}$:

$\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = 0$

$\tan^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan \frac{x}{2}$.

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Вернемся к замене:

1) $\tan \frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan \frac{x}{2} = -2$

$\frac{x}{2} = \arctan(-2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan(-2) + 2\pi k = -2\arctan(2) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = -2\arctan(2) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin(\pi - \frac{x}{2}) \cos(2\pi - \frac{x}{2}) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$

Применим формулы приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ и $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$.

$2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$

Заменим $3$ на $3(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2})$:

$2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(7 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin^2 \frac{x}{2}) - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + (2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \cos^2 \frac{x}{2}) = 0$

$4 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $\cos^2 \frac{x}{2} \neq 0$ (проверка аналогична пункту а):

$4 \tan^2 \frac{x}{2} - 3 \tan \frac{x}{2} - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan \frac{x}{2}$.

$4t^2 - 3t - 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$t_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

Вернемся к замене:

1) $\tan \frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan \frac{x}{2} = -\frac{1}{4}$

$\frac{x}{2} = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan(-\frac{1}{4}) + 2\pi k = -2\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = -2\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \cos^2(\frac{\pi}{2} + x) + \sqrt{3} \sin(\frac{3\pi}{2} - x) \sin(\pi + x) + 3 \cos^2(\pi + x) = 3$

Применим формулы приведения:
$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x \implies \cos^2(\frac{\pi}{2} + x) = \sin^2 x$
$\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x$
$\sin(\pi + x) = -\sin x$
$\cos(\pi + x) = -\cos x \implies \cos^2(\pi + x) = \cos^2 x$

Подставим в уравнение:

$4 \sin^2 x + \sqrt{3} (-\cos x)(-\sin x) + 3 \cos^2 x = 3$

$4 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 3$

Заменим $3$ на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$4 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + \sqrt{3} \cos x) = 0$

Получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Разделим на $\cos x \neq 0$:

$\tan x + \sqrt{3} = 0$

$\tan x = -\sqrt{3}$

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $3 \sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) - 2 \cos(\frac{3\pi}{2} + x) \cos(\pi + x) + 2 \sin^2(x - \pi) = 2$

Применим формулы приведения и свойства четности/нечетности:
$\sin(x - \frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2} - x)) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -(-\cos x) = \cos x \implies \sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) = \cos^2 x$
$\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$
$\cos(\pi + x) = -\cos x$
$\sin(x - \pi) = \sin(-(\pi - x)) = -\sin(\pi - x) = -(\sin x) \implies \sin^2(x - \pi) = \sin^2 x$

Подставим в уравнение:

$3 \cos^2 x - 2 (\sin x)(-\cos x) + 2 \sin^2 x = 2$

$3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x = 2$

Заменим $2$ на $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$(2 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) + 2 \sin x \cos x + (3 \cos^2 x - 2 \cos^2 x) = 0$

$2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 \sin x + \cos x) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $2 \sin x + \cos x = 0$

Разделим на $\cos x \neq 0$:

$2 \tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{2}$

$x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение:

18.36 a) $|\sin x| = |\cos x|$;

б) $\sqrt{3} \cot x = 2 |\cos x|$;

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$;

г) $\sqrt{2} \tan x + 2 |\sin x| = 0.$

a) $|\sin x| = |\cos x|$

Данное уравнение равносильно тому, что $\sin x = \cos x$ или $\sin x = -\cos x$.

Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $|\sin x| = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $|\cos x|$:

$\frac{|\sin x|}{|\cos x|} = 1$

$|\frac{\sin x}{\cos x}| = 1$

$|\operatorname{tg} x| = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну. На единичной окружности это точки, которые делят каждую четверть пополам. Расстояние между соседними точками равно $\frac{\pi}{2}$.

Объединенная серия решений: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \operatorname{ctg} x = 2|\cos x|$

Область допустимых значений (ОДЗ) для $\operatorname{ctg} x$ определяется условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{ctg} x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:

$\sqrt{3} \frac{\cos x}{\sin x} = 2|\cos x|$

Рассмотрим два случая:

1) $\cos x = 0$.

Подставив в уравнение, получим $0 = 0$. Значит, значения $x$, при которых $\cos x = 0$, являются решениями, если они входят в ОДЗ. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\sin x = \pm 1 \neq 0$, что удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ — первая серия решений.

2) $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $|\cos x|$:

$\sqrt{3} \frac{\cos x}{|\cos x| \sin x} = 2$

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $\cos x$.

a) Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3} \frac{\cos x}{\cos x \sin x} = 2 \implies \frac{\sqrt{3}}{\sin x} = 2 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нам нужны решения, для которых одновременно $\cos x > 0$ и $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует первой четверти. $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3} \frac{\cos x}{(-\cos x) \sin x} = 2 \implies \frac{-\sqrt{3}}{\sin x} = 2 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нам нужны решения, для которых одновременно $\cos x < 0$ и $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует третьей четверти. $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$ (или $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m$).

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$

Уравнение можно переписать как $|\sin 2x| = \sqrt{3} |\cos 2x|$.

Заметим, что если $\cos 2x = 0$, то $|\sin 2x| = 1$. Уравнение примет вид $1 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $|\cos 2x|$:

$\frac{|\sin 2x|}{|\cos 2x|} = \sqrt{3}$

$|\operatorname{tg} 2x| = \sqrt{3}$

Это уравнение эквивалентно двум:

1) $\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3} \implies 2x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg} 2x = -\sqrt{3} \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединим эти две серии решений:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем $x$, разделив на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{2} \operatorname{tg} x + 2|\sin x| = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{tg} x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$\sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} + 2|\sin x| = 0$

Рассмотрим два случая:

1) $\sin x = 0$.

Подставив в уравнение, получим $0 = 0$. Значит, значения $x$, при которых $\sin x = 0$, являются решениями, если они входят в ОДЗ. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\cos x = \pm 1 \neq 0$, что удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, $x = \pi n$ — первая серия решений.

2) $\sin x \neq 0$.

Вынесем $|\sin x|$ за скобки (или разделим на него):

$|\sin x| \left( \sqrt{2} \frac{\sin x}{|\sin x|\cos x} + 2 \right) = 0$

Так как $\sin x \neq 0$, то $|\sin x| \neq 0$. Следовательно, выражение в скобках равно нулю:

$\sqrt{2} \frac{\sin x}{|\sin x|\cos x} + 2 = 0$

a) Если $\sin x > 0$ (1 и 2 четверти), то $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{2} \frac{1}{\cos x} + 2 = 0 \implies \frac{\sqrt{2}}{\cos x} = -2 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Условиям $\sin x > 0$ и $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют углы во второй четверти. $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Если $\sin x < 0$ (3 и 4 четверти), то $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{2} \frac{-1}{\cos x} + 2 = 0 \implies \frac{-\sqrt{2}}{\cos x} = -2 \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Условиям $\sin x < 0$ и $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют углы в четвертой четверти. $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

18.37 a) $sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + cos \left(\frac{13\pi}{6} - 2x\right) = 0;$

б) $sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} cos \left(\frac{47\pi}{3} - \frac{x}{2}\right).$

Исходное уравнение: $\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{6} - 2x\right) = 0$.

Сначала упростим второй член уравнения, используя формулы приведения. Представим угол $\frac{13\pi}{6}$ в виде $2\pi + \frac{\pi}{6}$.

$\cos\left(\frac{13\pi}{6} - 2x\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6} - 2x\right)$

Поскольку функция косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6} - 2x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$

Также, косинус — чётная функция, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = \cos\left(-\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$

Подставим упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:

$\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 0$

Пусть $y = 2x - \frac{\pi}{6}$. Уравнение примет вид:

$\sin(y) + \cos(y) = 0$

Разделим обе части уравнения на $\cos(y)$, предполагая, что $\cos(y) \neq 0$. Если бы $\cos(y) = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin(y) = 0$, что невозможно одновременно, так как $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$.

$\frac{\sin(y)}{\cos(y)} + \frac{\cos(y)}{\cos(y)} = 0$

$\tan(y) + 1 = 0$

$\tan(y) = -1$

Общее решение для этого уравнения:

$y = -\frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $y = 2x - \frac{\pi}{6}$:

$2x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + n\pi$

$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + n\pi$

$2x = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + n\pi$

$2x = -\frac{\pi}{12} + n\pi$

Разделив обе части на 2, получим:

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\cos\left(\frac{47\pi}{3} - \frac{x}{2}\right)$.

Упростим выражение в косинусе. Представим угол $\frac{47\pi}{3}$ в виде $\frac{48\pi - \pi}{3} = 16\pi - \frac{\pi}{3}$.

$\cos\left(\frac{47\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(16\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right)$

Так как период косинуса равен $2\pi$, то $16\pi$ можно отбросить, так как $16\pi = 8 \cdot 2\pi$.

$\cos\left(16\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(- \frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\right)$

Используя свойство чётности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$

Пусть $y = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$. Уравнение примет вид:

$\sin(y) = \sqrt{3}\cos(y)$

Разделим обе части на $\cos(y) \neq 0$ (как и в пункте а, одновременное равенство $\sin(y)=0$ и $\cos(y)=0$ невозможно).

$\frac{\sin(y)}{\cos(y)} = \sqrt{3}$

$\tan(y) = \sqrt{3}$

Общее решение этого уравнения:

$y = \frac{\pi}{3} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную подстановку $y = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$:

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$

$\frac{x}{2} = n\pi$

Умножим обе части на 2:

$x = 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

18.38 a) $\sin^2 x - 5 \cos x = \sin x \cos x - 5 \sin x;$

б) $\cos^2 x - 7 \sin x + \sin x \cos x = 7 \cos x.$

а) $ \sin^2 x - 5\cos x = \sin x \cos x - 5\sin x $

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$ \sin^2 x - \sin x \cos x + 5\sin x - 5\cos x = 0 $

Сгруппируем слагаемые методом разложения на множители. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$ (\sin^2 x - \sin x \cos x) + (5\sin x - 5\cos x) = 0 $

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$ \sin x (\sin x - \cos x) + 5(\sin x - \cos x) = 0 $

Теперь мы видим общий множитель $ (\sin x - \cos x) $, который можно вынести за скобку:

$ (\sin x - \cos x)(\sin x + 5) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум отдельным уравнениям:

1) $ \sin x - \cos x = 0 $

2) $ \sin x + 5 = 0 $

Рассмотрим первое уравнение: $ \sin x - \cos x = 0 $

$ \sin x = \cos x $

Если предположить, что $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ \sin x $ будет равен $ 1 $ или $ -1 $, что не равно нулю. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 $

$ \tan x = 1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Рассмотрим второе уравнение: $ \sin x + 5 = 0 $

$ \sin x = -5 $

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ y = \sin x $ находится в пределах от $ -1 $ до $ 1 $, а $ -5 $ в этот промежуток не входит.

Следовательно, все решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos^2 x - 7\sin x + \sin x \cos x = 7\cos x $

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$ \cos^2 x + \sin x \cos x - 7\sin x - 7\cos x = 0 $

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$ (\cos^2 x + \sin x \cos x) - (7\sin x + 7\cos x) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ \cos x (\cos x + \sin x) - 7(\sin x + \cos x) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ (\cos x + \sin x) $ за скобку:

$ (\cos x + \sin x)(\cos x - 7) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \cos x + \sin x = 0 $

2) $ \cos x - 7 = 0 $

Рассмотрим первое уравнение: $ \cos x + \sin x = 0 $

$ \sin x = -\cos x $

Аналогично предыдущему пункту, $ \cos x \neq 0 $, так как в противном случае и $ \sin x $ был бы равен нулю, что невозможно. Разделим обе части на $ \cos x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} = -1 $

$ \tan x = -1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Рассмотрим второе уравнение: $ \cos x - 7 = 0 $

$ \cos x = 7 $

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ y = \cos x $ находится в пределах от $ -1 $ до $ 1 $, а $ 7 $ в этот промежуток не входит.

Таким образом, все решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

18.34 a) $ (\sqrt{2} \cos x - 1)\sqrt{4x^2 - 7x + 3} = 0; $

б) $ (2 \sin x - \sqrt{3})\sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 0. $

a) $(\sqrt{2} \cos x - 1)\sqrt{4x^2 - 7x + 3} = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это условие определяет область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

1. Найдем ОДЗ, решив неравенство:

$4x^2 - 7x + 3 \ge 0$

Для этого сначала найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 7x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$;
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Графиком функции $y = 4x^2 - 7x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $4x^2 - 7x + 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{3}{4}] \cup [1, \infty)$.

2. Исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) $\sqrt{4x^2 - 7x + 3} = 0 \implies 4x^2 - 7x + 3 = 0$.
Корни этого уравнения $x = \frac{3}{4}$ и $x = 1$. Оба значения входят в ОДЗ, поэтому являются решениями исходного уравнения.

2) $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$ при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ.
$\sqrt{2} \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решения этого тригонометрического уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Теперь необходимо проверить, какие из найденных серий корней удовлетворяют ОДЗ $x \in (-\infty, \frac{3}{4}] \cup [1, \infty)$. Для удобства используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

- Для серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$. Так как $\frac{3}{4} = 0.75$, то $0.75 < 0.785 < 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $k \ge 1$, $x \ge \frac{\pi}{4} + 2\pi > 1$. Эти корни входят в ОДЗ.
При $k \le -1$, $x \le \frac{\pi}{4} - 2\pi < 0 < \frac{3}{4}$. Эти корни входят в ОДЗ.
Таким образом, решениями являются $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.

- Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
Проверим, могут ли корни этой серии попасть в "запретный" промежуток $(\frac{3}{4}, 1)$.
$\frac{3}{4} < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < 1 \implies 3 < -\pi + 8\pi k < 4 \implies 3+\pi < 8\pi k < 4+\pi \implies \frac{3+\pi}{8\pi} < k < \frac{4+\pi}{8\pi}$.
Приблизительно: $0.24 < k < 0.28$. В этом интервале нет целых значений $k$.
Следовательно, все корни серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ являются решениями.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $\frac{3}{4}; 1; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.

б) $(2 \sin x - \sqrt{3})\sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, решим уравнение с учетом области допустимых значений.

1. Найдем ОДЗ из условия $3x^2 - 7x + 4 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$; $x_2 = \frac{7+1}{6} = \frac{4}{3}$.
Парабола $y = 3x^2 - 7x + 4$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$.

2. Уравнение распадается на два случая:

1) $\sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 0 \implies 3x^2 - 7x + 4 = 0$.
Корни $x=1$ и $x=\frac{4}{3}$ принадлежат ОДЗ и являются решениями.

2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0$ при условии $x \in$ ОДЗ.
$2 \sin x = \sqrt{3} \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Проверим принадлежность найденных корней ОДЗ $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$.

- Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$. Так как $\frac{4}{3} \approx 1.333$, то $1 < 1.047 < \frac{4}{3}$. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $k \ge 1$, $x \ge \frac{\pi}{3} + 2\pi > \frac{4}{3}$. Корни подходят.
При $k \le -1$, $x \le \frac{\pi}{3} - 2\pi < 1$. Корни подходят.
Решениями являются $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.

- Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
Проверим, могут ли корни этой серии попасть в "запретный" промежуток $(1, \frac{4}{3})$.
$1 < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < \frac{4}{3} \implies 3 < 2\pi + 6\pi k < 4 \implies 3-2\pi < 6\pi k < 4-2\pi$.
Приблизительно: $-3.28 < 6\pi k < -2.28 \implies -0.17... < k < -0.12...$. Целых $k$ в интервале нет.
Все корни серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ являются решениями.

Объединяем все решения.
Ответ: $1; \frac{4}{3}; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.

18.39 a) $\sin^2 x + \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 2 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 3x + 3 \cos^2 3x - 4 \sin \left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \cos \left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = 0;$

в) $\sin^2 x + 2 \sin(\pi - x) \cos x - 3 \cos^2(2\pi - x) = 0;$

г) $\sin^2 (\pi - 3x) + 5 \sin(\pi - 3x) \cos 3x + 4 \sin^2 \left(\frac{3\pi}{2} - 3x\right) = 0.$

а) Исходное уравнение: $sin^2 x + cos(\frac{\pi}{2} - x)sin(\frac{\pi}{2} - x) - 2cos^2 x = 0$

Применим формулы приведения:

$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin x$

$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos x$

Подставим их в уравнение:

$sin^2 x + sin x \cdot cos x - 2cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Чтобы решить его, разделим обе части на $cos^2 x$. Предварительно убедимся, что $cos x \neq 0$. Если предположить, что $cos x = 0$, то из уравнения следует $sin^2 x = 0$, то есть $sin x = 0$. Однако $sin x$ и $cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $sin^2 x + cos^2 x = 1$. Значит, $cos x \neq 0$ и деление возможно.

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} + \frac{sin x cos x}{cos^2 x} - \frac{2cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x + tan x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решаем его через дискриминант или по теореме Виета. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

2) $tan x = -2 \implies x = arctan(-2) + \pi k = -arctan 2 + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = -arctan 2 + \pi k, k \in Z$.

б) Исходное уравнение: $sin^2 3x + 3cos^2 3x - 4sin(\frac{\pi}{2} + 3x)cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = 0$

Применим формулы приведения:

$sin(\frac{\pi}{2} + 3x) = cos 3x$

$cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = -sin 3x$

Подставим в уравнение:

$sin^2 3x + 3cos^2 3x - 4(cos 3x)(-sin 3x) = 0$

$sin^2 3x + 4sin 3x cos 3x + 3cos^2 3x = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Разделим его на $cos^2 3x$, так как $cos 3x \neq 0$ (иначе и $sin 3x$ был бы равен 0, что невозможно).

$\frac{sin^2 3x}{cos^2 3x} + \frac{4sin 3x cos 3x}{cos^2 3x} + \frac{3cos^2 3x}{cos^2 3x} = 0$

$tan^2 3x + 4tan 3x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan 3x$:

$t^2 + 4t + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

2) $tan 3x = -3 \implies 3x = arctan(-3) + \pi k \implies x = -\frac{arctan 3}{3} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$; $x = -\frac{arctan 3}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

в) Исходное уравнение: $sin^2 x + 2sin(\pi - x)cos x - 3cos^2(2\pi - x) = 0$

Применим формулы приведения:

$sin(\pi - x) = sin x$

$cos(2\pi - x) = cos x \implies cos^2(2\pi - x) = cos^2 x$

Подставим в уравнение:

$sin^2 x + 2sin x cos x - 3cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Разделим на $cos^2 x$ ($cos x \neq 0$ по аналогии с пунктом а).

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} + \frac{2sin x cos x}{cos^2 x} - \frac{3cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x + 2tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

2) $tan x = -3 \implies x = arctan(-3) + \pi k = -arctan 3 + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = -arctan 3 + \pi k, k \in Z$.

г) Исходное уравнение: $sin^2(\pi - 3x) + 5sin(\pi - 3x)cos 3x + 4sin^2(\frac{3\pi}{2} - 3x) = 0$

Применим формулы приведения:

$sin(\pi - 3x) = sin 3x \implies sin^2(\pi - 3x) = sin^2 3x$

$sin(\frac{3\pi}{2} - 3x) = -cos 3x \implies sin^2(\frac{3\pi}{2} - 3x) = (-cos 3x)^2 = cos^2 3x$

Подставим в уравнение:

$sin^2 3x + 5sin 3x cos 3x + 4cos^2 3x = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Разделим на $cos^2 3x$ ($cos 3x \neq 0$ по аналогии с пунктом б).

$\frac{sin^2 3x}{cos^2 3x} + \frac{5sin 3x cos 3x}{cos^2 3x} + \frac{4cos^2 3x}{cos^2 3x} = 0$

$tan^2 3x + 5tan 3x + 4 = 0$

Сделаем замену $t = tan 3x$:

$t^2 + 5t + 4 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = -1$, $t_2 = -4$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

2) $tan 3x = -4 \implies 3x = arctan(-4) + \pi k \implies x = -\frac{arctan 4}{3} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$; $x = -\frac{arctan 4}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.