Страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.13 Известно, что $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Найдите:

a) $\text{tg} \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $\text{tg} \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для решения задачи нам понадобится значение $ \text{tg} \, \alpha $. Найдем его, используя данные из условия.

1. Находим $ \cos \alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Выразим из него $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $

Подставим известное значение $ \sin \alpha = -\frac{12}{13} $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $

Отсюда $ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} $.

Согласно условию, угол $ \alpha $ принадлежит интервалу $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательное значение, следовательно:

$ \cos \alpha = -\frac{5}{13} $

2. Находим $ \text{tg} \, \alpha $

Тангенс угла – это отношение синуса к косинусу:

$ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} $

Теперь, зная $ \text{tg} \, \alpha $, можем найти требуемые значения.

а) $ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

Используем формулу тангенса суммы: $ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg} \, x + \text{tg} \, y}{1 - \text{tg} \, x \cdot \text{tg} \, y} $.

$ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \, \alpha + \text{tg} \, \frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg} \, \frac{\pi}{4}} $

Мы знаем, что $ \text{tg} \, \frac{\pi}{4} = 1 $. Подставляем это значение и $ \text{tg} \, \alpha = \frac{12}{5} $ в формулу:

$ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{12}{5} + 1}{1 - \frac{12}{5}} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{5}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}} = -\frac{17}{7} $

Ответ: $ -\frac{17}{7} $.

б) $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $

Используем формулу тангенса разности: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg} \, x - \text{tg} \, y}{1 + \text{tg} \, x \cdot \text{tg} \, y} $.

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \, \alpha - \text{tg} \, \frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg} \, \frac{\pi}{4}} $

Подставляем известные значения $ \text{tg} \, \alpha = \frac{12}{5} $ и $ \text{tg} \, \frac{\pi}{4} = 1 $:

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{12}{5} - 1}{1 + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{12}{5} - \frac{5}{5}}{\frac{5}{5} + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{7}{17} $

Ответ: $ \frac{7}{17} $.

20.14 Известно, что $cos \alpha = \frac{3}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Найдите:

a) $tg \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right)$;

б) $tg \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)$.

По условию задачи известно, что $cos \alpha = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$). Для решения задачи нам понадобится значение $tg \alpha$. Найдем его.

Сначала найдем $sin \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$.

Так как угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), $sin \alpha$ имеет положительное значение:

$sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Теперь найдем $tg \alpha$ по определению: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.

$tg \alpha = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Теперь мы можем приступить к решению подпунктов.

а) $tg(\alpha + \frac{\pi}{3})$

Воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(x+y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}$.

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$. Значение $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Подставим известные значения в формулу:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{tg \alpha + tg(\frac{\pi}{3})}{1 - tg \alpha \cdot tg(\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}}$.

Упростим полученное выражение. Сначала преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $\frac{4}{3} + \sqrt{3} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3}$.

Знаменатель: $1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - 4\sqrt{3}}{3}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{\frac{4 + 3\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - 4\sqrt{3}}{3}} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 - 4\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3 + 4\sqrt{3}$:

$\frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 - 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})} = \frac{4 \cdot 3 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 3 + 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{3^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 12 \cdot 3}{9 - 16 \cdot 3} = \frac{12 + 25\sqrt{3} + 36}{9 - 48} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{-39} = -\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39}$.

Ответ: $-\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39}$.

б) $tg(\alpha - \frac{\pi}{3})$

Воспользуемся формулой тангенса разности: $tg(x-y) = \frac{tg x - tg y}{1 + tg x \cdot tg y}$.

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$.

Подставим известные значения в формулу:

$tg(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \frac{tg \alpha - tg(\frac{\pi}{3})}{1 + tg \alpha \cdot tg(\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{4}{3} - \sqrt{3}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}}$.

Упростим выражение. Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $\frac{4}{3} - \sqrt{3} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{3}$.

Знаменатель: $1 + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{3 + 4\sqrt{3}}{3}$.

Разделим числитель на знаменатель:

$tg(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \frac{\frac{4 - 3\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + 4\sqrt{3}}{3}} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{3 + 4\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3 - 4\sqrt{3}$:

$\frac{(4 - 3\sqrt{3})(3 - 4\sqrt{3})}{(3 + 4\sqrt{3})(3 - 4\sqrt{3})} = \frac{4 \cdot 3 - 4 \cdot 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \cdot 3 + 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{3^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{12 - 16\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 12 \cdot 3}{9 - 16 \cdot 3} = \frac{12 - 25\sqrt{3} + 36}{9 - 48} = \frac{48 - 25\sqrt{3}}{-39} = -\frac{48 - 25\sqrt{3}}{39} = \frac{25\sqrt{3} - 48}{39}$.

Ответ: $\frac{25\sqrt{3} - 48}{39}$.

20.15 Докажите, что прямые $y = 3x + 1$ и $y = 6 - 2x$ пересекаются под углом $45^\circ$.

Для доказательства того, что две прямые пересекаются под определенным углом, можно использовать их угловые коэффициенты. Угол $\alpha$ между двумя прямыми, заданными уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, находится по формуле для тангенса угла между ними:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

Определим угловые коэффициенты для заданных прямых.

Первая прямая: $y = 3x + 1$. Ее угловой коэффициент $k_1 = 3$.

Вторая прямая: $y = 6 - 2x$. Перепишем в стандартном виде $y = -2x + 6$. Ее угловой коэффициент $k_2 = -2$.

Теперь подставим значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{-2 - 3}{1 + 3 \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{-5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{-5}{-5} \right| = |1| = 1$

Мы получили, что тангенс угла между прямыми равен 1. Острый угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Следовательно, мы доказали, что прямые $y = 3x + 1$ и $y = 6 - 2x$ действительно пересекаются под углом $45^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку тангенс угла между прямыми равен 1, угол их пересечения составляет $45^\circ$.

20.16 Точка $K$ — середина стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Чему равен угол между диагональю $AC$ и отрезком $BK$?

Для решения этой задачи можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них: метод координат и чисто геометрический метод.

Способ 1: Метод координат

Введем прямоугольную систему координат. Удобнее всего поместить одну из вершин квадрата в начало координат. Пусть вершина D находится в точке $(0, 0)$. Примем длину стороны квадрата равной $2$, чтобы избежать дробей при нахождении середины стороны. Тогда координаты вершин будут следующими: $D(0, 0)$, $A(0, 2)$, $B(2, 2)$, $C(2, 0)$.

Точка $K$ — середина стороны $CD$. Найдем ее координаты: $K = \left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_C+y_D}{2}\right) = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0)$.

Угол между диагональю $AC$ и отрезком $BK$ — это угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BK}$. Найдем координаты этих векторов: $\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (2 - 0, 0 - 2) = (2, -2)$. $\vec{BK} = (x_K - x_B, y_K - y_B) = (1 - 2, 0 - 2) = (-1, -2)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами можно найти по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{AC} \cdot \vec{BK} = 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = -2 + 4 = 2$.

Найдем длины (модули) векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $|\vec{BK}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла: $\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Следовательно, искомый угол $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

Способ 2: Геометрический (с использованием тригонометрии)

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BCD$, поэтому $\angle BCA = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCK$ (угол $\angle C = 90^\circ$). Сторона $BC = a$. Так как $K$ — середина $CD$, то $CK = \frac{a}{2}$.

Найдем тангенс угла $\angle CBK$: $\tan(\angle CBK) = \frac{CK}{BC} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$.

Пусть $M$ — точка пересечения диагонали $AC$ и отрезка $BK$. Мы ищем угол $\angle KMC$. Рассмотрим треугольник $BMC$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Мы знаем два угла этого треугольника (или их тригонометрические функции): $\angle MCB = \angle BCA = 45^\circ$. $\angle MBC = \angle CBK$, так что $\tan(\angle MBC) = \frac{1}{2}$.

Угол $\angle BMC$ является внешним для треугольника, или можем найти его как $180^\circ - \angle MCB - \angle MBC$. $\angle BMC = 180^\circ - 45^\circ - \arctan\left(\frac{1}{2}\right) = 135^\circ - \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$. Это тупой угол пересечения. Острый угол $\alpha$ будет равен $180^\circ - \angle BMC$. $\alpha = 180^\circ - \left(135^\circ - \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\right) = 45^\circ + \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$.

Чтобы найти численное значение, используем формулу тангенса суммы: $\tan \alpha = \tan\left(45^\circ + \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan\left(\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\right)}{1 - \tan(45^\circ) \cdot \tan\left(\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\right)}$ $\tan \alpha = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3/2}{1/2} = 3$. Следовательно, искомый угол $\alpha = \arctan(3)$.

(Заметим, что $\arctan(3)$ и $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ представляют один и тот же угол, так как если тангенс угла равен $3 = \frac{3}{1}$, то в прямоугольном треугольнике с катетами $3$ и $1$ гипотенуза равна $\sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$, а косинус этого угла равен $\frac{1}{\sqrt{10}}$).

Ответ: Угол равен $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ или, что то же самое, $\arctan(3)$.

21.1 a) $\frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t;$

Б) $\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t};$

В) $\cos^2 t - \cos 2t;$

Г) $\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t.$

а)

Упростим выражение $\frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t$.

Для начала воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$\frac{2 \sin t \cos t}{\cos t} - \sin t$

Сократим $\cos t$ в числителе и знаменателе дроби (при условии, что $\cos t \neq 0$):

$2 \sin t - \sin t$

Выполним вычитание:

$2 \sin t - \sin t = \sin t$

Ответ: $\sin t$.

б)

Упростим выражение $\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t}$.

Представим $\sin 6t$ как синус двойного угла, где угол равен $3t$: $\sin 6t = \sin(2 \cdot 3t)$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, где $\alpha = 3t$:

$\sin 6t = 2 \sin 3t \cos 3t$

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{2 \sin 3t \cos 3t}{\cos^2 3t}$

Сократим $\cos 3t$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos 3t \neq 0$):

$\frac{2 \sin 3t}{\cos 3t}$

Используем определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$2 \tan 3t$

Ответ: $2 \tan 3t$.

в)

Упростим выражение $\cos^2 t - \cos 2t$.

Воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$\cos^2 t - (\cos^2 t - \sin^2 t)$

Раскроем скобки:

$\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin^2 t$

Ответ: $\sin^2 t$.

г)

Упростим выражение $\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t$.

Для числителя дроби используем формулу косинуса двойного угла в виде разности квадратов: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t - \sin t} - \sin t$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)}{\cos t - \sin t} - \sin t$

Сократим дробь на $(\cos t - \sin t)$ (при условии, что $\cos t - \sin t \neq 0$):

$(\cos t + \sin t) - \sin t$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos t + \sin t - \sin t = \cos t$

Ответ: $\cos t$.

21.2 a) $\frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}};

Б) $\frac{\cos 80^{\circ}}{\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}};

В) $\frac{\sin 100^{\circ}}{2 \cos 50^{\circ}};

Г) $\frac{\cos 36^{\circ} + \sin^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}}.$

а)

Для решения этого примера воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Представим числитель $\sin 40^\circ$ как $\sin(2 \cdot 20^\circ)$.

Применим формулу:

$\sin 40^\circ = 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}$.

Сократим $\sin 20^\circ$ в числителе и знаменателе, так как $\sin 20^\circ \neq 0$:

$2 \cos 20^\circ$.

Ответ: $2 \cos 20^\circ$.

б)

Для решения этого примера воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Представим числитель $\cos 80^\circ$ как $\cos(2 \cdot 40^\circ)$.

Применим формулу:

$\cos 80^\circ = \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ$.

Далее, используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:

$\cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = (\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{(\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}$.

Сократим одинаковые множители $(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)$ в числителе и знаменателе (этот множитель не равен нулю):

$\cos 40^\circ - \sin 40^\circ$.

Ответ: $\cos 40^\circ - \sin 40^\circ$.

в)

Для решения этого примера воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Представим числитель $\sin 100^\circ$ как $\sin(2 \cdot 50^\circ)$.

Применим формулу:

$\sin 100^\circ = 2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ}{2 \cos 50^\circ}$.

Сократим $2 \cos 50^\circ$ в числителе и знаменателе, так как $\cos 50^\circ \neq 0$:

$\sin 50^\circ$.

Ответ: $\sin 50^\circ$.

г)

Для решения этого примера используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha$.

Заметим, что $36^\circ = 2 \cdot 18^\circ$. Представим $\cos 36^\circ$ с помощью этой формулы:

$\cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = 1 - 2\sin^2 18^\circ$.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$\frac{(1 - 2\sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$.

Упростим выражение в числителе:

$1 - 2\sin^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ$.

Теперь применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Таким образом, числитель равен $\cos^2 18^\circ$.

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$.

Сократим дробь на $\cos 18^\circ$, так как $\cos 18^\circ \neq 0$:

$\cos 18^\circ$.

Ответ: $\cos 18^\circ$.

Вычислите:

21.3 a) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$;

б) $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$;

в) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$;

г) $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2$.

а) Для вычисления выражения $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

В нашем случае $\alpha = 15^\circ$. Подставляем это значение в формулу:

$2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для вычисления выражения $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ - 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ + \sin^2 75^\circ$.

Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) - 2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ$.

Выражение в скобках, $\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ$, согласно основному тригонометрическому тождеству, равно 1.

Выражение $2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ$ является формулой синуса двойного угла, $\sin(2\alpha)$, где $\alpha = 75^\circ$. Таким образом, $2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = \sin(150^\circ)$.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, находим значение $\sin(150^\circ)$: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставляем полученные значения в исходное выражение: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Выражение $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

В данном случае $\alpha = 15^\circ$. Применим формулу:

$\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.

Значение косинуса 30 градусов является табличным: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Для вычисления выражения $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ + 2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ + \sin^2 15^\circ$.

Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ) + 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$.

Выражение в скобках, $\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ$, по основному тригонометрическому тождеству равно 1.

Выражение $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$ является формулой синуса двойного угла, $\sin(2\alpha)$, где $\alpha = 15^\circ$. Таким образом, $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставляем полученные значения в исходное выражение: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

21.4 a) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8};$

б) $\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4};$

В) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8};$

Г) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2.$

а) Для решения используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$. В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{8}$, следовательно:

$2 \sin\frac{\pi}{8} \cos\frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Преобразуем первое слагаемое, используя следствие из формулы синуса двойного угла: $\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. При $\alpha = \frac{\pi}{8}$ имеем:

$\sin\frac{\pi}{8} \cos\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4}$.

Подставляем табличное значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.

в) Данное выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Для $\alpha = \frac{\pi}{8}$ получаем:

$\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8})^2 = \cos^2\frac{\pi}{8} + 2\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}$.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$(\sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8}) + 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = 1 + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1 + \sin(\frac{\pi}{4})$.

Подставим табличное значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$.

Ответ: $-1$.