Страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.19 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi, \\ -(x - \pi)^2, & \text{если } x > \pi. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-3)$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, $f(2\pi - 3)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Вычислите: f(-3), f($\frac{\pi}{2}$), f(2$\pi$ - 3)

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Вычисление $f(-3)$:
  Аргумент $x = -3$. Так как $-3 < 0$, используем первую формулу: $f(x) = -x^2$.
  $f(-3) = -(-3)^2 = -9$.

• Вычисление $f(\frac{\pi}{2})$:
  Аргумент $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi$ (приблизительно $0 \le 1.57 \le 3.14$), используем вторую формулу: $f(x) = \sin x$.
  $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

• Вычисление $f(2\pi - 3)$:
  Аргумент $x = 2\pi - 3$. Оценим его значение: $2\pi - 3 \approx 2 \cdot 3.14 - 3 = 6.28 - 3 = 3.28$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $2\pi - 3 > \pi$. Используем третью формулу: $f(x) = -(x - \pi)^2$.
  $f(2\pi - 3) = -((2\pi - 3) - \pi)^2 = -(\pi - 3)^2 = -(9 - 6\pi + \pi^2) = -9 + 6\pi - \pi^2$.

Ответ: $f(-3) = -9$; $f(\frac{\pi}{2}) = 1$; $f(2\pi - 3) = -(\pi - 3)^2$.

б) постройте график функции y = f(x)

График функции $y = f(x)$ состоит из трех частей:

1. На промежутке $(-\infty; 0)$ это часть параболы $y = -x^2$ с ветвями, направленными вниз.
2. На отрезке $[0; \pi]$ это одна арка синусоиды $y = \sin x$.
3. На промежутке $(\pi; +\infty)$ это часть параболы $y = -(x - \pi)^2$, которая является параболой $y = -x^2$, сдвинутой вправо на $\pi$, с ветвями, направленными вниз.

Функция непрерывна в точках "стыковки" $x=0$ и $x=\pi$:

• При $x=0$: $\lim_{x\to 0^-} (-x^2) = 0$ и $f(0) = \sin(0) = 0$.
• При $x=\pi$: $f(\pi) = \sin(\pi) = 0$ и $\lim_{x\to \pi^+} (-(x-\pi)^2) = 0$.

График функции выглядит следующим образом:

Ответ: График функции представлен выше.

в) прочитайте график функции y = f(x)

Проведем анализ функции на основе ее формулы и графика.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Максимальное значение функции равно 1, и функция может принимать любые отрицательные значения. $E(f) = (-\infty; 1]$.
3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения, так как в точках $x=0$ и $x=\pi$ значения "сшиваемых" частей совпадают.
4. Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат. Например, $f(-3)=-9$, а $f(3) = \sin(3) \approx 0.14$. $f(-3) \neq f(3)$ и $f(-3) \neq -f(3)$. Это функция общего вида.
5. Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$ (из $f(x)=\sin x$) и при $x=\pi$ (из $f(x)=\sin x$).
6. Промежутки знакопостоянства:
   • $f(x) > 0$ при $x \in (0; \pi)$.
   • $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\pi; +\infty)$.
7. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
   • Функция возрастает на промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{2}]$.
   • Функция убывает на промежутке $[\frac{\pi}{2}; +\infty)$.
8. Точки экстремума и экстремумы:
   • В точке $x = \frac{\pi}{2}$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
   • $x_{max} = \frac{\pi}{2}$ — точка максимума.
   • $y_{max} = f(\frac{\pi}{2}) = 1$ — максимум функции (глобальный максимум).
   • Точек минимума (локальных и глобальных) у функции нет.

Ответ: Свойства функции подробно описаны в пунктах 1-8.

10.20 Дана функция $y = f(x)$, где

$$f(x) = \begin{cases} \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right), & \text{если } -\frac{3\pi}{2} \le x \le 0, \\ x + 1, & \text{если } 0 < x < 2, \\ -\sqrt{x - 2} + 3, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$$

а) Вычислите: $f(0)$, $f(6)$, $f(-\pi - 2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

Данная кусочно-заданная функция $f(x)$ определена на трех интервалах:

$f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ при $-\frac{3\pi}{2} \le x \le 0$,

$f(x) = x + 1$ при $0 < x < 2$,

$f(x) = -\sqrt{x - 2} + 3$ при $x \ge 2$.

а) Вычислите: f(0), f(6), f(-π - 2);

Для вычисления значения функции в точке необходимо определить, какому из трех промежутков принадлежит аргумент $x$.

• Вычисление $f(0)$:
  Точка $x = 0$ принадлежит первому промежутку $[-\frac{3\pi}{2}, 0]$, так как неравенство $-\frac{3\pi}{2} \le 0 \le 0$ верно. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$.
  По формуле приведения, $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$.
  $f(0) = \sin(0 + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

• Вычисление $f(6)$:
  Точка $x = 6$ принадлежит третьему промежутку $[2, +\infty)$, так как $6 \ge 2$. Следовательно, используем третью формулу: $f(x) = -\sqrt{x - 2} + 3$.
  $f(6) = -\sqrt{6 - 2} + 3 = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1$.

• Вычисление $f(-\pi - 2)$:
  Сначала определим, в какой промежуток попадает значение $x = -\pi - 2$. Область определения функции $D(f) = [-\frac{3\pi}{2}, +\infty)$. Сравним $x = -\pi - 2$ с левой границей области определения $-\frac{3\pi}{2}$.
  Приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, значит $-\pi - 2 \approx -3.14 - 2 = -5.14$.
  $-\frac{3\pi}{2} \approx -\frac{3 \times 3.14}{2} = -4.71$.
  Так как $-5.14 < -4.71$, то $-\pi - 2 < -\frac{3\pi}{2}$.
  Это означает, что точка $x = -\pi - 2$ не входит в область определения функции $f(x)$. Следовательно, значение функции в этой точке не определено.

Ответ: $f(0) = 1$, $f(6) = 1$, $f(-\pi - 2)$ не определено.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем промежутке.

1. На промежутке $[-\frac{3\pi}{2}, 0]$ строим график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$. Используя формулу приведения, получаем $y = \cos(x)$. Это часть графика косинусоиды. Найдем значения в ключевых точках этого отрезка:
   $f(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$. Точка $(-3\pi/2, 0)$.
   $f(-\pi) = \cos(-\pi) = -1$. Точка $(-\pi, -1)$.
   $f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(-\pi/2, 0)$.
   $f(0) = \cos(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.
   Все точки на концах этого интервала являются закрашенными (включены в график).

2. На интервале $(0, 2)$ строим график функции $y = x + 1$. Это график прямой линии. Так как интервал строгий, точки на концах будут выколотыми.
   При $x \to 0^+$, $y \to 1$. Точка $(0, 1)$ — выколотая.
   При $x \to 2^-$, $y \to 3$. Точка $(2, 3)$ — выколотая.
   Соединяем эти точки отрезком прямой.

3. На луче $[2, +\infty)$ строим график функции $y = -\sqrt{x - 2} + 3$. Это ветвь параболы, симметричной относительно горизонтальной оси. График получается из $y=\sqrt{x}$ смещением на 2 единицы вправо, отражением относительно оси Ox и смещением на 3 единицы вверх. Найдем значения в нескольких точках:
   $f(2) = -\sqrt{2-2} + 3 = 3$. Точка $(2, 3)$ — закрашенная (начало ветви).
   $f(3) = -\sqrt{3-2} + 3 = 2$. Точка $(3, 2)$.
   $f(6) = -\sqrt{6-2} + 3 = 1$. Точка $(6, 1)$.
   $f(11) = -\sqrt{11-2} + 3 = 0$. Точка $(11, 0)$.

Описание графика:
График начинается в точке $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$, идет вниз до локального минимума в точке $(-\pi, -1)$, затем возрастает, проходя через точку $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ до точки $(0, 1)$. В точке $(0, 1)$ график косинуса плавно переходит в отрезок прямой, который идет до точки $(2, 3)$. В точке $(2, 3)$ прямая переходит в ветвь параболы, которая убывает и пересекает ось Ox в точке $(11, 0)$. Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Описание построения и итогового вида графика представлены выше.

в) прочитайте график функции y = f(x).

Прочитать график функции означает описать ее основные свойства.

• Область определения: $D(f) = [-\frac{3\pi}{2}, +\infty)$.

• Множество значений: $E(f) = (-\infty, 3]$.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-\frac{3\pi}{2}, +\infty)$.

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x) = 0$ при $x = -\frac{3\pi}{2}$, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = 11$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2}, 11)$.
  $f(x) < 0$ при $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}) \cup (11, +\infty)$.

• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
  Функция возрастает на промежутке $[-\pi, 2]$.
  Функция убывает на промежутках $[-\frac{3\pi}{2}, -\pi]$ и $[2, +\infty)$.

• Экстремумы функции:
  $x_{min} = -\pi$ — точка локального минимума, $f(-\pi) = -1$.
  $x_{max} = 2$ — точка локального максимума, $f(2) = 3$.
  $x = -\frac{3\pi}{2}$ — точка локального максимума (на границе области определения), $f(-\frac{3\pi}{2}) = 0$.
  Наибольшее значение функции: $y_{max} = 3$ (достигается при $x=2$).
  Наименьшего значения функция не имеет (неограничена снизу).

• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.

• Периодичность: Функция не является периодической.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

Решите графически уравнение:

10.21 a) $\sin x = x + \pi;$

б) $\sin x = 2x;$

в) $\sin x + x = 0;$

г) $\sin x = 2x - 2\pi.$

а) $\sin x = x + \pi$

Для решения этого уравнения графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \sin x$ и $y_2 = x + \pi$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

График функции $y_1 = \sin x$ — это синусоида. Это периодическая функция с периодом $2\pi$, и ее значения находятся в пределах от $-1$ до $1$.

График функции $y_2 = x + \pi$ — это прямая линия. Она имеет угловой коэффициент, равный $1$, и пересекает ось $y$ в точке $(0, \pi)$ и ось $x$ в точке $(-\pi, 0)$.

Нанесем оба графика на координатную плоскость. Мы можем заметить, что прямая $y = x + \pi$ проходит через точку $(-\pi, 0)$. Проверим, лежит ли эта точка на синусоиде: $y_1(-\pi) = \sin(-\pi) = 0$. Так как обе функции в точке $x = -\pi$ принимают значение $0$, их графики пересекаются в точке $(-\pi, 0)$.

Чтобы определить, есть ли другие решения, рассмотрим области значений функций. Поскольку $y = \sin x$ всегда находится в диапазоне $[-1, 1]$, то и $y = x + \pi$ тоже должно находиться в этом диапазоне. Решим неравенство: $-1 \le x + \pi \le 1$, что дает нам $-\pi - 1 \le x \le 1 - \pi$. При $x > 1 - \pi$ (примерно $x > -2.14$) значение $x + \pi$ становится больше $1$, а при $x < -\pi - 1$ (примерно $x < -4.14$) значение $x + \pi$ становится меньше $-1$. В обоих случаях пересечений с синусоидой быть не может. В интервале $[-\pi - 1, 1 - \pi]$ графики имеют только одну точку пересечения, которую мы уже нашли. Таким образом, $x = -\pi$ является единственным решением.

Ответ: $x = -\pi$.

б) $\sin x = 2x$

Рассмотрим графики функций $y_1 = \sin x$ и $y_2 = 2x$. Решением уравнения будет абсцисса точки их пересечения.

График $y_1 = \sin x$ — это синусоида.

График $y_2 = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $2$.

Построим графики. Очевидно, что оба графика проходят через начало координат $(0, 0)$, так как $\sin(0) = 0$ и $2 \cdot 0 = 0$. Следовательно, $x = 0$ является решением уравнения.

Сравним поведение функций вблизи нуля. В точке $x=0$ касательная к синусоиде имеет уравнение $y=x$ (так как производная $\sin x$ в точке $0$ равна $\cos(0)=1$). Угловой коэффициент прямой $y=2x$ равен $2$. Поскольку $2 > 1$, прямая $y=2x$ растет быстрее, чем $y=\sin x$ при $x > 0$, и убывает быстрее при $x < 0$. Это означает, что для $x \ne 0$ в некоторой окрестности нуля $|2x| > |\sin x|$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - 2x$. Ее производная $f'(x) = \cos x - 2$. Так как $\cos x \le 1$, то $f'(x) \le 1 - 2 = -1$. Производная всегда отрицательна, следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение $0$) не более одного раза. Мы уже нашли, что $f(0) = 0$, значит, $x=0$ — это единственное решение.

Ответ: $x = 0$.

в) $\sin x + x = 0$

Перепишем уравнение в виде $\sin x = -x$. Для его решения построим графики функций $y_1 = \sin x$ и $y_2 = -x$.

График $y_1 = \sin x$ — синусоида.

График $y_2 = -x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $-1$. Она является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

При построении графиков видно, что они пересекаются в начале координат, так как $\sin(0) = 0$ и $-0 = 0$. Таким образом, $x = 0$ — это решение.

Чтобы доказать, что это решение единственное, рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + x$. Найдем ее производную: $f'(x) = \cos x + 1$. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $0 \le \cos x + 1 \le 2$. Производная $f'(x)$ всегда неотрицательна и обращается в ноль только в отдельных точках вида $x = \pi + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Следовательно, она может принимать значение $0$ только один раз. Так как $f(0)=0$, то $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 0$.

г) $\sin x = 2x - 2\pi$

Решим уравнение графически, построив графики функций $y_1 = \sin x$ и $y_2 = 2x - 2\pi$.

График $y_1 = \sin x$ — синусоида.

График $y_2 = 2x - 2\pi$ — прямая линия с угловым коэффициентом $2$. Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат: если $x = 0$, то $y = -2\pi$. Точка $(0, -2\pi)$. если $y = 0$, то $2x - 2\pi = 0$, откуда $x = \pi$. Точка $(\pi, 0)$.

Построим графики. Прямая $y = 2x - 2\pi$ проходит через точку $(\pi, 0)$. Проверим, лежит ли эта точка на графике синусоиды: $y_1(\pi) = \sin(\pi) = 0$. Поскольку значения обеих функций в точке $x = \pi$ совпадают, их графики пересекаются в точке $(\pi, 0)$. Следовательно, $x = \pi$ является решением.

Для проверки единственности решения рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - (2x - 2\pi) = \sin x - 2x + 2\pi$. Ее производная $f'(x) = \cos x - 2$. Как и в пункте б), эта производная всегда отрицательна ($f'(x) \le -1$). Значит, функция $f(x)$ строго убывает и может иметь не более одного корня. Мы уже нашли, что $f(\pi) = \sin(\pi) - 2\pi + 2\pi = 0$. Таким образом, $x = \pi$ — это единственное решение.

Ответ: $x = \pi$.

10.17 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-2), f(0), f(1);$

б) постройте график функции $y = f(x);$

в) прочитайте график функции $y = f(x).$

а) Вычислите: f(-2), f(0), f(1);

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi \end{cases}$

1. Для вычисления $f(-2)$ необходимо выбрать ту часть формулы, условие для которой выполняется при $x = -2$. Так как $-2 < 0$, используем первую ветвь функции:

$f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5$

2. Для вычисления $f(0)$ аргумент $x=0$ удовлетворяет условию $0 \le x \le \pi$ второй ветви функции:

$f(0) = \sin(0) = 0$

3. Для вычисления $f(1)$ аргумент $x=1$ также удовлетворяет условию $0 \le x \le \pi$ (поскольку $\pi \approx 3.14$), поэтому снова используем вторую ветвь:

$f(1) = \sin(1)$

Ответ: $f(-2) = -0.5$; $f(0) = 0$; $f(1) = \sin(1)$.

б) постройте график функции y = f(x);

График данной функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ это график функции $y = \frac{1}{x}$. Он представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в третьей координатной четверти. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

2. На отрезке $[0, \pi]$ это график функции $y = \sin x$. Он представляет собой одну "арку" синусоиды, которая начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и заканчивается в точке $(\pi, 0)$. Концевые точки отрезка, $(0, 0)$ и $(\pi, 0)$, включены в график.

Итоговый график функции $y = f(x)$ показан на рисунке ниже.

Ответ: График функции, состоящий из ветви гиперболы и арки синусоиды, представлен на рисунке выше.

в) прочитайте график функции y = f(x).

Основные свойства функции $y = f(x)$, установленные на основе ее графика и определения:

• Область определения $D(f)$: Объединение промежутков $(-\infty, 0)$ и $[0, \pi]$, что дает $(-\infty, \pi]$.
• Множество значений $E(f)$: Объединение множеств $(-\infty, 0)$ (для гиперболы) и $[0, 1]$ (для синуса), что дает $(-\infty, 0) \cup [0, 1]$.
• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $f(x)=0$ при $x=0$ и $x=\pi$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ (функция положительна) на интервале $(0, \pi)$.
  • $f(x) < 0$ (функция отрицательна) на интервале $(-\infty, 0)$.
• Монотонность функции:
  • Функция возрастает на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.
  • Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.
• Экстремумы функции:
  • $x_{max} = \frac{\pi}{2}$ — точка глобального максимума, $y_{max} = f(\frac{\pi}{2}) = 1$.
  • $x=0$ и $x=\pi$ — точки локального минимума, $f(0)=0$ и $f(\pi)=0$.
  • Глобального минимума функция не имеет, так как она не ограничена снизу ($\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\infty$).
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x=0$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.
• Четность и нечетность: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее область определения $(-\infty, \pi]$ несимметрична относительно начала координат.

Ответ: Основные свойства функции (область определения и значений, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, непрерывность и четность) детально описаны выше.

10.22 a)

$ \sin x = \frac{2}{\pi}x; $

б) $ \sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3. $

Для решения уравнения $ \sin x = \frac{2}{\pi}x $ воспользуемся графическим методом. Построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = \frac{2}{\pi}x $. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $ y = \sin x $ — это синусоида, значения которой лежат в пределах от -1 до 1.

График функции $ y = \frac{2}{\pi}x $ — это прямая, проходящая через начало координат (точку (0, 0)) с угловым коэффициентом $ k = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 $.

Найдем возможные точки пересечения путем подстановки ключевых значений.

1. Пусть $ x = 0 $.
Для первой функции: $ y = \sin(0) = 0 $.
Для второй функции: $ y = \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0 $.
Поскольку значения совпали, $ x = 0 $ является корнем уравнения.

2. Пусть $ x = \frac{\pi}{2} $.
Для первой функции: $ y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.
Для второй функции: $ y = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 $.
Значения снова совпали, значит, $ x = \frac{\pi}{2} $ также является корнем.

3. Пусть $ x = -\frac{\pi}{2} $.
Для первой функции: $ y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $.
Для второй функции: $ y = \frac{2}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1 $.
Значения совпали, следовательно, $ x = -\frac{\pi}{2} $ — третий корень.

Рассмотрим поведение функций при $ |x| > \frac{\pi}{2} $.

Если $ x > \frac{\pi}{2} $, то $ \frac{2}{\pi}x > \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 $. Таким образом, значения линейной функции $ y = \frac{2}{\pi}x $ будут больше 1. В то же время, значения функции $ y = \sin x $ не могут превышать 1. Следовательно, при $ x > \frac{\pi}{2} $ графики не пересекаются.

Если $ x < -\frac{\pi}{2} $, то $ \frac{2}{\pi}x < \frac{2}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1 $. Значения линейной функции $ y = \frac{2}{\pi}x $ будут меньше -1. В то же время, значения функции $ y = \sin x $ не могут быть меньше -1. Следовательно, при $ x < -\frac{\pi}{2} $ графики также не пересекаются.

Таким образом, уравнение имеет ровно три решения.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2} $.

Для решения уравнения $ \sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3 $ рассмотрим графики функций $ y = \sin x $ и $ y = -\frac{4}{\pi}x + 3 $.

Область значений функции $ y = \sin x $ — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что точки пересечения могут существовать только при тех значениях $ x $, для которых значения функции $ y = -\frac{4}{\pi}x + 3 $ также принадлежат отрезку $ [-1, 1] $.

Решим двойное неравенство: $ -1 \le -\frac{4}{\pi}x + 3 \le 1 $

Вычтем 3 из всех частей неравенства: $ -1 - 3 \le -\frac{4}{\pi}x \le 1 - 3 $
$ -4 \le -\frac{4}{\pi}x \le -2 $

Умножим все части неравенства на $ -\frac{\pi}{4} $ и поменяем знаки неравенства на противоположные: $ -2 \cdot (-\frac{\pi}{4}) \le x \le -4 \cdot (-\frac{\pi}{4}) $
$ \frac{\pi}{2} \le x \le \pi $

Это означает, что решения уравнения (если они есть) могут лежать только в отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $.

Проверим значение $ x = \frac{\pi}{2} $:
$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $
$ -\frac{4}{\pi} \cdot (\frac{\pi}{2}) + 3 = -2 + 3 = 1 $
Так как $ 1 = 1 $, то $ x = \frac{\pi}{2} $ является решением уравнения.

Чтобы определить, есть ли другие решения на отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $, проанализируем поведение функций.

Рассмотрим функцию $ f(x) = \sin x - (-\frac{4}{\pi}x + 3) = \sin x + \frac{4}{\pi}x - 3 $. Нам нужно найти нули этой функции на отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $.

Найдем ее производную: $ f'(x) = (\sin x + \frac{4}{\pi}x - 3)' = \cos x + \frac{4}{\pi} $

На отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $ функция $ \cos x $ принимает значения от -1 до 0. Значение $ \frac{4}{\pi} \approx 1.27 $.

Поэтому на данном отрезке производная $ f'(x) = \cos x + \frac{4}{\pi} $ всегда будет положительной, так как наименьшее значение $ \cos x $ равно -1, а $ -1 + \frac{4}{\pi} > 0 $.

Поскольку $ f'(x) > 0 $ на отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $, функция $ f(x) $ является строго возрастающей на этом отрезке. Строго возрастающая функция может пересечь ось абсцисс (т.е. принять значение 0) не более одного раза.

Мы уже нашли, что $ f(\frac{\pi}{2}) = 0 $. Поскольку функция строго возрастает, для любого $ x $ из интервала $ (\frac{\pi}{2}, \pi] $ будет выполняться $ f(x) > f(\frac{\pi}{2}) $, то есть $ f(x) > 0 $.

Следовательно, других корней на этом отрезке нет, и уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} $.

10.18 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x + 2\pi, \text{ если } x \le -\pi, \\ \sin x, \text{ если } -\pi < x \le 0, \\ -2x, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-\pi - 2)$, $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$, $f(2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Вычислите: f(-π - 2), f(-π/6), f(2);

Для вычисления значений функции необходимо определить, какому из трех интервалов, на которых задана функция, принадлежит аргумент.

1. Вычислим $f(-\pi - 2)$.
   Поскольку $\pi \approx 3,14$, то $-\pi - 2 \approx -3,14 - 2 = -5,14$.
   Это значение удовлетворяет условию $x \le -\pi$, так как $-5,14 \le -3,14$.
   Следовательно, используем формулу $f(x) = 2x + 2\pi$.
   $f(-\pi - 2) = 2(-\pi - 2) + 2\pi = -2\pi - 4 + 2\pi = -4$.

2. Вычислим $f(-\frac{\pi}{6})$.
   Значение аргумента $x = -\frac{\pi}{6}$ удовлетворяет условию $-\pi < x \le 0$.
   Следовательно, используем формулу $f(x) = \sin x$.
   $f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

3. Вычислим $f(2)$.
   Значение аргумента $x = 2$ удовлетворяет условию $x > 0$.
   Следовательно, используем формулу $f(x) = -2x$.
   $f(2) = -2 \cdot 2 = -4$.

Ответ: $f(-\pi - 2) = -4$; $f(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$; $f(2) = -4$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из трех частей, соответствующих трем интервалам определения:

• На промежутке $(-\infty, -\pi]$ строим график функции $y = 2x + 2\pi$. Это луч, проходящий через точки $(-2\pi, -2\pi)$ и $(-\pi, 0)$. Конечная точка луча $(-\pi, 0)$ включена.

• На промежутке $(-\pi, 0]$ строим график функции $y = \sin x$. Это часть синусоиды, которая начинается в точке $(-\pi, 0)$ (точка выколота, но совпадает с конечной точкой предыдущего луча), проходит через точку минимума $(-\frac{\pi}{2}, -1)$ и заканчивается в точке $(0, 0)$ (точка включена).

• На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = -2x$. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ (точка выколота, но совпадает с конечной точкой предыдущей части графика) и проходящий через точку $(1, -2)$.

Поскольку значения функции в точках "стыка" $x=-\pi$ и $x=0$ совпадают, график является непрерывной линией.

Ответ: График функции представлен на рисунке выше.

в) прочитайте график функции y = f(x).

Свойства функции $y=f(x)$, определенные по ее графику:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел $x$.

• Область значений: $E(f) = (-\infty; 0]$. Максимальное значение функции равно 0, а снизу функция не ограничена.

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x) = 0$ при $x = -\pi$ и $x = 0$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\pi) \cup (-\pi, 0) \cup (0, +\infty)$.
  $f(x) > 0$ — таких промежутков нет.

• Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
  Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\pi]$ и $[-\frac{\pi}{2}, 0]$.
  Функция убывает на промежутках $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ и $[0, +\infty)$.

• Точки экстремума:
  $x_{max1} = -\pi$ — точка локального максимума, $f(-\pi) = 0$.
  $x_{max2} = 0$ — точка локального максимума, $f(0) = 0$.
  $x_{min} = -\frac{\pi}{2}$ — точка локального минимума, $f(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.