Страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.10 а) рис. 3;

Рис. 3

$x$, $2$, $\alpha$

б) рис. 4;

Рис. 4

$4$, $x$, $\alpha$

в) рис. 5;

Рис. 5

$x$, $3$, $\alpha$

г) рис. 6;

Рис. 6

$x$, $1$, $\alpha$

Рис. 7

$2$, $x$, $30^\circ$

а) На рисунке 3 изображен прямоугольный треугольник, расположенный на клетчатой сетке. Один катет (горизонтальный) имеет длину 2, что соответствует 2 клеткам на сетке. Это означает, что сторона одной клетки равна 1 единице длины. Второй катет (вертикальный) обозначен как x. По сетке видно, что его длина составляет 4 клетки. Следовательно, x = 4.
Ответ: $x=4$

б) На рисунке 4 для определения угла α можно использовать сетку. Построим на сетке прямоугольный треугольник, одним из острых углов которого является α. Катеты этого треугольника будут равны 3 и 3 клеткам. Тангенс угла α — это отношение противолежащего катета к прилежащему:$tan(\alpha) = \frac{3}{3} = 1$.Основной треугольник на рисунке — прямоугольный, с катетами x и 4. Угол α в этом треугольнике противолежит катету длиной 4. Для этого треугольника тангенс угла α равен:$tan(\alpha) = \frac{4}{x}$.Приравнивая два выражения для тангенса, получаем:$\frac{4}{x} = 1$$x = 4$.
Ответ: $x=4$

в) На рисунке 5 определим тангенс угла α по сетке. Построим прямоугольный треугольник, где α — один из острых углов. Прилежащий к углу α катет равен 2 клеткам, а противолежащий катет равен 1 клетке. Тогда:$tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{1}{2}$.Теперь рассмотрим правый малый треугольник, в котором x является гипотенузой. В этом треугольнике угол α является одним из острых углов. Катет, противолежащий этому углу, равен 3. Обозначим прилежащий катет как h. Для этого треугольника:$tan(\alpha) = \frac{3}{h}$.Приравнивая два выражения для тангенса, находим h:$\frac{1}{2} = \frac{3}{h}$$h = 3 \times 2 = 6$.Теперь, зная оба катета (3 и 6), мы можем найти гипотенузу x по теореме Пифагора:$x^2 = 3^2 + h^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$$x = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$.
Ответ: $x=3\sqrt{5}$

г) На рисунке 6 изображена прямоугольная трапеция. В ней можно выделить прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 30°, гипотенуза равна x, а прилежащий к углу 30° катет равен 2.Связь между гипотенузой, прилежащим катетом и углом выражается через косинус:$cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.В нашем случае:$cos(30^\circ) = \frac{2}{x}$.Мы знаем, что $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{x}$.Выразим x:$x \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 2$$x \cdot \sqrt{3} = 4$$x = \frac{4}{\sqrt{3}}$.Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$x = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

8.11 а) рис. 7; б) рис. 8; в) рис. 9; г) рис. 10.

3, $x$, $\alpha$

Рис. 5

1, $x$, $\alpha$

Рис. 6

а) рис. 7;

2, $x$, $30^\circ$

Рис. 7

б) рис. 8;

1, $x$, $45^\circ$

Рис. 8

в) рис. 9;

$x$, 2, $60^\circ$

Рис. 9

г) рис. 10.

2, $x$, $60^\circ$

Рис. 10

а) рис. 7;
В данном прямоугольном треугольнике известен катет, противолежащий углу в $30^\circ$, его длина равна 2. Требуется найти гипотенузу $x$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Таким образом, мы можем записать: $\sin(30^\circ) = \frac{2}{x}$. Зная, что значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение: $\frac{1}{2} = \frac{2}{x}$. Отсюда находим $x$: $x = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $x = 4$.

б) рис. 8;
В этом прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в $45^\circ$, равен 1. Необходимо найти гипотенузу $x$. Используем определение синуса: $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Для данного случая: $\sin(45^\circ) = \frac{1}{x}$. Значение синуса $45^\circ$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим это значение в уравнение: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{x}$. Следовательно, $x = \sqrt{2}$.
Ответ: $x = \sqrt{2}$.

в) рис. 9;
Дан прямоугольный треугольник, в котором катет, прилежащий к углу в $60^\circ$, равен 2. Гипотенуза обозначена как $x$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Запишем соотношение для нашего треугольника: $\cos(60^\circ) = \frac{2}{x}$. Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} = \frac{2}{x}$. Из этого уравнения находим $x$: $x = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $x = 4$.

г) рис. 10.
В данном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 2, а $x$ — это катет, прилежащий к углу $60^\circ$. Воспользуемся определением косинуса: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Применяя к нашему случаю, имеем: $\cos(60^\circ) = \frac{x}{2}$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение: $\frac{1}{2} = \frac{x}{2}$. Отсюда следует, что $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

1. Функции, с которыми мы встречались в основной школе.

В курсе математики основной школы (как правило, с 7 по 9 класс) изучаются следующие основные виды числовых функций, их свойства и графики.

Линейная функция

Это функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые заданные числа (коэффициенты). Графиком линейной функции является прямая линия.

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Если $k > 0$, функция возрастает; если $k < 0$ — убывает; если $k=0$ — функция постоянна.
• Коэффициент $b$ показывает ординату точки, в которой график пересекает ось $Oy$.

Важными частными случаями линейной функции являются:

• Прямая пропорциональность: $y = kx$ (при $b=0$). График такой функции — прямая, проходящая через начало координат.
• Постоянная функция (константа): $y = b$ (при $k=0$). График — прямая, параллельная оси абсцисс $Ox$.

Ответ: Линейная функция, задаваемая формулой $y = kx + b$, и её частные случаи: прямая пропорциональность ($y=kx$) и постоянная функция ($y=b$).

Квадратичная функция

Это функция, задаваемая формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — заданные числа, и обязательно $a \neq 0$. Графиком квадратичной функции является парабола.

• Знак старшего коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$ — вниз.
• Координаты вершины параболы вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.
• Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Изучение обычно начинается с простейшего случая $y = x^2$.

Ответ: Квадратичная функция, задаваемая формулой $y = ax^2 + bx + c$ (при $a \neq 0$).

Обратная пропорциональность

Это функция вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — переменная, а $k$ — число, не равное нулю ($k \neq 0$). Графиком этой функции является гипербола, которая состоит из двух ветвей.

• Область определения и область значений этой функции — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Если $k > 0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Функция обратной пропорциональности, задаваемая формулой $y = \frac{k}{x}$ (при $k \neq 0$).

Функция квадратного корня

Функция, которую задают формулой $y = \sqrt{x}$.

• Область определения функции — множество всех неотрицательных чисел: $D(y) = [0; +\infty)$.
• Область значений функции — также множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Графиком является одна ветвь параболы, которая симметрична графику функции $y = x^2$ (для $x \geq 0$) относительно прямой $y=x$.

Ответ: Функция квадратного корня, задаваемая формулой $y = \sqrt{x}$.

Другие функции

Помимо перечисленных, в основной школе также встречаются и другие функции, часто в контексте построения графиков или решения уравнений:

• Кубическая функция (простейший случай): $y = x^3$. Её график называется кубической параболой.
• Функция модуля: $y = |x|$. График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

Ответ: Другие изучаемые функции включают простейшую кубическую функцию $y=x^3$ и функцию модуля $y=|x|$.

2. Словесный способ задания функций. Функции $y=[x]$, $y=\{x\}$.

1. Функции, с которыми мы встречались в основной школе.

В основной школе (5-9 классы) происходит знакомство с основными видами элементарных функций, которые являются фундаментом для дальнейшего изучения математики. Рассмотрим их подробнее.

Линейная функция

Задается уравнением вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$, если $k \neq 0$. Если $k=0$, то область значений состоит из одного числа $b$.
• График: прямая линия.
• Свойства коэффициентов:
  • Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Если $k > 0$, функция возрастает; если $k < 0$, функция убывает; если $k=0$, прямая параллельна оси Ox.
  • Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения графика с осью Oy, его значение равно $y(0)$.

Частными случаями линейной функции являются:

• Прямая пропорциональность: $y = kx$ (при $b=0$). График — прямая, проходящая через начало координат $(0;0)$.
• Постоянная функция (константа): $y = b$ (при $k=0$). График — прямая, параллельная оси Ox.

Квадратичная функция

Задается уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: парабола.
• Свойства:
  • Направление ветвей параболы зависит от знака старшего коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$ — вниз.
  • Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Координаты вершины $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0) = ax_0^2 + bx_0 + c$.

Степенная функция

Имеет вид $y = x^n$, где $n$ — показатель степени. В школе рассматриваются частные случаи.

• Обратная пропорциональность: $y = \frac{k}{x}$ (соответствует $y=kx^{-1}$ при $n=-1$). Область определения и область значений — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей.
• Функция квадратного корня: $y = \sqrt{x}$ (соответствует $y=x^{1/2}$). Область определения и область значений — все неотрицательные числа: $D(y) = [0; +\infty)$, $E(y) = [0; +\infty)$. График — ветвь параболы, лежащая в первой координатной четверти.

Функция модуля

Задается уравнением $y = |x|$. Ее можно определить кусочно: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.
• График: имеет V-образную форму, состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

Ответ: В основной школе изучают линейную функцию ($y=kx+b$), квадратичную ($y=ax^2+bx+c$), степенные функции (в частности, обратную пропорциональность $y=k/x$ и функцию квадратного корня $y=\sqrt{x}$), а также функцию модуля $y=|x|$. Каждая из этих функций имеет характерный график (прямая, парабола, гипербола и др.) и набор свойств, таких как область определения и область значений.

2. Словесный способ задания функций. Функции y = [x], y = {x}.

Словесный способ задания функций

Помимо привычных способов задания функции (формулой, графиком, таблицей), существует и словесный способ. Он заключается в том, что правило, по которому для каждого значения аргумента $x$ из области определения находится соответствующее значение функции $y$, описывается словами на естественном языке.

Этот способ особенно полезен, когда аналитическое выражение (формула) является сложным, громоздким или не существует в рамках элементарных функций.Примеры:

• "Каждому неотрицательному числу $x$ ставится в соответствие само это число, а каждому отрицательному числу $x$ — противоположное ему число $-x$". Это словесное описание функции модуля $y=|x|$.
• "Функция $y=f(x)$ принимает значение 1, если $x$ — рациональное число, и 0, если $x$ — иррациональное число". Это знаменитая функция Дирихле, которую невозможно изобразить наглядным графиком.

Функции "целая часть" и "дробная часть" также чаще всего вводятся именно словесно.

Функция $y = [x]$ (целая часть числа, антье)

Эта функция задается правилом: "Для любого действительного числа $x$ значение функции $y$ равно наибольшему целому числу, не превосходящему $x$". Обозначение: $y = [x]$.

Примеры вычисления:

• $[4.7] = 4$ (самое большое целое, которое меньше или равно 4.7)
• $[5] = 5$ (самое большое целое, которое не больше 5)
• $[-3.2] = -4$ (целые числа, не превосходящие -3.2, это ..., -6, -5, -4; наибольшее из них -4)
• $[-1] = -1$

Свойства функции $y=[x]$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех целых чисел, $E(y) = \mathbb{Z}$.
• График: ступенчатый ("лесенка"). Он состоит из бесконечного множества горизонтальных отрезков длиной 1. На каждом полуинтервале вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, функция постоянна и равна $n$. Левая точка отрезка $(n, n)$ включается в график, а правая $(n+1, n)$ — выкалывается.

Функция $y = \{x\}$ (дробная часть числа)

Эта функция задается правилом: "Для любого действительного числа $x$ значение функции $y$ равно разности между самим числом $x$ и его целой частью $[x]$".

Формульное определение: $\{x\} = x - [x]$.

Примеры вычисления:

• $\{4.7\} = 4.7 - [4.7] = 4.7 - 4 = 0.7$
• $\{5\} = 5 - [5] = 5 - 5 = 0$
• $\{-3.2\} = -3.2 - [-3.2] = -3.2 - (-4) = 0.8$

Свойства функции $y=\{x\}$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: полуинтервал $[0; 1)$. То есть, $0 \le \{x\} < 1$.
• Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T=1$.
• График: имеет "пилообразный" вид. На каждом полуинтервале $[n, n+1)$ ($n \in \mathbb{Z}$) график представляет собой наклонный отрезок, соединяющий точку $(n, 0)$ (включена) с точкой $(n+1, 1)$ (выколота).

Ответ: Словесный способ задания функции — это описание правила соответствия между аргументом и значением функции с помощью слов. Функция $y=[x]$ (целая часть) сопоставляет числу $x$ наибольшее целое число, которое его не превосходит. Функция $y=\{x\}$ (дробная часть) определяется как разность $x - [x]$ и всегда принимает значения в диапазоне $[0; 1)$. Обе эти функции являются классическими примерами функций, задаваемых словесно.

3. Графики функций, аналитическое задание которых содержит знаки модуля.

Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, используются стандартные методы преобразования графиков, основанные на определении модуля. Модуль (абсолютная величина) числа $a$, обозначаемый $|a|$, определяется как:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Рассмотрим основные типы таких функций и алгоритмы построения их графиков.

График функции y = |f(x)|

Исходя из определения модуля, $|f(x)| = f(x)$, если $f(x) \ge 0$, и $|f(x)| = -f(x)$, если $f(x) < 0$. Это означает, что значения функции $y = |f(x)|$ всегда неотрицательны, и ее график целиком расположен в верхней полуплоскости (включая ось $Ox$).

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Часть графика, расположенную выше или на оси абсцисс $Ox$ (где $f(x) \ge 0$), оставить без изменений.
3. Часть графика, расположенную ниже оси $Ox$ (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси $Ox$.

Пример: Построить график функции $y = |x^2 - 4|$.

1. Строим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(0, -4)$ и пересечениями с осью $Ox$ в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Части параболы на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, \infty)$, где $y \ge 0$, оставляем без изменений.

3. Часть параболы на промежутке $(-2, 2)$, где $y < 0$, отражаем симметрично относительно оси $Ox$. Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Ответ: Для построения графика $y = |f(x)|$ нужно построить график $y=f(x)$ и ту его часть, что лежит ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.

График функции y = f(|x|)

Функция $y = f(|x|)$ является четной, так как $f(|-x|) = f(|x|)$ для любого $x$ из области определения. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = f(x)$. Следовательно, для неотрицательных $x$ график $y = f(|x|)$ совпадает с графиком $y = f(x)$.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$ только для $x \ge 0$.
2. Отбросить (если была построена) часть графика для $x < 0$.
3. Построенную часть графика для $x \ge 0$ симметрично отразить относительно оси $Oy$.

Пример: Построить график функции $y = \sin(|x|)$.

1. Строим график функции $y = \sin(x)$ для $x \ge 0$. Это синусоида, начинающаяся в точке $(0, 0)$ и идущая вправо.

2. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Полученный график будет симметричен относительно оси ординат.

Ответ: Для построения графика $y = f(|x|)$ нужно построить график $y=f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси ординат.

График функции y = |f(|x|)|

Данный вид преобразования является комбинацией двух предыдущих. Построение можно выполнить последовательно, применив оба правила.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Применить преобразование для $y = f(|x|)$: оставить часть графика для $x \ge 0$ и симметрично отразить ее относительно оси $Oy$.
3. К полученному графику функции $y = f(|x|)$ применить преобразование для модуля всей функции: часть графика, лежащую ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.

Пример: Построить график функции $y = |(x-3)^2 - 2|$. Нет, лучше пример $y = ||x| - 2|$.

Пример: Построить график функции $y = ||x|-2|$.

1. В качестве базовой функции $f(x)$ возьмем $y = x-2$. Это прямая.

2. Строим график $y = f(|x|) = |x|-2$. Для этого строим $y=x-2$ для $x \ge 0$ (луч из точки $(0,-2)$ вправо-вверх) и отражаем его относительно оси $Oy$. Получается "галочка" с вершиной в $(0,-2)$.

3. Строим график $y = ||x|-2|$. К полученному на шаге 2 графику применяем преобразование "модуль от всей функции". Часть графика ниже оси $Ox$ (между $x=-2$ и $x=2$) отражаем относительно оси $Ox$. Вершина $(0,-2)$ переходит в точку $(0,2)$. Итоговый график имеет форму буквы "W".

Ответ: Для построения графика $y = |f(|x|)|$ нужно сначала построить график $y=f(|x|)$, а затем его часть, лежащую ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.

График уравнения |y| = f(x)

Такое соотношение не всегда задает функцию, так как одному значению $x$ может соответствовать несколько значений $y$. Так как $|y| \ge 0$, график может существовать только для тех $x$, для которых $f(x) \ge 0$.

Если $f(x) \ge 0$, уравнение $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = f(x)$ и $y = -f(x)$.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Удалить (стереть) часть графика, которая расположена ниже оси $Ox$, так как для этих точек $f(x) < 0$ и уравнение не имеет решений.
3. Оставшуюся часть графика (где $f(x) \ge 0$) оставить без изменений и добавить к ней ее же симметричное отражение относительно оси $Ox$.

Пример: Построить график уравнения $|y| = x-1$.

1. Строим график функции $y = x-1$. Это прямая линия.

2. Условие существования графика: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Удаляем часть прямой, где $x < 1$.

3. Оставшаяся часть — это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и идущий вправо-вверх. Добавляем его отражение относительно оси $Ox$ — луч, выходящий из той же точки $(1, 0)$ и идущий вправо-вниз. График симметричен относительно оси $Ox$.

Ответ: Для построения графика уравнения $|y| = f(x)$ нужно построить график $y=f(x)$, удалить его части, лежащие ниже оси абсцисс, а оставшиеся части дополнить их симметричным отражением относительно оси абсцисс.

4. Функционально-графические методы решения уравнений.

Функционально-графический метод решения уравнений — это способ нахождения корней уравнения, основанный на построении и анализе графиков функций. Суть метода заключается в том, чтобы представить уравнение в виде равенства двух функций и найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения их графиков. Эти абсциссы и будут являться решениями (корнями) исходного уравнения. Данный метод особенно полезен для определения количества корней и нахождения их приближенных значений, а в некоторых случаях и точных.

Метод представления уравнения в виде f(x) = g(x)

Это основной подход в рамках данного метода. Алгоритм решения следующий:

1. Исходное уравнение вида $H(x) = 0$ или другого преобразуется к виду $f(x) = g(x)$ таким образом, чтобы функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ были достаточно просты для построения их графиков.
2. В одной системе координат строятся графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
3. Находятся точки пересечения этих графиков.
4. Абсциссы точек пересечения являются корнями исходного уравнения.

Пример: Решить уравнение $x^2 - x - 2 = 0$.

Преобразуем уравнение к виду $f(x) = g(x)$:
$x^2 = x + 2$
Теперь у нас есть две функции: $f(x) = x^2$ (стандартная парабола) и $g(x) = x + 2$ (прямая).
Построим графики этих функций в одной системе координат.
Парабола $y = x^2$ проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$.
Прямая $y = x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.
Из графика видно, что он пересекается в двух точках: $A(-1, 1)$ и $B(2, 4)$.
Абсциссы этих точек: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ответ: Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$, в данном примере $x_1 = -1, x_2 = 2$.

Метод нахождения нулей функции F(x)

Этот метод является частным случаем предыдущего, где одна из функций — константа, равная нулю ($g(x) = 0$).

1. Уравнение приводится к виду $F(x) = 0$.
2. Строится график функции $y = F(x)$.
3. Находятся точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox).
4. Абсциссы этих точек (нули функции) являются корнями уравнения.

Пример: Решить то же уравнение $x^2 - x - 2 = 0$.

Уравнение уже представлено в виде $F(x) = 0$, где $F(x) = x^2 - x - 2$.
Построим график этой функции. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины можно найти по формуле $x_v = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$. Тогда $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$.
Корнями уравнения являются точки, в которых график пересекает ось Ox, то есть где $y=0$.
Из графика видно, что парабола пересекает ось абсцисс в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ответ: Корнями уравнения являются нули функции $F(x)$, то есть абсциссы точек пересечения ее графика с осью Ox, в данном примере $x_1 = -1, x_2 = 2$.

Пример решения трансцендентного уравнения

Функционально-графический метод часто является единственным доступным школьным методом для решения уравнений, содержащих функции разных классов (например, показательные и тригонометрические, логарифмические и степенные).

Пример: Решить уравнение $\log_3(x) = 4 - x$.

Аналитически решить это уравнение стандартными методами невозможно. Воспользуемся графическим методом.
Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_3(x)$ и $g(x) = 4 - x$.
Построим их графики:
$y = \log_3(x)$ — логарифмическая кривая, возрастающая на всей области определения ($x > 0$) и проходящая через точку $(1, 0)$ и $(3, 1)$.
$y = 4 - x$ — прямая, убывающая на всей числовой оси и проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.
Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Можно заметить, что при $x=3$ значения обеих функций совпадают:
$f(3) = \log_3(3) = 1$
$g(3) = 4 - 3 = 1$
Поскольку функция $y = \log_3(x)$ монотонно возрастает, а функция $y = 4 - x$ монотонно убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, найденный корень является единственным.

Ответ: $x=3$.

Преимущества и недостатки метода

Преимущества:

• Наглядность: метод позволяет визуализировать решение, "увидеть" корни.
• Определение количества корней: даже эскизное построение графиков часто позволяет точно определить число решений уравнения (или доказать их отсутствие).
• Решение сложных уравнений: незаменим для решения уравнений, которые не поддаются аналитическим преобразованиям.

Недостатки:

• Приближенность: точное значение корней можно найти только в том случае, если они являются целыми или простыми рациональными числами. В общем случае метод дает лишь приблизительное значение, точность которого зависит от масштаба и аккуратности построения графика.
• Трудоемкость: построение точных графиков, особенно для сложных функций, может быть трудоемкой задачей.

Ответ: Функционально-графический метод является мощным инструментом для качественного анализа уравнений (определения числа корней) и нахождения их приближенных значений, но для получения точных иррациональных корней требуются другие, аналитические или численные, методы.