Страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.14 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. ($S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$)

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Поскольку четырёхугольник является выпуклым, точка пересечения диагоналей лежит внутри него.

Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$.

Диагонали разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь четырёхугольника равна сумме площадей этих треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

Рассмотрим углы, образованные при пересечении диагоналей в точке $O$:

• $\angle AOB = \alpha$
• $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$ (как смежный с $\angle AOB$)
• $\angle COD = \alpha$ (как вертикальный к $\angle AOB$)
• $\angle DOA = 180^\circ - \alpha$ (как вертикальный к $\angle BOC$)

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, найдём площади каждого из четырёх треугольников:

• $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha$
• $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Теперь сложим эти площади, чтобы найти общую площадь четырёхугольника $S_{ABCD}$: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} BO \cdot CO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} CO \cdot DO \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} DO \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sin\alpha$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители: $AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO = BO(AO + CO) + DO(CO + AO) = (AO + CO)(BO + DO)$

Так как $AO + CO = AC = d_1$ и $BO + DO = BD = d_2$, мы можем подставить эти значения в полученное выражение: $(AO + CO)(BO + DO) = AC \cdot BD = d_1 d_2$.

Таким образом, подставляя результат обратно в формулу для площади, получаем: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь выпуклого четырёхугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними. Утверждение доказано.

8.15 В $\triangle ABC$ известно, что $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$. Найдите $BC$, $AC$ и площадь $\triangle ABC$.

В задаче дан треугольник ABC со стороной $AB = 4\sqrt{2}$ см и двумя углами $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Требуется найти длины сторон BC, AC и площадь треугольника.

BC

Для нахождения стороны BC применим теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является величиной постоянной для данного треугольника: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$.

В нашем случае это записывается как:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные нам значения:

$\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

Выразим BC из этого уравнения:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

Так как $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, подставим эти значения в формулу:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{1} = 8$ см.

Ответ: $BC = 8$ см.

AC

Чтобы найти сторону AC, нам сначала нужно определить величину угла B, который лежит напротив этой стороны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, следовательно:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

Теперь снова воспользуемся теоремой синусов, чтобы связать сторону AC с известной стороной AB:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим значения:

$\frac{AC}{\sin 105^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

Выразим AC:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

Значение $\sin 105^\circ$ можно вычислить, используя формулу синуса суммы: $\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$.

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Подставим все вычисленные значения в выражение для AC:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\frac{1}{2}} = 2(\sqrt{12} + 2) = 2(2\sqrt{3} + 2) = 4\sqrt{3} + 4 = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

Ответ: $AC = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

площадь $\triangle ABC$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Для нашего расчета удобнее всего взять стороны AB и AC и угол A между ними, так как $\sin 45^\circ$ имеет простое табличное значение.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$

Подставим значения:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot (4\sqrt{3} + 4) \cdot \sin 45^\circ$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростим выражение:

$S_{ABC} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{16 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{16 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{4} = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

Ответ: $S_{ABC} = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

8.16 Высота треугольника составляет 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны $60^\circ$ и $45^\circ$. Найдите площадь треугольника.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, в котором к основанию $AC$ проведена высота $BH$. По условию задачи, $h = BH = 5$ см. Углы, прилежащие к основанию, это $\angle A = 60^\circ$ и $\angle C = 45^\circ$.

Высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Основание $AC$ равно сумме отрезков $AH$ и $HC$. Найдем длины этих отрезков.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$

В этом треугольнике $\angle H = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$ и катет $BH = 5$ см. Нам нужно найти второй катет $AH$. Связь между катетами и острым углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:

$\tan A = \frac{BH}{AH}$

Выразим отсюда $AH$:

$AH = \frac{BH}{\tan A} = \frac{5}{\tan 60^\circ}$

Зная, что $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, получаем:

$AH = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBH$

В этом треугольнике $\angle H = 90^\circ$, $\angle C = 45^\circ$ и катет $BH = 5$ см. Найдем катет $HC$:

$\tan C = \frac{BH}{HC}$

Выразим отсюда $HC$:

$HC = \frac{BH}{\tan C} = \frac{5}{\tan 45^\circ}$

Зная, что $\tan 45^\circ = 1$, получаем:

$HC = \frac{5}{1} = 5$ см.

3. Найдем длину основания $AC$ и площадь треугольника

Теперь мы можем найти длину всего основания $AC$, сложив длины отрезков $AH$ и $HC$:

$a = AC = AH + HC = \frac{5\sqrt{3}}{3} + 5$ см.

Подставим значения основания $a$ и высоты $h$ в формулу площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5) \cdot 5$

$S = \frac{5}{2} \cdot (\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5) = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{25}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$S = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{25 \cdot 3}{6} = \frac{25\sqrt{3} + 75}{6}$

Вынесем общий множитель 25 за скобки в числителе для более красивой записи:

$S = \frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см$^2$.

Ответ: $S = \frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см$^2$.

8.12 В прямоугольном треугольнике известны длина гипотенузы $c$ и острый угол $\alpha^\circ$. Найдите длины катетов, площадь треугольника и радиус описанной окружности, если:

a) $c = 12, \alpha = 60^\circ;$

б) $c = 6, \alpha = 45^\circ;$

в) $c = 4, \alpha = 30^\circ;$

г) $c = 60, \alpha = 60^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся основными соотношениями в прямоугольном треугольнике. Пусть $c$ – гипотенуза, $a$ и $b$ – катеты, $\alpha$ – один из острых углов. Обозначим катет, противолежащий углу $\alpha$, как $a$, и катет, прилежащий к углу $\alpha$, как $b$.

Длины катетов можно найти с помощью тригонометрических функций:
$a = c \cdot \sin(\alpha)$
$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины гипотенузы:
$R = \frac{c}{2}$

1. Длины катетов:
$a = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$
$b = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: длины катетов равны $6$ и $6\sqrt{3}$, площадь треугольника равна $18\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $6$.

1. Длины катетов:
$a = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
$b = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
(Треугольник является равнобедренным, так как второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$).

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: длины катетов равны $3\sqrt{2}$ и $3\sqrt{2}$, площадь треугольника равна $9$, радиус описанной окружности равен $3$.

1. Длины катетов:
$a = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$
$b = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: длины катетов равны $2$ и $2\sqrt{3}$, площадь треугольника равна $2\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $2$.

1. Длины катетов:
$a = 60 \cdot \sin(60^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$
$b = 60 \cdot \cos(60^\circ) = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$

2. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 30 = 450\sqrt{3}$

3. Радиус описанной окружности:
$R = \frac{60}{2} = 30$

Ответ: длины катетов равны $30$ и $30\sqrt{3}$, площадь треугольника равна $450\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $30$.

8.13 Хорда $AB$ образует с диаметром $AC$ окружности угол $\alpha^{\circ}$. Найдите длину хорды $AB$, если радиус окружности равен $R$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный хордой $AB$ и диаметром $AC$. Все три вершины этого треугольника ($A$, $B$ и $C$) лежат на окружности.

Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AC$. Согласно свойству вписанных углов, угол, опирающийся на диаметр (или на дугу в $180^\circ$), является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным, где $AC$ — гипотенуза, а $AB$ и $BC$ — катеты.

Длина гипотенузы $AC$ равна диаметру окружности. Так как радиус окружности равен $R$, то диаметр равен $2R$. Таким образом, $AC = 2R$.

По условию задачи, угол между хордой $AB$ и диаметром $AC$ равен $\alpha$, то есть $\angle BAC = \alpha$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ является прилежащим к углу $\alpha$.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, он равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC}$

Подставив в формулу известные нам обозначения, получим:

$\cos(\alpha) = \frac{AB}{2R}$

Выразим из этого равенства длину хорды $AB$:

$AB = 2R \cos(\alpha)$

Ответ: $2R \cos(\alpha)$

9.3 а) $\cos(90^\circ - \alpha);$

б) $\sin(360^\circ - \alpha);$

В) $\sin(270^\circ - \alpha);$

Г) $\cos(180^\circ - \alpha).$

Для решения данных задач используются формулы приведения. Общее правило для их применения состоит из двух шагов:

1. Определение знака исходной функции. Знак определяется по четверти, в которой находится угол, предполагая, что угол $\alpha$ является острым и положительным.
2. Определение названия итоговой функции. Если в формуле присутствуют углы $180^\circ$ или $360^\circ$ (или $\pi, 2\pi$), то название функции не меняется. Если же в формуле присутствуют углы $90^\circ$ или $270^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$), то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, косинус на синус и т.д.).

а) Упростим выражение $\cos(90^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Если считать $\alpha$ острым углом, то угол $90^\circ - \alpha$ находится в I координатной четверти. Косинус в I четверти положителен (имеет знак "+").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $90^\circ$, функция $\cos$ меняется на кофункцию, то есть на $\sin$.

Таким образом, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$.
$\cos(90^\circ - \alpha) = \cos(90^\circ)\cos(\alpha) + \sin(90^\circ)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) + 1 \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha)$.

Ответ: $\sin(\alpha)$

б) Упростим выражение $\sin(360^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV координатной четверти. Синус в IV четверти отрицателен (имеет знак "−").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $360^\circ$, функция $\sin$ не меняется.

Таким образом, $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле синуса разности: $\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$.
$\sin(360^\circ - \alpha) = \sin(360^\circ)\cos(\alpha) - \cos(360^\circ)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - 1 \cdot \sin(\alpha) = -\sin(\alpha)$.

Ответ: $-\sin(\alpha)$

в) Упростим выражение $\sin(270^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III координатной четверти. Синус в III четверти отрицателен (имеет знак "−").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $270^\circ$, функция $\sin$ меняется на кофункцию, то есть на $\cos$.

Таким образом, $\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле синуса разности: $\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$.
$\sin(270^\circ - \alpha) = \sin(270^\circ)\cos(\alpha) - \cos(270^\circ)\sin(\alpha) = (-1) \cdot \cos(\alpha) - 0 \cdot \sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$.

Ответ: $-\cos(\alpha)$

г) Упростим выражение $\cos(180^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II координатной четверти. Косинус во II четверти отрицателен (имеет знак "−").

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $180^\circ$, функция $\cos$ не меняется.

Таким образом, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Это также можно проверить по формуле косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$.
$\cos(180^\circ - \alpha) = \cos(180^\circ)\cos(\alpha) + \sin(180^\circ)\sin(\alpha) = (-1) \cdot \cos(\alpha) + 0 \cdot \sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$.

Ответ: $-\cos(\alpha)$

9.4 a) $tg\left(\frac{\pi}{2} - t\right);$

б) $ctg(180^\circ - \alpha);$

в) $tg\left(\frac{3\pi}{2} + t\right);$

г) $ctg(360^\circ - \alpha).$

Для решения данных задач используются формулы приведения. Общее правило для их применения состоит из двух шагов. Шаг 1: Определение знака. Мысленно помещаем угол в соответствующую четверть тригонометрического круга (считая, что острый угол, например $t$ или $\alpha$, мал и положителен) и определяем знак исходной функции в этой четверти. Шаг 2: Определение итоговой функции. Если в формуле присутствуют углы $\frac{\pi}{2}$ (90°) или $\frac{3\pi}{2}$ (270°), то есть "вертикальные" углы, функция меняется на кофункцию ($\text{tg}$ на $\text{ctg}$, $\sin$ на $\cos$, и наоборот). Если же в формуле углы $\pi$ (180°) или $2\pi$ (360°), то есть "горизонтальные" углы, то название функции не меняется.

а) Необходимо упростить выражение $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - t)$.

1. Определяем знак. Считая $t$ острым углом из первой четверти, угол $(\frac{\pi}{2} - t)$ также находится в первой четверти. Тангенс в первой четверти имеет знак «+».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $\frac{\pi}{2}$, функция тангенс ($\text{tg}$) меняется на кофункцию, то есть на котангенс ($\text{ctg}$).

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - t) = \text{ctg}(t)$.

Ответ: $\text{ctg}(t)$

б) Необходимо упростить выражение $\text{ctg}(180^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Считая $\alpha$ острым углом из первой четверти, угол $(180^\circ - \alpha)$ находится во второй четверти. Котангенс во второй четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $180^\circ$, функция котангенс ($\text{ctg}$) не меняется.

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

в) Необходимо упростить выражение $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t)$.

1. Определяем знак. Считая $t$ острым углом из первой четверти, угол $(\frac{3\pi}{2} + t)$ находится в четвертой четверти. Тангенс в четвертой четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $\frac{3\pi}{2}$, функция тангенс ($\text{tg}$) меняется на кофункцию, то есть на котангенс ($\text{ctg}$).

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t) = -\text{ctg}(t)$.

Ответ: $-\text{ctg}(t)$

г) Необходимо упростить выражение $\text{ctg}(360^\circ - \alpha)$.

1. Определяем знак. Считая $\alpha$ острым углом из первой четверти, угол $(360^\circ - \alpha)$ находится в четвертой четверти. Котангенс в четвертой четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Так как в формуле присутствует угол $360^\circ$, функция котангенс ($\text{ctg}$) не меняется.

Совмещая эти два пункта, получаем: $\text{ctg}(360^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

9.1 а) $\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)$;

б) $\cos(2\pi-t)$;

в) $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)$;

г) $\sin(\pi+t)$.

a) Для упрощения выражения $sin(\frac{\pi}{2} - t)$ воспользуемся формулами приведения.
1. Определим знак исходной функции. Для этого представим угол $t$ как острый угол из первой четверти. Тогда угол $\frac{\pi}{2} - t$ также будет находиться в I четверти. Синус в I четверти имеет знак "+".
2. Определим, меняется ли функция на кофункцию. Так как в аргументе присутствует $\frac{\pi}{2}$, по правилу приведения функция $sin$ меняется на $cos$.
Объединяя эти два пункта, получаем: $sin(\frac{\pi}{2} - t) = cos(t)$.
Ответ: $cos(t)$

б) Для упрощения выражения $cos(2\pi - t)$ воспользуемся формулами приведения.
1. Определим знак исходной функции. Угол $2\pi - t$ находится в IV четверти. Косинус в IV четверти имеет знак "+".
2. Определим, меняется ли функция на кофункцию. Так как в аргументе присутствует $2\pi$, функция $cos$ не меняется.
Объединяя эти два пункта, получаем: $cos(2\pi - t) = cos(t)$.
Ответ: $cos(t)$

в) Для упрощения выражения $cos(\frac{3\pi}{2} + t)$ воспользуемся формулами приведения.
1. Определим знак исходной функции. Угол $\frac{3\pi}{2} + t$ находится в IV четверти. Косинус в IV четверти имеет знак "+".
2. Определим, меняется ли функция на кофункцию. Так как в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция $cos$ меняется на кофункцию, то есть на $sin$.
Объединяя эти два пункта, получаем: $cos(\frac{3\pi}{2} + t) = sin(t)$.
Ответ: $sin(t)$

г) Для упрощения выражения $sin(\pi + t)$ воспользуемся формулами приведения.
1. Определим знак исходной функции. Угол $\pi + t$ находится в III четверти. Синус в III четверти имеет знак "−".
2. Определим, меняется ли функция на кофункцию. Так как в аргументе присутствует $\pi$, функция $sin$ не меняется.
Объединяя эти два пункта, получаем: $sin(\pi + t) = -sin(t)$.
Ответ: $-sin(t)$

9.2 a) $\sin(\pi - t)$;

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$;

В) $\cos(2\pi + t)$;

г) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$.

а) Для упрощения выражения $sin(\pi - t)$ используются формулы приведения. Существует простое мнемоническое правило для их применения:

1. Определение знака. Угол $(\pi - t)$ находится во второй координатной четверти (если считать $t$ малым положительным углом). В этой четверти синус имеет знак «+». Следовательно, у результата будет знак «+».

2. Определение функции. Если в исходном угле есть $\pi$ или $2\pi$ (то есть $k\pi$), то название функции (синус) не меняется. Если же в угле есть $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (то есть $\frac{(2k+1)\pi}{2}$), то функция меняется на кофункцию (синус на косинус, и наоборот).

В данном случае у нас $\pi$, поэтому функция не меняется.

Собирая всё вместе, получаем: $sin(\pi - t) = sin(t)$.

Также можно проверить результат по формуле синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin(\pi - t) = sin(\pi)cos(t) - cos(\pi)sin(t) = 0 \cdot cos(t) - (-1) \cdot sin(t) = sin(t)$.

Ответ: $sin(t)$

б) Упростим выражение $cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$, используя то же правило формул приведения.

1. Определение знака. Угол $\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$ находится во второй четверти. В этой четверти косинус имеет знак «–». Значит, у результата будет знак «–».

2. Определение функции. Так как в исходном угле присутствует $\frac{\pi}{2}$, название функции (косинус) меняется на кофункцию (синус).

Объединяя эти два пункта, получаем: $cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -sin(t)$.

Проверка по формуле косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
$cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = cos\left(\frac{\pi}{2}\right)cos(t) - sin\left(\frac{\pi}{2}\right)sin(t) = 0 \cdot cos(t) - 1 \cdot sin(t) = -sin(t)$.

Ответ: $-sin(t)$

в) Выражение $cos(2\pi + t)$ упрощается с помощью свойства периодичности функции косинус.

Период функции $y = cos(x)$ равен $2\pi$. Это означает, что $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$ для любого целого числа $k$. В нашем случае $k=1$, поэтому мы можем просто отбросить слагаемое $2\pi$ из аргумента функции.

Таким образом, $cos(2\pi + t) = cos(t)$.

Применяя формулы приведения, мы бы получили тот же результат:
1. Знак: Угол $(2\pi + t)$ находится в первой четверти, косинус там положителен («+»).
2. Функция: В угле есть $2\pi$, значит, функция (косинус) не меняется.

Ответ: $cos(t)$

г) Упростим выражение $sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$ по правилу формул приведения.

1. Определение знака. Угол $\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)$ находится в третьей четверти. В этой четверти синус имеет знак «–».

2. Определение функции. Так как в исходном угле есть $\frac{3\pi}{2}$, название функции (синус) меняется на кофункцию (косинус).

Собирая всё вместе, получаем: $sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right) = -cos(t)$.

Проверка по формуле синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
$sin\left(\frac{3\pi}{2} - t\right) = sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)cos(t) - cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)sin(t) = (-1) \cdot cos(t) - 0 \cdot sin(t) = -cos(t)$.

Ответ: $-cos(t)$