Страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.10 $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2}, \\ \cos x, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2}. \end{cases}$

Для заданной функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2}, \\ \cos x, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$ проведем исследование на непрерывность и дифференцируемость.

Функции $y = \sin x$, $y = x^2$ и $y = \cos x$ являются элементарными и непрерывны на всей своей области определения. Поэтому данная функция $f(x)$ непрерывна и дифференцируема во всех точках, кроме, возможно, точек "стыка" $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$. Исследуем поведение функции в этих точках.

Исследование на непрерывность

Функция является непрерывной в точке $x=a$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Это равносильно тому, что односторонние пределы равны между собой и равны значению функции: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Проверка в точке $x=0$:
1. Найдём значение функции в точке: $f(0) = \sin(0) = 0$.
2. Найдём левосторонний предел (при $x \to 0^-$, используется ветвь $f(x) = \sin x$):
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin x = \sin(0) = 0$.
3. Найдём правосторонний предел (при $x \to 0^+$, используется ветвь $f(x) = x^2$):
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0^2 = 0$.
Поскольку $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x=0$.

Проверка в точке $x=\frac{\pi}{2}$:
1. Найдём значение функции в точке: $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
2. Найдём левосторонний предел (при $x \to (\frac{\pi}{2})^-$, используется ветвь $f(x) = x^2$):
$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} x^2 = (\frac{\pi}{2})^2 = \frac{\pi^2}{4}$.
3. Найдём правосторонний предел (при $x \to (\frac{\pi}{2})^+$, используется ветвь $f(x) = \cos x$):
$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($\frac{\pi^2}{4} \neq 0$), предел функции в точке $x=\frac{\pi}{2}$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в этой точке. Так как односторонние пределы существуют, но не равны, это разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Функция непрерывна для всех $x \in (-\infty, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, +\infty)$. В точке $x=\frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Исследование на дифференцируемость

Функция дифференцируема в точке $x=a$, если она непрерывна в этой точке и ее левосторонняя производная равна правосторонней производной в этой точке: $f'_-(a) = f'_+(a)$.

Найдем производную функции на каждом из интервалов:
$f'(x) = \begin{cases} (\sin x)' = \cos x, & \text{если } x < 0 \\ (x^2)' = 2x, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ (\cos x)' = -\sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Проверка в точке $x=0$:
Функция непрерывна в $x=0$, поэтому она может быть дифференцируема. Сравним односторонние производные:
1. Левосторонняя производная: $f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} (\cos x) = \cos(0) = 1$.
2. Правосторонняя производная: $f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} (2x) = 2 \cdot 0 = 0$.
Так как $f'_-(0) \neq f'_+(0)$, функция не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Проверка в точке $x=\frac{\pi}{2}$:
Поскольку функция не является непрерывной в точке $x=\frac{\pi}{2}$, она не может быть и дифференцируемой в этой точке (непрерывность — необходимое условие дифференцируемости).

Ответ: Функция дифференцируема для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, +\infty)$. В точках $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$ функция недифференцируема. Производная функции имеет вид: $f'(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x < 0 \\ 2x, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ -\sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$.

11.6 a) $y = \cos x + 1$;

б) $y = \cos x - 2$;

в) $y = \cos x - \frac{1}{2}$;

г) $y = \cos x + 1,5$.

а) $y = \cos x + 1$

Областью значений функции косинус является отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ справедливо двойное неравенство:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Чтобы найти область значений для функции $y = \cos x + 1$, необходимо прибавить 1 к каждой части этого неравенства:
$-1 + 1 \le \cos x + 1 \le 1 + 1$
$0 \le y \le 2$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[0; 2]$.

Ответ: $[0; 2]$.

б) $y = \cos x - 2$

Используем известную область значений для функции $y = \cos x$:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Чтобы найти область значений для функции $y = \cos x - 2$, вычтем 2 из каждой части неравенства:
$-1 - 2 \le \cos x - 2 \le 1 - 2$
$-3 \le y \le -1$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-3; -1]$.

Ответ: $[-3; -1]$.

в) $y = \cos x - \frac{1}{2}$

Начнем с базовой области значений функции косинус:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Чтобы найти область значений для функции $y = \cos x - \frac{1}{2}$, вычтем $\frac{1}{2}$ из каждой части неравенства:
$-1 - \frac{1}{2} \le \cos x - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}$
$-\frac{3}{2} \le y \le \frac{1}{2}$.
Представим в виде десятичных дробей:
$-1,5 \le y \le 0,5$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-1,5; 0,5]$.

Ответ: $[-1,5; 0,5]$.

г) $y = \cos x + 1,5$

Область значений для функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Чтобы найти область значений для функции $y = \cos x + 1,5$, прибавим 1,5 к каждой части неравенства:
$-1 + 1,5 \le \cos x + 1,5 \le 1 + 1,5$
$0,5 \le y \le 2,5$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[0,5; 2,5]$.

Ответ: $[0,5; 2,5]$.

Решите графически уравнение:

11.11 a) $cos x = x + \frac{\pi}{2};$

б) $-cos x = 3x - 1;$

в) $cos x = 2x + 1;$

г) $cos x = -x + \frac{\pi}{2}.$

а) Чтобы решить уравнение $\cos x = x + \frac{\pi}{2}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = x + \frac{\pi}{2}$.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1; 1]$.

График функции $y = x + \frac{\pi}{2}$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $k=1$ и пересечением с осью OY в точке $(0, \frac{\pi}{2})$. Прямая проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(0, \frac{\pi}{2})$.

Построим графики.

Из графика видно, что функции имеют одну общую точку. Найдем её координаты. Подставим $x = -\frac{\pi}{2}$ в обе части уравнения:
Левая часть: $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
Правая часть: $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Так как $0=0$, то $x = -\frac{\pi}{2}$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это единственное решение, сравним производные функций. Производная $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$. Производная $y = x + \frac{\pi}{2}$ равна $y' = 1$. В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ производная косинуса равна $-\sin(-\frac{\pi}{2}) = 1$, что равно производной линейной функции. Это означает, что прямая является касательной к косинусоиде в точке $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. Поскольку косинусоида является выпуклой вверх при $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и выпуклой вниз при $x \in (-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$, а прямая не меняет своей кривизны, других точек пересечения нет.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

б) Чтобы решить уравнение $-\cos x = 3x - 1$ графически, преобразуем его к виду $\cos x = 1 - 3x$. Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = 1 - 3x$.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида.

График функции $y = 1 - 3x$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $k=-3$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 1)$. Прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.

Построим графики.

Очевидно, что графики пересекаются в точке $(0, 1)$, так как при $x=0$:
$\cos(0) = 1$
$1 - 3 \cdot 0 = 1$
Следовательно, $x=0$ является решением уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - (1 - 3x) = \cos x + 3x - 1$. Её производная $f'(x) = -\sin x + 3$. Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то $f'(x)$ всегда положительна ($2 \le f'(x) \le 4$). Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Так как $f(0)=0$, других корней у уравнения нет.

Ответ: $x = 0$.

в) Чтобы решить уравнение $\cos x = 2x + 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = 2x + 1$.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида.

График функции $y = 2x + 1$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $k=2$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 1)$. Прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(-\frac{1}{2}, 0)$.

Построим графики.

Графики пересекаются в точке $(0, 1)$, так как при $x=0$:
$\cos(0) = 1$
$2 \cdot 0 + 1 = 1$
Следовательно, $x=0$ является решением уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - (2x + 1) = \cos x - 2x - 1$. Её производная $f'(x) = -\sin x - 2$. Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то $f'(x)$ всегда отрицательна ($-3 \le f'(x) \le -1$). Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Строго убывающая функция может иметь не более одного корня. Так как $f(0)=0$, то $x=0$ является единственным решением.

Ответ: $x = 0$.

г) Чтобы решить уравнение $\cos x = -x + \frac{\pi}{2}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = -x + \frac{\pi}{2}$.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида.

График функции $y = -x + \frac{\pi}{2}$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $k=-1$ и пересечением с осью OY в точке $(0, \frac{\pi}{2})$. Прямая проходит через точки $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Построим графики.

Из графика видно, что функции имеют одну общую точку. Найдем её координаты, подставив $x = \frac{\pi}{2}$ в обе части уравнения:
Левая часть: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Правая часть: $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$.
Так как $0=0$, то $x = \frac{\pi}{2}$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это единственное решение, сравним производные функций. Производная $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$. Производная $y = -x + \frac{\pi}{2}$ равна $y' = -1$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ производная косинуса равна $-\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$, что равно производной линейной функции. Это означает, что прямая является касательной к косинусоиде в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$. Аналогично пункту а), можно показать, что других точек пересечения нет, так как в точке касания происходит смена направления выпуклости косинусоиды.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

11.7 а) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right) + 1;$

б) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2;$

В) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2};$

Г) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 3.$

а)

Для того чтобы найти область значений функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{2}) + 1$, мы исходим из свойств основной функции косинуса.

Область значений функции $z = \cos(\alpha)$ всегда находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно, независимо от её аргумента $\alpha$. В данном случае аргумент равен $x + \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, мы можем записать следующее двойное неравенство:

$-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{2}) \le 1$

В выражении для функции $y$ к косинусу прибавляется 1. Это соответствует сдвигу всего графика функции вдоль оси ординат (оси Oy) на 1 единицу вверх. Чтобы найти новую область значений, необходимо прибавить 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le \cos(x + \frac{\pi}{2}) + 1 \le 1 + 1$

Упростив выражения, получаем:

$0 \le y \le 2$

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $[0, 2]$

б)

Рассмотрим функцию $y = \cos(x - \frac{\pi}{3}) + 2$.

Область значений для любой функции вида $z = \cos(\alpha)$ есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ справедливо неравенство:

$-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{3}) \le 1$

Данная функция получена из $z = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ прибавлением числа 2, что соответствует сдвигу графика на 2 единицы вверх по оси Oy. Чтобы определить область значений функции $y$, прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-1 + 2 \le \cos(x - \frac{\pi}{3}) + 2 \le 1 + 2$

После вычислений получаем:

$1 \le y \le 3$

Следовательно, область значений функции есть отрезок $[1, 3]$.

Ответ: $[1, 3]$

в)

Найдем область значений для функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}$.

Основой является функция косинуса, значения которой ограничены отрезком $[-1, 1]$. Поэтому:

$-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{2}) \le 1$

Из косинуса вычитается $\frac{1}{2}$, что означает сдвиг графика функции на $\frac{1}{2}$ единицы вниз по оси ординат. Для нахождения новой области значений вычтем $\frac{1}{2}$ из каждой части неравенства:

$-1 - \frac{1}{2} \le \cos(x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}$

Проведем вычисления, приводя числа к общему знаменателю:

$-\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \le y \le \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$-\frac{3}{2} \le y \le \frac{1}{2}$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$

г)

Определим область значений функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 3$.

Мы знаем, что для функции косинуса выполняется следующее свойство:

$-1 \le \cos(\alpha) \le 1$ для любого $\alpha$.

Применим это к нашей функции, где $\alpha = x + \frac{\pi}{6}$:

$-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$

Функция $y$ получена путем вычитания 3 из функции косинуса, что соответствует сдвигу графика на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Вычтем 3 из всех частей неравенства, чтобы найти область значений для $y$:

$-1 - 3 \le \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 3 \le 1 - 3$

Упростив выражение, получим:

$-4 \le y \le -2$

Следовательно, область значений данной функции — это промежуток $[-4, -2]$.

Ответ: $[-4, -2]$

11.8 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x:$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}];$

в) на луче $[-\frac{\pi}{3}; +\infty);$

б) на интервале $(-\pi; \frac{\pi}{4});$

г) на полуинтервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}).$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$ на отрезке, нужно проанализировать её поведение на этом отрезке. Отрезок $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$ целиком находится внутри промежутка $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos x$ является монотонно убывающей. Это означает, что наибольшее значение функция будет принимать на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• Наибольшее значение: $y_{наиб} = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Наименьшее значение: $y_{наим} = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{1}{2}$.

б) на интервале $(-\pi; \frac{\pi}{4})$

Рассмотрим интервал $(-\pi; \frac{\pi}{4})$. Это открытый интервал, поэтому значения на концах не достигаются. Нужно проверить, есть ли на этом интервале точки локального максимума или минимума.

Функция $y = \cos x$ достигает своего глобального максимума, равного $1$, в точках $x = 2\pi n$, где $n$ — целое число. Точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{4})$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом интервале существует и равно $y_{наиб} = \cos(0) = 1$.

Функция $y = \cos x$ достигает своего глобального минимума, равного $-1$, в точках $x = \pi + 2\pi n$. Ни одна из этих точек не принадлежит интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{4})$. Посмотрим на поведение функции у границ интервала. При $x$, стремящемся к $-\pi$ справа, значение $\cos x$ стремится к $\cos(-\pi) = -1$. Однако, так как точка $x = -\pi$ не включена в интервал, значение $-1$ никогда не достигается. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $1$, наименьшего значения не существует.

в) на луче $[-\frac{\pi}{3}; +\infty)$

Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Нам нужно определить, достигаются ли значения $1$ и $-1$ на луче $[-\frac{\pi}{3}; +\infty)$.

Наибольшее значение, равное $1$, функция принимает при $x=2\pi n$. Например, при $n=0$ получаем $x=0$, что принадлежит лучу $[-\frac{\pi}{3}; +\infty)$. Следовательно, $y_{наиб} = 1$.

Наименьшее значение, равное $-1$, функция принимает при $x=\pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$ получаем $x=\pi$, что также принадлежит лучу $[-\frac{\pi}{3}; +\infty)$. Следовательно, $y_{наим} = -1$.

Ответ: наибольшее значение равно $1$, наименьшее значение равно $-1$.

г) на полуинтервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$ на полуинтервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$, нужно найти значения функции в точках экстремума, принадлежащих этому промежутку, а также на его левом конце.

Точки экстремумов функции $y = \cos x$:

• Точка максимума $x=0$ принадлежит полуинтервалу. Значение в этой точке: $y(0) = \cos(0) = 1$.
• Точка минимума $x=\pi$ принадлежит полуинтервалу. Значение в этой точке: $y(\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Значение на левом конце (точка включена): $y(-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Правый конец $x=\frac{3\pi}{2}$ не включен в промежуток, поэтому значение в этой точке не рассматривается.

Сравнивая полученные значения $1$, $-1$ и $\frac{1}{2}$, заключаем, что наибольшее значение функции на данном полуинтервале равно $1$, а наименьшее — $-1$.

Ответ: наибольшее значение равно $1$, наименьшее значение равно $-1$.

11.9 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$:

а) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x \le \frac{\pi}{2} \\ \sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

в) $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0 \\ -\cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

г) $f(x) = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2 - 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Построение графика:
При $x < 0$ строим часть прямой $y = x+1$. Это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ (которая выколота, так как неравенство строгое) и проходящий через точку $(-1, 0)$.
При $x \ge 0$ строим часть графика функции $y = \cos x$. График начинается в точке $(0, 1)$ (которая закрашена, так как неравенство нестрогое) и продолжается вправо как стандартная косинусоида.
Так как предел слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} (x+1) = 1$ и значение функции в точке $x=0$ равно $f(0) = \cos(0) = 1$, то функция непрерывна в точке $x=0$, и части графика плавно соединяются.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 1]$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $x = -1$ (из уравнения $x+1=0$) и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$) (из уравнения $\cos x = 0$).
5. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (-1, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (\frac{4k-1}{2}\pi, \frac{4k+1}{2}\pi)$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup \bigcup_{k=0}^{\infty} (\frac{4k+1}{2}\pi, \frac{4k+3}{2}\pi)$.
6. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и на отрезках $[\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.
Функция убывает на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.
7. Четность/нечетность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
8. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции состоит из луча прямой $y=x+1$ при $x<0$ и части графика $y=\cos x$ при $x \ge 0$. Функция непрерывна на всей числовой оси, область значений $E(f) = (-\infty; 1]$.

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x \le \frac{\pi}{2} \\ \sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$.
Построение графика:
При $x \le \frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = \cos x$. Эта часть графика заканчивается в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$, которая включена.
При $x > \frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = \sin x$. Эта часть графика начинается от точки $(\frac{\pi}{2}, 1)$, которая выколота.
В точке $x=\frac{\pi}{2}$ значение функции слева $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, а предел справа $\lim_{x \to (\pi/2)^+} \sin x = 1$. Следовательно, в этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-1; 1]$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, +\infty)$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ имеет разрыв первого рода.
4. Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} - \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$ (из $\cos x=0$) и $x = \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$ (из $\sin x=0$).
5. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in \bigcup_{k \le 0} (-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi) \cup \bigcup_{k \ge 1} (2k\pi, (2k+1)\pi)$.
$f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k < 0} (\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi) \cup \bigcup_{k \ge 1} ((2k-1)\pi, 2k\pi)$.
6. Промежутки монотонности сложны, функция меняет характер несколько раз.
7. Четность/нечетность: функция общего вида.
8. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График состоит из части косинусоиды ($x \le \frac{\pi}{2}$) и части синусоиды ($x > \frac{\pi}{2}$). В точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция терпит разрыв первого рода. Область значений $E(f) = [-1; 1]$.

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0 \\ -\cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Построение графика:
При $x < 0$ строим ветвь гиперболы $y = -\frac{2}{x}$. Эта ветвь расположена в первом координатном квадранте. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, $\lim_{x \to 0^-} (-\frac{2}{x}) = +\infty$.
При $x \ge 0$ строим график функции $y = -\cos x$. Это косинусоида, отраженная относительно оси $Ox$. График начинается в точке $(0, -1)$.
В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв), так как предел слева равен $+\infty$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty, 0)$ и на $[0, +\infty)$. В точке $x=0$ имеет разрыв второго рода.
4. Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$. При $x<0$ нулей нет.
5. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup \bigcup_{k=0}^{\infty} (\frac{4k+1}{2}\pi, \frac{4k+3}{2}\pi)$.
$f(x) < 0$ при $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (\frac{4k-1}{2}\pi, \frac{4k+1}{2}\pi)$.
6. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и на отрезках $[2\pi k, (2k+1)\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.
Функция убывает на отрезках $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.
7. Четность/нечетность: функция общего вида.
8. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График состоит из ветви гиперболы $y = -2/x$ при $x<0$ и графика $y = -\cos x$ при $x \ge 0$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода. Область значений $E(f) = [-1; +\infty)$.

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2-1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Построение графика:
При $x < 0$ строим график функции $y = -\cos x$. Он заканчивается в выколотой точке $(0, -1)$.
При $x \ge 0$ строим график функции $y = 2x^2-1$. Это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$, ветви которой направлены вверх.
Предел слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} (-\cos x) = -1$. Значение функции в точке $x=0$ равно $f(0) = 2(0)^2 - 1 = -1$. Так как они равны, функция непрерывна в $x=0$.

Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Нули функции: $x = -\frac{\pi}{2} - \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$ (из $-\cos x=0$) и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (из $2x^2-1=0$).
5. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \cup \bigcup_{k=0}^{\infty} (-\frac{(4k+3)\pi}{2}, -\frac{(4k+1)\pi}{2})$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (-\frac{(4k+1)\pi}{2}, -\frac{(4k-1)\pi}{2})$.
6. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на $[-\pi, +\infty)$ и на отрезках $[-(2k+1)\pi, -2k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.
Функция убывает на отрезках $[-2k\pi, -(2k-1)\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.
7. Четность/нечетность: функция общего вида.
8. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График состоит из части графика $y=-\cos x$ при $x<0$ и ветви параболы $y=2x^2-1$ при $x \ge 0$. Функция непрерывна на всей числовой оси, область значений $E(f) = [-1; +\infty)$.