Страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.23 Составьте возможное аналитическое задание функции по её графику, изображённому:

а) на рис. 13;

б) на рис. 14.

Рис. 13

Рис. 14

a)

График, представленный на рисунке 13, является графиком кусочно-заданной функции. Функция определяется одной формулой для $x < 0$ и другой для $x \ge 0$.

При $x < 0$ график представляет собой ветвь параболы с вершиной в начале координат. Общее уравнение такой параболы $y = ax^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся одной из точек на графике, например, $(-1, 1)$. Подставляя её координаты в уравнение, получаем: $1 = a \cdot (-1)^2$, что даёт $a=1$. Таким образом, для $x < 0$ функция задаётся формулой $y = x^2$. Для проверки можно взять точку $(-2, 4)$: $y = (-2)^2 = 4$, что соответствует графику.

При $x \ge 0$ график имеет вид волны. Это график тригонометрической функции. Определим её по ключевым точкам: $(0, 0)$, $(\pi/2, 0.5)$ (максимум) и $(\pi, 0)$. Поскольку функция неотрицательна и обращается в ноль в точках $x=0$ и $x=\pi$, её можно описать формулой вида $y = A \sin^2(kx)$. Подставим точку максимума $(\pi/2, 0.5)$: $0.5 = A \sin^2(k \cdot \pi/2)$. Простейшее значение $k$, при котором $\sin(k\pi)=0$, это $k=1$. Тогда для точки максимума получим $0.5 = A \sin^2(\pi/2) = A \cdot 1^2$, откуда $A=0.5$. Следовательно, для $x \ge 0$ функция задаётся формулой $y = 0.5\sin^2(x)$.

Объединив два найденных выражения, получаем аналитическое задание функции:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ 0.5\sin^2(x), & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ 0.5\sin^2(x), & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

б)

График, представленный на рисунке 14, также является графиком кусочно-заданной функции, определённой на луче $[-\pi/2, +\infty)$. Точка, в которой меняется формула, — это $x = \pi/2$.

При $x \ge \pi/2$ график представляет собой луч. Он проходит через точки $(\pi/2, 0)$ и, как видно из сетки, $(\pi, \pi/2)$. Найдём уравнение прямой, проходящей через эти точки. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равен: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\pi/2 - 0}{\pi - \pi/2} = \frac{\pi/2}{\pi/2} = 1$. Используя уравнение прямой с угловым коэффициентом $y = k(x-x_0) + y_0$ и точку $(\pi/2, 0)$, получаем: $y = 1 \cdot (x - \pi/2) + 0$, то есть $y = x - \pi/2$.

На отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$ график представляет собой арку косинусоиды. Максимум функции достигается в точке $(0, 1.5)$, а в точках $x = -\pi/2$ и $x = \pi/2$ функция равна нулю. Такая кривая описывается уравнением вида $y = A \cos(kx)$. Амплитуда $A$ равна максимальному значению функции, т.е. $A = 1.5$. Функция обращается в ноль при $x=\pi/2$, поэтому $1.5 \cos(k \cdot \pi/2) = 0$. Это выполняется, если $k \cdot \pi/2 = \pi/2$, откуда $k=1$. Проверим: функция $y = 1.5 \cos(x)$ в точке $x=0$ даёт $y = 1.5 \cos(0) = 1.5$, а в точках $x=\pm\pi/2$ даёт $y=1.5\cos(\pm\pi/2)=0$. Это полностью соответствует графику.

Таким образом, объединяя обе части, получаем аналитическое задание функции:

$f(x) = \begin{cases} 1.5\cos(x), & \text{если } -\pi/2 \le x < \pi/2 \\ x - \pi/2, & \text{если } x \ge \pi/2 \end{cases}$

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 1.5\cos(x), & \text{если } -\pi/2 \le x < \pi/2 \\ x - \pi/2, & \text{если } x \ge \pi/2 \end{cases}$

13.24 Составьте возможное аналитическое задание функции (предполагается, что $D(f) = R$) по её графику, изображённому:

а) на рис. 15;

б) на рис. 16;

в) на рис. 17;

г) на рис. 18.

Рис. 15

y, O, x, 1, -1, $\frac{\pi}{2}$

Рис. 16

y, O, x, 1, -1, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$

Рис. 17

y, O, x, 1, 2, -1, -2, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$

а) на рис. 15;

График, изображённый на рисунке 15, является кусочно-заданной функцией. Он состоит из двух частей, определённых на разных промежутках оси $x$.

1. При $x \le 0$, график представляет собой прямую линию. Эта линия проходит через начало координат $(0, 0)$ и точку $(-1, 1)$. Найдём уравнение этой прямой вида $y = kx + b$. Так как линия проходит через начало координат, свободный член $b=0$. Угловой коэффициент $k$ можно найти по двум точкам: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 0}{-1 - 0} = -1$. Таким образом, для $x \le 0$ функция задаётся формулой $y = -x$.

2. При $x > 0$, график имеет вид синусоиды. Будем искать её уравнение в виде $y = A \sin(k(x - b)) + C$. Из графика видно, что амплитуда $A=1$, так как максимальное значение равно 1, а минимальное -1. Средняя линия графика совпадает с осью $x$, поэтому вертикальный сдвиг $C=0$. График проходит через точку $(0,0)$, достигает максимума в $x=\pi/2$ и пересекает ось $x$ в $x=\pi$. Это соответствует одному полупериоду, значит полный период $T=2\pi$. Коэффициент $k$ связан с периодом формулой $T = \frac{2\pi}{|k|}$, откуда $|k|=1$. Так как функция возрастает после $(0,0)$, как и стандартный синус, можно взять $k=1$ и горизонтальный сдвиг $b=0$. Таким образом, для $x > 0$ функция задаётся формулой $y = \sin(x)$.

Объединяя обе части, получаем аналитическое задание функции.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le 0 \\ \sin(x), & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б) на рис. 16;

График на рисунке 16 представляет собой гармоническое колебание, которое можно описать функцией косинуса $y = A \cos(k(x - b)) + C$.

Амплитуда $A$ равна 1, так как максимальное значение функции 1, а минимальное -1. Средняя линия — ось $x$, поэтому вертикальный сдвиг $C=0$. Максимум функции достигается при $x=0$, что соответствует стандартной функции косинуса, поэтому горизонтальный сдвиг $b=0$.

Таким образом, функция имеет вид $y = \cos(kx)$. Для нахождения коэффициента $k$ воспользуемся точкой пересечения с осью $x$. Из графика видно, что первый положительный ноль функции находится в точке $x=\pi/3$. Для функции косинуса первый положительный ноль достигается, когда её аргумент равен $\pi/2$. Следовательно, $kx = \pi/2$. Подставив $x=\pi/3$, получаем $k \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$, откуда $k = \frac{3}{2}$.

Итоговая формула функции: $y = \cos(\frac{3}{2}x)$. Проверим период: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3}$. Это согласуется с графиком, где минимум достигается в $x=T/2=2\pi/3$, а следующий ноль в $x=3T/4=\pi$.

Ответ: $y = \cos\left(\frac{3}{2}x\right)$

в) на рис. 17;

График на рисунке 17 является синусоидой. Будем искать её уравнение в виде $y = A \sin(k(x - b)) + C$.

Амплитуда $A=1$ (max=1, min=-1). Вертикальный сдвиг $C=0$ (средняя линия $y=0$). График проходит через начало координат $(0,0)$. Нули функции находятся в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число (например, $-\pi, 0, \pi$). Это означает, что период функции $T=2\pi$. Из $T=\frac{2\pi}{|k|}$ следует $|k|=1$.

Стандартная функция $y=\sin(x)$ возрастает при $x>0$ вблизи нуля. На данном графике функция убывает. Это указывает на то, что график отражён относительно оси $x$. Следовательно, перед функцией должен стоять знак минус.

Таким образом, функция описывается формулой $y = -\sin(x)$. Проверим: при $x=\pi/2$, $y = -\sin(\pi/2) = -1$ (минимум), при $x=-\pi/2$, $y = -\sin(-\pi/2) = 1$ (максимум). Это соответствует графику.

Ответ: $y = -\sin(x)$

г) на рис. 18;

В условии задачи есть пункт «г) на рис. 18», однако в предоставленном материале изображение с рисунком 18 отсутствует. В наличии есть только рисунки 15, 16 и 17. По этой причине решить задачу для пункта г) невозможно.