Номер 8.7, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§8. Тригонометрические функции углового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 8.7, страница 24.

8.7 $\sin 40^\circ$; $\sin 80^\circ$; $\sin 120^\circ$; $\sin 160^\circ$.

sin 40°; sin 80°; sin 120°; sin 160°

Предполагается, что в задаче требуется найти произведение указанных значений: $P = \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ \cdot \sin 120^\circ \cdot \sin 160^\circ$.

Для решения задачи выполним вычисления по шагам. Сначала используем известные значения и формулы приведения. Значение синуса угла $120^\circ$ можно найти через формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично применим формулу приведения к $\sin 160^\circ$:

$\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$P = \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 20^\circ$.

Перегруппируем множители для удобства дальнейших преобразований:

$P = \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ)$.

Теперь вычислим произведение в скобках, обозначив его как $S = \sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ$. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A - B) - \cos(A + B))$.

Применим эту формулу к первым двум множителям $\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ$:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos(40^\circ - 20^\circ) - \cos(40^\circ + 20^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \cos 60^\circ)$.

Зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2})$.

Теперь подставим это обратно в выражение для $S$:

$S = \left[\frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2})\right] \cdot \sin 80^\circ = \frac{1}{2}\sin 80^\circ \cos 20^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ$.

Далее преобразуем произведение $\sin 80^\circ \cos 20^\circ$ с помощью формулы $\sin B \cos A = \frac{1}{2}(\sin(B + A) + \sin(B - A))$:

$\sin 80^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}(\sin(80^\circ + 20^\circ) + \sin(80^\circ - 20^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 100^\circ + \sin 60^\circ)$.

Подставим результат в выражение для $S$:

$S = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(\sin 100^\circ + \sin 60^\circ)\right] - \frac{1}{4}\sin 80^\circ = \frac{1}{4}\sin 100^\circ + \frac{1}{4}\sin 60^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ$.

Снова воспользуемся формулой приведения для $\sin 100^\circ$:

$\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.

Тогда выражение для $S$ значительно упрощается:

$S = \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4}\sin 60^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ = \frac{1}{4}\sin 60^\circ$.

Вычисляем значение $S$, зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$S = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Наконец, вычисляем итоговое значение исходного произведения $P$:

$P = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot S = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$.