Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

19.15 a) $ \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha; $

б) $ \frac{\cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{2 \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha. $

а)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2 \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha $, преобразуем его левую часть.

1. Упростим числитель, используя формулу косинуса разности $ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $:

$ \sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - 2 (\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha) $

Подставим табличные значения $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \sqrt{2} \cos \alpha - 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2} \sin \alpha = -\sqrt{2} \sin \alpha $.

2. Упростим знаменатель, используя формулу синуса суммы $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $:

$ 2 \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3} \sin \alpha = 2 (\sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{6} \sin \alpha) - \sqrt{3} \sin \alpha $

Подставим табличные значения $ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$ 2 (\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) - \sqrt{3} \sin \alpha = \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha = \cos \alpha $.

3. Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь:

$ \frac{-\sqrt{2} \sin \alpha}{\cos \alpha} $

Используя определение тангенса $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, получаем:

$ -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha $.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2 \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha $, преобразуем его левую часть.

1. Упростим числитель, используя формулу косинуса суммы $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $:

$ \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos \alpha - 2 (\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha) $

Подставим табличные значения $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$ \cos \alpha - 2 (\frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) = \cos \alpha - \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha $.

2. Упростим знаменатель, используя формулу синуса разности $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ 2 \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} \sin \alpha = 2 (\sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} \sin \alpha $

Подставим табличные значения $ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $:

$ 2 (\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos \alpha \cdot \frac{1}{2}) - \sqrt{3} \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha - \cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha = -\cos \alpha $.

3. Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь:

$ \frac{\sqrt{3} \sin \alpha}{-\cos \alpha} $

Используя определение тангенса $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, получаем:

$ -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha $.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

19.20 Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $sin 0,2x cos 0,8x + cos 0,2x sin 0,8x = cos 3x cos 2x + sin 3x sin 2x, x \in [0; 3\pi];$

б) $cos 0,7x cos 1,3x - sin 0,7x sin 1,3x = sin 7x cos 9x - sin 9x cos 7x, x \in [-\pi; \pi].$

а) Исходное уравнение: $\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x$.
Применим формулу синуса суммы для левой части уравнения: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \sin(0,2x + 0,8x) = \sin x$.
Применим формулу косинуса разности для правой части уравнения: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
$\cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x = \cos(3x - 2x) = \cos x$.
Уравнение принимает вид: $\sin x = \cos x$.
Разделим обе части уравнения на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x = \pm 1$, а значит равенство $\sin x = \cos x$ не выполняется ($\pm 1 \neq 0$). Следовательно, деление на $\cos x$ не приводит к потере корней.
Получаем $\frac{\sin x}{\cos x} = 1$, что равносильно $\tan x = 1$.
Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство:
$0 \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 3\pi$.
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le \frac{1}{4} + n \le 3$.
Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:
$-\frac{1}{4} \le n \le 3 - \frac{1}{4}$
$-\frac{1}{4} \le n \le \frac{11}{4}$
$-0,25 \le n \le 2,75$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{4}$.
При $n=2$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{9\pi}{4}$.
Все найденные корни принадлежат заданному промежутку $[0; 3\pi]$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.

б) Исходное уравнение: $\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x$.
Применим формулу косинуса суммы для левой части уравнения: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
$\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \cos(0,7x + 1,3x) = \cos(2x)$.
Применим формулу синуса разности для правой части уравнения: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x = \sin(7x - 9x) = \sin(-2x)$.
Так как синус — нечетная функция, $\sin(-2x) = -\sin(2x)$.
Уравнение принимает вид: $\cos(2x) = -\sin(2x)$.
Разделим обе части уравнения на $\cos(2x)$, так как если $\cos(2x) = 0$, то $\sin(2x) = \pm 1$, и равенство $0 = -(\pm 1)$ неверно. Потери корней не будет.
$1 = -\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$, что равносильно $\tan(2x) = -1$.
Общее решение этого уравнения: $2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; \pi]$. Решим двойное неравенство:
$-\pi \le -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \le \pi$.
Разделим все части на $\pi$:
$-1 \le -\frac{1}{8} + \frac{n}{2} \le 1$.
Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям:
$-1 + \frac{1}{8} \le \frac{n}{2} \le 1 + \frac{1}{8}$
$-\frac{7}{8} \le \frac{n}{2} \le \frac{9}{8}$.
Умножим все части на 2:
$-\frac{14}{8} \le n \le \frac{18}{8}$
$-1,75 \le n \le 2,25$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=-1, 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n=-1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi(-1)}{2} = -\frac{\pi}{8} - \frac{4\pi}{8} = -\frac{5\pi}{8}$.
При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = -\frac{\pi}{8}$.
При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = -\frac{\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$.
При $n=2$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8}$.
Все найденные корни принадлежат заданному промежутку $[-\pi; \pi]$.
Ответ: $-\frac{5\pi}{8}, -\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$.

Решите уравнение:

19.16 a) $\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = 1;$

б) $\cos 3x \cos 5x = \sin 3x \sin 5x.$

а) Дано уравнение $\sin2x \cos x + \cos2x \sin x = 1$.
Левая часть этого уравнения соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
В данном случае, пусть $\alpha = 2x$ и $\beta = x$. Применив формулу, мы можем упростить уравнение:
$\sin(2x + x) = 1$
$\sin(3x) = 1$
Это является простейшим тригонометрическим уравнением. Общее решение для уравнения $\sin(y) = 1$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Подставим $3x$ вместо $y$:
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\cos3x \cos5x = \sin3x \sin5x$.
Перенесем выражение из правой части уравнения в левую, изменив знак:
$\cos3x \cos5x - \sin3x \sin5x = 0$
Учитывая, что умножение коммутативно ($\cos3x \cos5x = \cos5x \cos3x$ и $\sin3x \sin5x = \sin5x \sin3x$), левая часть уравнения соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
В данном случае, пусть $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$. Применив формулу, получаем:
$\cos(5x + 3x) = 0$
$\cos(8x) = 0$
Это является простейшим тригонометрическим уравнением. Общее решение для уравнения $\cos(y) = 0$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим $8x$ вместо $y$:
$8x = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.

19.17 a) $\sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = \frac{1}{2}$;

б) $\cos 5x \cos 7x - \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) Дано уравнение: $ \sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = \frac{1}{2} $.

Левая часть этого уравнения представляет собой развернутую формулу синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

В нашем случае $ \alpha = 6x $ и $ \beta = x $. Применяя формулу, "сворачиваем" левую часть:

$ \sin(6x + x) = \sin 7x $.

Таким образом, исходное уравнение упрощается до следующего вида:

$ \sin 7x = \frac{1}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение находится по формуле:

$ 7x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (n - любое целое число).

Мы знаем, что $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $. Подставляем это значение в уравнение:

$ 7x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части равенства на 7:

$ x = \frac{(-1)^n \pi}{42} + \frac{\pi n}{7} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{(-1)^n \pi}{42} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $.

б) Дано уравнение: $ \cos 5x \cos 7x - \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Выражение в левой части уравнения является формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Здесь $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 7x $. Используем формулу для упрощения уравнения:

$ \cos(5x + 7x) = \cos 12x $.

В результате получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ \cos 12x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Общее решение для уравнения вида $ \cos t = a $ записывается как $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $. Применим это к нашему случаю:

$ 12x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Значение арккосинуса равно $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6} $. Подставляем его:

$ 12x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $.

Теперь, чтобы выразить $ x $, делим обе части уравнения на 12:

$ x = \pm \frac{5\pi}{6 \cdot 12} + \frac{2\pi n}{12} $.

Упрощаем полученное выражение:

$ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $.

19.18 a) $\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1;$

б) $\sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = 0,5.$

a) $\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1$

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 6x$ и $\beta = 5x$:

$\cos(6x - 5x) = -1$

$\cos x = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для него имеет вид:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = 0,5$

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 5x$:

$\sin(3x - 5x) = 0,5$

$\sin(-2x) = 0,5$

Так как синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-t) = -\sin t$, уравнение можно переписать в виде:

$-\sin(2x) = 0,5$

$\sin(2x) = -0,5$

Решим это уравнение. Общая формула для решения уравнения $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t=2x$ и $a=-0,5$. Значение $\arcsin(-0,5) = -\frac{\pi}{6}$.

$2x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

19.14 a) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} - t\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3} + t\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} - t\right);$

б) $\cos\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cos\left(\frac{\pi}{12} - t\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - t\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12} + t\right).$

а)

Рассмотрим исходное выражение: $sin(\frac{\pi}{6} + t)cos(\frac{\pi}{3} - t) + sin(\frac{2\pi}{3} + t)sin(\frac{\pi}{3} - t)$.

Наша цель - упростить это выражение, используя тригонометрические тождества и формулы приведения.

1. Преобразуем множители в выражении. Заметим, что сумма некоторых аргументов является константой. Например, $(\frac{\pi}{6} + t) + (\frac{\pi}{3} - t) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

2. Используя это, выразим один аргумент через другой: $\frac{\pi}{3} - t = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + t)$.

3. Применим формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$ к первому слагаемому:

$cos(\frac{\pi}{3} - t) = cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + t)) = sin(\frac{\pi}{6} + t)$.

4. Теперь преобразуем множитель $sin(\frac{2\pi}{3} + t)$ из второго слагаемого. Используем формулу приведения $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$:

$sin(\frac{2\pi}{3} + t) = sin(\pi - \frac{\pi}{3} + t) = sin(\pi - (\frac{\pi}{3} - t)) = sin(\frac{\pi}{3} - t)$.

5. Подставим преобразованные выражения в исходное:

$sin(\frac{\pi}{6} + t) \cdot sin(\frac{\pi}{6} + t) + sin(\frac{\pi}{3} - t) \cdot sin(\frac{\pi}{3} - t) = sin^2(\frac{\pi}{6} + t) + sin^2(\frac{\pi}{3} - t)$.

6. Вспомним, что $\frac{\pi}{3} - t = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + t)$. Применим формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$ ко второму слагаемому в полученной сумме квадратов:

$sin(\frac{\pi}{3} - t) = sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + t)) = cos(\frac{\pi}{6} + t)$.

7. Тогда $sin^2(\frac{\pi}{3} - t) = cos^2(\frac{\pi}{6} + t)$.

8. Подставив это в наше выражение, получаем:

$sin^2(\frac{\pi}{6} + t) + cos^2(\frac{\pi}{6} + t)$.

9. Это основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, где в данном случае $\alpha = \frac{\pi}{6} + t$.

Следовательно, значение выражения не зависит от $t$ и равно 1.

Ответ: $1$.

б)

Рассмотрим исходное выражение: $cos(\frac{\pi}{4} + t)cos(\frac{\pi}{12} - t) - cos(\frac{\pi}{4} - t)cos(\frac{5\pi}{12} + t)$.

Выражение имеет структуру, похожую на формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

1. Обозначим $\alpha = \frac{\pi}{4} + t$ и $\beta = \frac{\pi}{12} - t$. Тогда первое слагаемое равно $cos(\alpha)cos(\beta)$.

2. Преобразуем множители во втором слагаемом, чтобы выразить их через $\alpha$ и $\beta$.

3. Рассмотрим $cos(\frac{\pi}{4} - t)$. Заметим, что $\frac{\pi}{4} - t = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + t) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

Используя формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$, получим:

$cos(\frac{\pi}{4} - t) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha) = sin(\frac{\pi}{4} + t)$.

4. Рассмотрим $cos(\frac{5\pi}{12} + t)$. Заметим, что $\frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi - \pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$.

Тогда аргумент можно представить в виде: $\frac{5\pi}{12} + t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + t = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{12} - t) = \frac{\pi}{2} - \beta$.

Снова используя формулу приведения, получим:

$cos(\frac{5\pi}{12} + t) = cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = sin(\beta) = sin(\frac{\pi}{12} - t)$.

5. Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$cos(\frac{\pi}{4} + t)cos(\frac{\pi}{12} - t) - sin(\frac{\pi}{4} + t)sin(\frac{\pi}{12} - t)$.

6. В наших обозначениях это $cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$, что является формулой для $cos(\alpha + \beta)$.

7. Найдем значение $\alpha + \beta$:

$\alpha + \beta = (\frac{\pi}{4} + t) + (\frac{\pi}{12} - t) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

8. Таким образом, исходное выражение равно $cos(\frac{\pi}{3})$.

9. Вычисляем значение: $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

19.19 Найдите наименьший положительный корень (в градусах) уравнения:

a) $\sin x \cos 45^{\circ} + \cos x \sin 45^{\circ} = \cos 17^{\circ} \cos 13^{\circ} - \sin 17^{\circ} \sin 13^{\circ}$;

б) $\cos x \cos 60^{\circ} - \sin x \sin 60^{\circ} = \sin 200^{\circ} \cos 25^{\circ} + \cos 200^{\circ} \sin 25^{\circ}$.

a) Исходное уравнение: $sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ = \cos 17^\circ \cos 13^\circ - \sin 17^\circ \sin 13^\circ$.

Левую часть уравнения можно упростить, используя формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Применив ее, получаем: $\sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ = \sin(x + 45^\circ)$.

Правую часть уравнения можно упростить, используя формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

Применив ее, получаем: $\cos 17^\circ \cos 13^\circ - \sin 17^\circ \sin 13^\circ = \cos(17^\circ + 13^\circ) = \cos 30^\circ$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $\sin(x + 45^\circ) = \cos 30^\circ$.

Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести обе части к синусу:

$\cos 30^\circ = \sin(90^\circ - 30^\circ) = \sin 60^\circ$.

Получаем уравнение: $\sin(x + 45^\circ) = \sin 60^\circ$.

Общее решение уравнения $\sin A = \sin B$ имеет вид $A = B + 360^\circ \cdot n$ или $A = 180^\circ - B + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Получаем две серии решений:

1) $x + 45^\circ = 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 60^\circ - 45^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 15^\circ + 360^\circ \cdot n$

При $n=0$, $x = 15^\circ$. Это наименьший положительный корень в этой серии.

2) $x + 45^\circ = 180^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x + 45^\circ = 120^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 120^\circ - 45^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 75^\circ + 360^\circ \cdot n$

При $n=0$, $x = 75^\circ$.

Сравнивая наименьшие положительные корни из обеих серий ($15^\circ$ и $75^\circ$), выбираем наименьший из них.

Ответ: $15^\circ$

б) Исходное уравнение: $\cos x \cos 60^\circ - \sin x \sin 60^\circ = \sin 200^\circ \cos 25^\circ + \cos 200^\circ \sin 25^\circ$.

Упростим левую часть уравнения с помощью формулы косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:

$\cos x \cos 60^\circ - \sin x \sin 60^\circ = \cos(x + 60^\circ)$.

Упростим правую часть уравнения с помощью формулы синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$:

$\sin 200^\circ \cos 25^\circ + \cos 200^\circ \sin 25^\circ = \sin(200^\circ + 25^\circ) = \sin 225^\circ$.

Уравнение принимает вид: $\cos(x + 60^\circ) = \sin 225^\circ$.

Вычислим значение в правой части: $\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем уравнение: $\cos(x + 60^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos A = a$ имеет вид $A = \pm \arccos(a) + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ$, получаем:

$x + 60^\circ = \pm 135^\circ + 360^\circ \cdot n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + 60^\circ = 135^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 135^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 75^\circ + 360^\circ \cdot n$

Наименьший положительный корень в этой серии (при $n=0$) равен $75^\circ$.

2) $x + 60^\circ = -135^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = -135^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = -195^\circ + 360^\circ \cdot n$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим $n=1$: $x = -195^\circ + 360^\circ = 165^\circ$.

Сравнивая наименьшие положительные корни из двух серий ($75^\circ$ и $165^\circ$), находим, что наименьший из них равен $75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$