Страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.21 Вычислите $\sin t + \cos t$, если $\operatorname{tg} t - \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Для решения задачи сначала найдем значение $ \operatorname{tg} t $. Пусть $ x = \operatorname{tg} t $. Тогда данное уравнение $ \operatorname{tg} t - \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{7}{12} $ можно переписать в виде:

$ x - \frac{1}{x} = -\frac{7}{12} $

Приведем уравнение к общему знаменателю $ 12x $ (при условии $ x \ne 0 $, что следует из вида уравнения):

$ 12x \cdot x - 12x \cdot \frac{1}{x} = 12x \cdot \left(-\frac{7}{12}\right) $

$ 12x^2 - 12 = -7x $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 12x^2 + 7x - 12 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 25}{2 \cdot 12} = \frac{-32}{24} = -\frac{4}{3} $

Таким образом, мы получили два возможных значения для $ \operatorname{tg} t $: $ \frac{3}{4} $ и $ -\frac{4}{3} $.

Согласно условию, угол $ t $ находится в интервале $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $, что соответствует первой координатной четверти. В первой четверти значения синуса, косинуса и тангенса положительны. Следовательно, мы должны выбрать положительное значение для тангенса:

$ \operatorname{tg} t = \frac{3}{4} $

Теперь, зная тангенс, найдем синус и косинус. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ 1 + \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $:

$ \frac{1}{\cos^2 t} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} $

Отсюда $ \cos^2 t = \frac{16}{25} $. Поскольку $ t $ находится в первой четверти, $ \cos t > 0 $, и мы берем положительный корень:

$ \cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $

Теперь найдем синус, используя определение тангенса $ \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $:

$ \sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} $

Наконец, вычислим искомую сумму $ \sin t + \cos t $:

$ \sin t + \cos t = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} $

Ответ: $ \frac{7}{5} $.

7.22 Постройте график функции:

а) $y = \cos^2 x + \sin^2 x;$

б) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x};$

в) $y = \sin^2 \sqrt{x} + \cos^2 \sqrt{x};$

г) $y = \sin^2 \frac{1}{x^2 - 4} + \cos^2 \frac{1}{x^2 - 4}.$

а) $y = \cos^2 x + \sin^2 x$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для любого значения $\alpha$. В данном случае $\alpha = x$. Таким образом, функция упрощается до $y = 1$.
Область определения для функций $\sin x$ и $\cos x$ — все действительные числа. Следовательно, функция $y = \cos^2 x + \sin^2 x$ определена для всех $x \in (-\infty, +\infty)$.
Графиком функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 1)$.
Ответ: График функции — это прямая $y=1$.

б) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = \frac{1}{x}$, получаем, что $y = 1$.
Однако, эта функция определена только для тех значений $x$, для которых определен ее аргумент $\frac{1}{x}$. Область определения функции (ОДЗ) находится из условия, что знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Графиком функции является прямая $y = 1$ с выколотой точкой при $x = 0$. Координаты выколотой точки — $(0, 1)$.
Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

в) $y = \sin^2 \sqrt{x} + \cos^2 \sqrt{x}$

По основному тригонометрическому тождеству, где $\alpha = \sqrt{x}$, функция упрощается до $y = 1$.
Найдем область определения (ОДЗ) этой функции. Аргумент тригонометрических функций $\sqrt{x}$ определен только для неотрицательных значений $x$. То есть, $x \ge 0$.
Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.
Графиком функции является луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий вправо вдоль прямой $y=1$.
Ответ: График функции — это луч, начинающийся в точке $(0, 1)$ и идущий вдоль прямой $y=1$ в положительном направлении оси $x$.

г) $y = \sin^2 \frac{1}{x^2 - 4} + \cos^2 \frac{1}{x^2 - 4}$

Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = \frac{1}{x^2 - 4}$. Получаем $y = 1$.
Теперь найдем область определения (ОДЗ). Аргумент $\frac{1}{x^2 - 4}$ определен, когда знаменатель не равен нулю:
$x^2 - 4 \neq 0$
$x^2 \neq 4$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
Графиком функции является прямая $y = 1$ с двумя выколотыми точками: при $x = -2$ и $x = 2$. Координаты выколотых точек — $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.
Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

7.19 Известно, что $\text{tg}t + \text{ctg}t = 2,3$. Вычислите $\text{tg}^2t + \text{ctg}^2t$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Исходное выражение:

$ \tg t + \ctg t = 2,3 $

Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$ (\tg t + \ctg t)^2 = (2,3)^2 $

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$ \tg^2 t + 2 \cdot \tg t \cdot \ctg t + \ctg^2 t = 5,29 $

Мы знаем, что тангенс и котангенс одного и того же угла являются взаимно обратными величинами, поэтому их произведение равно единице:

$ \tg t \cdot \ctg t = 1 $

Подставим это значение в наше уравнение:

$ \tg^2 t + 2 \cdot 1 + \ctg^2 t = 5,29 $

$ \tg^2 t + 2 + \ctg^2 t = 5,29 $

Теперь, чтобы найти значение выражения $ \tg^2 t + \ctg^2 t $, перенесем 2 в правую часть уравнения:

$ \tg^2 t + \ctg^2 t = 5,29 - 2 $

$ \tg^2 t + \ctg^2 t = 3,29 $

Ответ: 3,29

7.20 Вычислите $sin^4 t + cos^4 t$, если $sin t cos t = -0.5$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой квадрата суммы.

Основное тригонометрическое тождество гласит:$ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $

Возведем обе части этого тождества в квадрат:$ (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1^2 $

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:$ (\sin^2 t)^2 + 2\sin^2 t \cos^2 t + (\cos^2 t)^2 = 1 $$ \sin^4 t + 2\sin^2 t \cos^2 t + \cos^4 t = 1 $

Теперь выразим искомую сумму $ \sin^4 t + \cos^4 t $:$ \sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2\sin^2 t \cos^2 t $

Выражение $ 2\sin^2 t \cos^2 t $ можно переписать как $ 2(\sin t \cos t)^2 $. Подставим это в нашу формулу:$ \sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(\sin t \cos t)^2 $

По условию задачи нам дано, что $ \sin t \cos t = -0.5 $. Подставим это значение в полученное выражение:$ \sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(-0.5)^2 $

Вычислим результат:$ \sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(0.25) = 1 - 0.5 = 0.5 $

Ответ: $0.5$

8.4 а) $\frac{5\pi}{8}$;

б) $\frac{7\pi}{12}$;

в) $\frac{11\pi}{12}$;

г) $\frac{47\pi}{9}$.

а)

Для перевода величины угла из радианной меры в градусную используется формула, основанная на том, что $ \pi $ радиан равно $ 180^\circ $: $ \alpha_{градусы} = \alpha_{радианы} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} $.

Применим эту формулу для угла $ \frac{5\pi}{8} $: $ \frac{5\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{900^\circ}{8} = 112.5^\circ $.

Ответ: $ 112.5^\circ $.

б)

Используем ту же формулу для перевода угла $ \frac{7\pi}{12} $ из радиан в градусы: $ \frac{7\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{12} $.

Сократим дробь, разделив 180 на 12: $ \frac{180}{12} = 15 $.

Тогда получаем: $ 7 \cdot 15^\circ = 105^\circ $.

Ответ: $ 105^\circ $.

в)

Переведем угол $ \frac{11\pi}{12} $ в градусную меру: $ \frac{11\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{11 \cdot 180^\circ}{12} $.

Мы уже знаем, что $ \frac{180}{12} = 15 $, поэтому: $ 11 \cdot 15^\circ = 165^\circ $.

Ответ: $ 165^\circ $.

г)

Переведем угол $ \frac{47\pi}{9} $ в градусную меру: $ \frac{47\pi}{9} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{47 \cdot 180^\circ}{9} $.

Сократим дробь, разделив 180 на 9: $ \frac{180}{9} = 20 $.

Тогда получаем: $ 47 \cdot 20^\circ = 940^\circ $.

Ответ: $ 940^\circ $.

8.9 $ \sin 20^\circ $; $ \sin 110^\circ $; $ \sin 210^\circ $; $ \sin 400^\circ $.

sin 20°

Угол $20°$ является острым углом и находится в первой координатной четверти ($0° < 20° < 90°$). Значение синуса для этого угла положительно. В рамках стандартных школьных задач это выражение не упрощается, поэтому оно остается в своем исходном виде.

Ответ: $\sin 20°$.

sin 110°

Угол $110°$ находится во второй координатной четверти ($90° < 110° < 180°$). Во второй четверти синус имеет положительное значение. Для упрощения воспользуемся формулами приведения. Угол $110°$ можно представить как $90° + 20°$.

Применяем формулу приведения $\sin(90° + \alpha) = \cos \alpha$:

$\sin 110° = \sin(90° + 20°) = \cos 20°$.

Также можно было использовать представление $110° = 180° - 70°$ и формулу $\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$, что дало бы $\sin 110° = \sin(180° - 70°) = \sin 70°$. Оба ответа эквивалентны, так как $\cos 20° = \sin 70°$.

Ответ: $\cos 20°$.

sin 210°

Угол $210°$ находится в третьей координатной четверти ($180° < 210° < 270°$). В третьей четверти синус имеет отрицательное значение. Используем формулы приведения. Представим угол $210°$ как $180° + 30°$.

Применяем формулу приведения $\sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha$:

$\sin 210° = \sin(180° + 30°) = -\sin 30°$.

Значение $\sin 30°$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin 210° = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

sin 400°

Угол $400°$ больше, чем $360°$. Функция синуса является периодической с периодом $360°$, то есть $\sin(\alpha + 360° \cdot k) = \sin \alpha$ для любого целого $k$.

Мы можем найти эквивалентный угол, вычтя $360°$:

$400° = 360° + 40°$.

Таким образом, $\sin 400° = \sin(360° + 40°) = \sin 40°$.

Угол $40°$ находится в первой четверти, и его синус положителен. Это и есть упрощенное выражение.

Ответ: $\sin 40°$.

8.5 а) $90^\circ$;

б) $180^\circ$;

в) $270^\circ$;

г) $360^\circ$.

Для перевода величины угла из градусной меры в радианную используется следующая формула:

$x = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$

где $x$ - величина угла в радианах, а $\alpha^\circ$ - величина угла в градусах.

Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

а)

Чтобы перевести угол $90^\circ$ в радианы, нужно умножить количество градусов на $\frac{\pi}{180^\circ}$.

$90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$

Таким образом, угол $90^\circ$ равен $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б)

Чтобы перевести угол $180^\circ$ в радианы, нужно умножить количество градусов на $\frac{\pi}{180^\circ}$.

$180^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{180\pi}{180} = \pi$

Таким образом, угол $180^\circ$ равен $\pi$ радиан.

Ответ: $\pi$

в)

Чтобы перевести угол $270^\circ$ в радианы, нужно умножить количество градусов на $\frac{\pi}{180^\circ}$.

$270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{270\pi}{180} = \frac{27\pi}{18} = \frac{3\pi}{2}$

Таким образом, угол $270^\circ$ равен $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

г)

Чтобы перевести угол $360^\circ$ в радианы, нужно умножить количество градусов на $\frac{\pi}{180^\circ}$.

$360^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi$

Таким образом, угол $360^\circ$ равен $2\pi$ радиан.

Ответ: $2\pi$

Переведите из градусной меры в радианную:

8.1 a) $120^\circ$;

б) $220^\circ$;

в) $300^\circ$;

г) $765^\circ$.

Для перевода угла из градусной меры в радианную используется основное соотношение $180^{\circ} = \pi$ радиан. Из него следует формула для перевода:

$\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}$

где $\alpha_{рад}$ — это величина угла в радианах, а $\alpha_{град}$ — величина угла в градусах.

а) 120°

Чтобы перевести 120° в радианы, умножим это значение на $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ и сократим полученную дробь:

$120^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{120\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 60:

$\frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

б) 220°

Чтобы перевести 220° в радианы, используем ту же формулу:

$220^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{220\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 20:

$\frac{220\pi}{180} = \frac{11\pi}{9}$

Ответ: $\frac{11\pi}{9}$

в) 300°

Переводим 300° в радианную меру:

$300^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{300\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 60:

$\frac{300\pi}{180} = \frac{5\pi}{3}$

Ответ: $\frac{5\pi}{3}$

г) 765°

Переводим 765° в радианную меру:

$765^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{765\pi}{180}$

Для сокращения дроби найдем наибольший общий делитель чисел 765 и 180. Оба числа делятся на 5 (так как оканчиваются на 5 и 0). Также оба числа делятся на 9 (так как сумма их цифр делится на 9: $7+6+5=18$ и $1+8+0=9$). Следовательно, они делятся на $5 \cdot 9 = 45$.

$765 \div 45 = 17$

$180 \div 45 = 4$

Сокращаем дробь:

$\frac{765\pi}{180} = \frac{17\pi}{4}$

Ответ: $\frac{17\pi}{4}$

8.6 а) $30^\circ$;

б) $150^\circ$;

в) $210^\circ$;

г) $240^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула: $ \alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} $, где $ \alpha_{\text{град}} $ — величина угла в градусах, а $ \alpha_{\text{рад}} $ — величина угла в радианах.

а) Чтобы перевести $ 30^\circ $ в радианы, умножим это значение на множитель $ \frac{\pi}{180^\circ} $.

Вычисление: $ 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{30\pi}{180} $. Сократим полученную дробь на 30: $ \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{6} $

б) Чтобы перевести $ 150^\circ $ в радианы, умножим это значение на множитель $ \frac{\pi}{180^\circ} $.

Вычисление: $ 150^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{150\pi}{180} $. Сократим дробь на 10, а затем на 3 (или сразу на 30): $ \frac{150\pi}{180} = \frac{15\pi}{18} = \frac{5\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $

в) Чтобы перевести $ 210^\circ $ в радианы, умножим это значение на множитель $ \frac{\pi}{180^\circ} $.

Вычисление: $ 210^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{210\pi}{180} $. Сократим дробь на 10, а затем на 3 (или сразу на 30): $ \frac{210\pi}{180} = \frac{21\pi}{18} = \frac{7\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{7\pi}{6} $

г) Чтобы перевести $ 240^\circ $ в радианы, умножим это значение на множитель $ \frac{\pi}{180^\circ} $.

Вычисление: $ 240^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{240\pi}{180} $. Сократим дробь на 10, а затем на 6 (или сразу на 60): $ \frac{240\pi}{180} = \frac{24\pi}{18} = \frac{4\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{4\pi}{3} $

8.2 а) $210^\circ$;

б) $150^\circ$;

в) $330^\circ$;

г) $675^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула, которая связывает полный оборот в $360^{\circ}$ с $2\pi$ радианами. Отсюда следует, что $180^{\circ}$ равны $\pi$ радианам. Формула для перевода выглядит так:

$\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}$

где $\alpha_{рад}$ — это мера угла в радианах, а $\alpha_{град}$ — мера угла в градусах.

а) 210°

Чтобы перевести $210^{\circ}$ в радианы, умножим это значение на $\frac{\pi}{180^{\circ}}$:

$210^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{210\pi}{180}$

Теперь сократим полученную дробь. Мы можем разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 30.

$\frac{210\pi}{180} = \frac{21\pi}{18} = \frac{7\pi}{6}$

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$

б) 150°

Для перевода $150^{\circ}$ в радианы применим ту же формулу:

$150^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{150\pi}{180}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 30.

$\frac{150\pi}{180} = \frac{15\pi}{18} = \frac{5\pi}{6}$

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

в) 330°

Переведем $330^{\circ}$ в радианы:

$330^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{330\pi}{180}$

Сократим дробь на 30.

$\frac{330\pi}{180} = \frac{33\pi}{18} = \frac{11\pi}{6}$

Ответ: $\frac{11\pi}{6}$

г) 675°

Переведем $675^{\circ}$ в радианы:

$675^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{675\pi}{180}$

Для сокращения этой дроби найдем наибольший общий делитель для 675 и 180. Он равен 45.

$675 \div 45 = 15$

$180 \div 45 = 4$

Таким образом, дробь сокращается до:

$\frac{675\pi}{180} = \frac{15\pi}{4}$

Ответ: $\frac{15\pi}{4}$

8.7 $\sin 40^\circ$; $\sin 80^\circ$; $\sin 120^\circ$; $\sin 160^\circ$.

sin 40°; sin 80°; sin 120°; sin 160°

Предполагается, что в задаче требуется найти произведение указанных значений: $P = \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ \cdot \sin 120^\circ \cdot \sin 160^\circ$.

Для решения задачи выполним вычисления по шагам. Сначала используем известные значения и формулы приведения. Значение синуса угла $120^\circ$ можно найти через формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично применим формулу приведения к $\sin 160^\circ$:

$\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$P = \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 20^\circ$.

Перегруппируем множители для удобства дальнейших преобразований:

$P = \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ)$.

Теперь вычислим произведение в скобках, обозначив его как $S = \sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ$. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A - B) - \cos(A + B))$.

Применим эту формулу к первым двум множителям $\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ$:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos(40^\circ - 20^\circ) - \cos(40^\circ + 20^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \cos 60^\circ)$.

Зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2})$.

Теперь подставим это обратно в выражение для $S$:

$S = \left[\frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2})\right] \cdot \sin 80^\circ = \frac{1}{2}\sin 80^\circ \cos 20^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ$.

Далее преобразуем произведение $\sin 80^\circ \cos 20^\circ$ с помощью формулы $\sin B \cos A = \frac{1}{2}(\sin(B + A) + \sin(B - A))$:

$\sin 80^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}(\sin(80^\circ + 20^\circ) + \sin(80^\circ - 20^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 100^\circ + \sin 60^\circ)$.

Подставим результат в выражение для $S$:

$S = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(\sin 100^\circ + \sin 60^\circ)\right] - \frac{1}{4}\sin 80^\circ = \frac{1}{4}\sin 100^\circ + \frac{1}{4}\sin 60^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ$.

Снова воспользуемся формулой приведения для $\sin 100^\circ$:

$\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.

Тогда выражение для $S$ значительно упрощается:

$S = \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4}\sin 60^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ = \frac{1}{4}\sin 60^\circ$.

Вычисляем значение $S$, зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$S = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Наконец, вычисляем итоговое значение исходного произведения $P$:

$P = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot S = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$.

Переведите из радианной меры в градусную:

8.3 а) $ \frac{3\pi}{4}; $

б) $ \frac{11\pi}{3}; $

в) $ \frac{6\pi}{5}; $

г) $ \frac{46\pi}{9}. $

Для перевода угловой меры из радиан в градусы используется соотношение $ \pi \text{ радиан} = 180^\circ $. Чтобы выполнить перевод, нужно умножить радианную меру на $ \frac{180^\circ}{\pi} $ или просто заменить $ \pi $ на $ 180^\circ $ в выражении.

а) Переведем $ \frac{3\pi}{4} $ радиан в градусы.
$ \frac{3\pi}{4} \text{ рад} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} $
Сократим дробь:
$ \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 3 \times \frac{180^\circ}{4} = 3 \times 45^\circ = 135^\circ $.
Ответ: $135^\circ$.

б) Переведем $ \frac{11\pi}{3} $ радиан в градусы.
$ \frac{11\pi}{3} \text{ рад} = \frac{11 \times 180^\circ}{3} $
Сократим дробь:
$ \frac{11 \times 180^\circ}{3} = 11 \times \frac{180^\circ}{3} = 11 \times 60^\circ = 660^\circ $.
Ответ: $660^\circ$.

в) Переведем $ \frac{6\pi}{5} $ радиан в градусы.
$ \frac{6\pi}{5} \text{ рад} = \frac{6 \times 180^\circ}{5} $
Сократим дробь:
$ \frac{6 \times 180^\circ}{5} = 6 \times \frac{180^\circ}{5} = 6 \times 36^\circ = 216^\circ $.
Ответ: $216^\circ$.

г) Переведем $ \frac{46\pi}{9} $ радиан в градусы.
$ \frac{46\pi}{9} \text{ рад} = \frac{46 \times 180^\circ}{9} $
Сократим дробь:
$ \frac{46 \times 180^\circ}{9} = 46 \times \frac{180^\circ}{9} = 46 \times 20^\circ = 920^\circ $.
Ответ: $920^\circ$.

8.8 $ \cos 40^\circ; \quad \cos 80^\circ; \quad \cos 120^\circ; \quad \cos 160^\circ. $

Требуется вычислить значение выражения: $\cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos120^\circ \cdot \cos160^\circ$.

Обозначим данное выражение через $P$:

$P = \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos120^\circ \cdot \cos160^\circ$

Для начала найдем значение $\cos120^\circ$. Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$:

$\cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ$

Поскольку значение $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$\cos120^\circ = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$P = \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \cos160^\circ = -\frac{1}{2} (\cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos160^\circ)$

Теперь вычислим произведение $C = \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos160^\circ$.Для этого воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Умножим и разделим выражение $C$ на $8\sin40^\circ$ (так как $\sin40^\circ \ne 0$):

$C = \frac{8\sin40^\circ\cos40^\circ \cdot \cos80^\circ \cdot \cos160^\circ}{8\sin40^\circ}$

Преобразуем числитель, последовательно применяя формулу синуса двойного угла:

$8\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ\cos160^\circ = 4 \cdot (2\sin40^\circ\cos40^\circ) \cdot \cos80^\circ\cos160^\circ$

$= 4 \cdot \sin80^\circ \cdot \cos80^\circ\cos160^\circ = 2 \cdot (2\sin80^\circ\cos80^\circ) \cdot \cos160^\circ$

$= 2 \cdot \sin160^\circ \cdot \cos160^\circ = \sin(2 \cdot 160^\circ) = \sin320^\circ$

Таким образом, выражение для $C$ принимает вид:

$C = \frac{\sin320^\circ}{8\sin40^\circ}$

Теперь упростим $\sin320^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin\alpha$:

$\sin320^\circ = \sin(360^\circ - 40^\circ) = -\sin40^\circ$

Подставим это в выражение для $C$:

$C = \frac{-\sin40^\circ}{8\sin40^\circ} = -\frac{1}{8}$

Наконец, вернемся к вычислению $P$:

$P = -\frac{1}{2} \cdot C = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$