Номер 8.10, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§8. Тригонометрические функции углового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 8.10, страница 25.

8.10 а) рис. 3;

Рис. 3

$x$, $2$, $\alpha$

б) рис. 4;

Рис. 4

$4$, $x$, $\alpha$

в) рис. 5;

Рис. 5

$x$, $3$, $\alpha$

г) рис. 6;

Рис. 6

$x$, $1$, $\alpha$

Рис. 7

$2$, $x$, $30^\circ$

а) На рисунке 3 изображен прямоугольный треугольник, расположенный на клетчатой сетке. Один катет (горизонтальный) имеет длину 2, что соответствует 2 клеткам на сетке. Это означает, что сторона одной клетки равна 1 единице длины. Второй катет (вертикальный) обозначен как x. По сетке видно, что его длина составляет 4 клетки. Следовательно, x = 4.
Ответ: $x=4$

б) На рисунке 4 для определения угла α можно использовать сетку. Построим на сетке прямоугольный треугольник, одним из острых углов которого является α. Катеты этого треугольника будут равны 3 и 3 клеткам. Тангенс угла α — это отношение противолежащего катета к прилежащему:$tan(\alpha) = \frac{3}{3} = 1$.Основной треугольник на рисунке — прямоугольный, с катетами x и 4. Угол α в этом треугольнике противолежит катету длиной 4. Для этого треугольника тангенс угла α равен:$tan(\alpha) = \frac{4}{x}$.Приравнивая два выражения для тангенса, получаем:$\frac{4}{x} = 1$$x = 4$.
Ответ: $x=4$

в) На рисунке 5 определим тангенс угла α по сетке. Построим прямоугольный треугольник, где α — один из острых углов. Прилежащий к углу α катет равен 2 клеткам, а противолежащий катет равен 1 клетке. Тогда:$tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{1}{2}$.Теперь рассмотрим правый малый треугольник, в котором x является гипотенузой. В этом треугольнике угол α является одним из острых углов. Катет, противолежащий этому углу, равен 3. Обозначим прилежащий катет как h. Для этого треугольника:$tan(\alpha) = \frac{3}{h}$.Приравнивая два выражения для тангенса, находим h:$\frac{1}{2} = \frac{3}{h}$$h = 3 \times 2 = 6$.Теперь, зная оба катета (3 и 6), мы можем найти гипотенузу x по теореме Пифагора:$x^2 = 3^2 + h^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$$x = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$.
Ответ: $x=3\sqrt{5}$

г) На рисунке 6 изображена прямоугольная трапеция. В ней можно выделить прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 30°, гипотенуза равна x, а прилежащий к углу 30° катет равен 2.Связь между гипотенузой, прилежащим катетом и углом выражается через косинус:$cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.В нашем случае:$cos(30^\circ) = \frac{2}{x}$.Мы знаем, что $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{x}$.Выразим x:$x \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 2$$x \cdot \sqrt{3} = 4$$x = \frac{4}{\sqrt{3}}$.Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$x = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$